高考数学第十章算法初步、复数、推理与证明第五节数学归纳法教案理苏教版.docx

第五节 数学归纳法数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(例如n01,2等)时结论成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时结论成立，证明当nk1时结论也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法小题体验1若f(n)1(nN*)，则f(1)_.解析：等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n1，则当n1时，最大分母为5.答案：12用数学归纳法证明“1aa2an1(a1)”当验证n1时，上式左端计算所得为_答案：1aa23用数学归纳法证明123n2时，当nk1时左端应在nk的基础上加上_答案：(k21)(k22)(k23)(k1)21数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法3解“归纳猜想证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础否则将会做大量无用功小题纠偏1已知数列an的前n项和为Sn且Sn2nan(nN*)，若已经算出a11，a2，则猜想an_.解析：因为a11，a2，又S31a36a3，所以a3.同理，可求a4，观察1，猜想an.答案：2用数学归纳法证明2n2n1，n的第一个取值应是_解析：因为n1时，212,2113,2n2n1不成立；n2时，224,2215,2n2n1不成立；n3时，238,2317,2n2n1成立所以n的第一个取值应是3.答案：3题组练透1(易错题)用数学归纳法证明：(nN*)证明：(1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立(2)假设nk(kN*)时等式成立，即有，则当nk1时，.所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对于一切nN*等式都成立2设f(n)1(nN*)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)证明：(1)当n2时，左边f(1)1，右边21，左边右边，等式成立(2)假设nk(k2，kN*)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，所以当nk1时结论仍然成立由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)谨记通法用数学归纳法证明等式应注意的2个问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值(2)由nk到nk1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明典例引领用数学归纳法证明：2nC4n，其中n2，nN.证明：当n2时，226C42，不等式成立假设当nk(kN，k2)时，2kC4k成立，则当nk1时，由C2C2C22k2k1，即2k1C.C2C2C22C4C44k4k1，因此2k1C4k1成立，即当nk1时，不等式成立，所以对任意的n2，nN，不等式2nC4n恒成立由题悟法用数学归纳法证明不等式应注意的2个问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明即时应用(2019南通测试)已知函数f(x)2x3x2，设数列an满足：a1，an1f(an)(1)用数学归纳法证明：nN*，都有0an；(2)求证：4n14.证明：(1)当n1时，a1，有0a1.所以n1时，不等式成立假设当nk(kN*，k1)时，不等式成立，即0ak.则当nk1时，ak1f(ak)2ak3a32，于是ak132.因为0ak，所以032，即0ak1，可得0ak1.所以当nk1时，不等式也成立由可知，nN*，都有0an.(2)证明：由(1)可得an132.两边同时取以3为底的对数，可得log312log3，即1log32.所以数列是以log3为首项，2为公比的等比数列所以1log32n1log3，化简得an，所以34.因为当n2时，2CCCC1n1n，又n1时，21.所以nN*时，2n，所以3434n.所以3(41424n)44，即44.典例引领(2019无锡调研)已知数列an满足an1anan1且a10.(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明；(3)求证：(n1)na(n1)n(nN*)解：(1)因为a10，所以a2aa111，同理a32，a43.(2)猜想ann1.证明：当n1时，由a10，结论成立；假设当nk(kN*)时结论成立，即akk1.当nk1时，ak1akak1(k1)2k(k1)1(k1)1，这说明当nk1时结论成立由可知，ann1对任意正整数n都成立(3)证明：(n1)na(n1)n(nN*)，即为(n1)nnn(n1)n，化为2n3，由n1CC2n，当n1时，显然n2；当n2时，显然n2.由n1CC2n111112133，即有2n3，所以(n1)na(n1)n(nN*)由题悟法“归纳猜想证明”的3步曲(1)计算：根据条件，计算若干项(2)归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论(3)证明：用数学归纳法证明即时应用(1)若不等式(x1)ln(x1)ax对任意x0，)恒成立，求实数a的取值范围；(2)设nN*，试比较与ln(n1)的大小，并证明你的结论解：(1)原问题等价于ln(x1)0对任意x0，)恒成立，令g(x)ln(x1)，则g(x)(x0)当a1时，g(x)0恒成立，即g(x)在0，)上单调递增，所以g(x)g(0)0恒成立；当a1时，令g(x)0，则xa10，所以g(x)在(0，a1)上单调递减，在(a1，)上单调递增，所以g(a1)g(0)0，即存在x0，使得g(x)0，不合题意综上所述，实数a的取值范围是(，1(2)法一：注意到ln 2，ln 3，故猜想ln(n1)(nN*)，下面用数学归纳法证明该不等式成立证明：当n1时，ln 2，不等式成立；假设当nk(kN*，k1)时不等式成立，即ln(k1)，在(1)中取a1，得ln(x1)(x(0，)，令x(kN*)，有ln，那么，当nk1时，ln(k1)ln(k1)lnln(k2)即当nk1时不等式也成立由可知，ln(n1)法二：在(1)中取a1，得ln(x1)(x(0，)，令x(nN*)，上式即为ln，即ln(n1)ln n，所以ln 2ln 1，ln 3ln 2，ln(n1)ln n，上述各式相加可得ln(n1)(nN*)一保高考，全练题型做到高考达标1用数学归纳法证明等式“123(n3)(nN*) ”，当n1时，等式应为_答案：12342利用数学归纳法证明“(n1)(n2) (nn)2n13(2n1)，nN*”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是_解析：当nk(kN*)时，左式为(k1)(k2) (kk)；当nk1时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，则左边应增乘的式子是2(2k1)答案：2(2k1)3(2018海门实验中学检测)数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是_解析：计算出a24，a39，a416.可猜想ann2.答案：ann24平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为_解析：1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域答案：f(n)5用数学归纳法证明不等式1成立，起始值应取为n_.解析：不等式的左边2，当n8时，不等式不成立，故起始值应取n8.答案：86平面内n(nN*)个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该n个圆把平面分成f(n)个区域，则f(n)_.解析：因为f(1)2，f(n)f(n1)2(n1)，则f(2)f(1)21，f(3)f(2)22，f(4)f(3)23，f(n)f(n1)2(n1)，所以f(n)f(1)n(n1)，即f(n)n2n2.答案：n2n27等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)，证明：对任意的nN*，不等式成立解：(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1)由于b0且b1，所以当n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1)，因为b，所以b，解得r1.(2)证明：当b2时，由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，故所证不等式为.用数学归纳法证明如下：当n1时，左式，右式，左式右式，所以不等式成立假设nk(k1，kN*)时不等式成立，即，则当nk1时，要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由基本不等式，得，故成立，所以当nk1时，结论成立由可知，对任意的nN*，不等式成立8已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)，且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上解：(1)由题意得a11，b11，b2，a21，所以P2.所以直线l的方程为，即2xy1.(2)证明：当n1时，2a1b121(1)1成立假设nk(k1且kN*)时，2akbk1成立则2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，所以当nk1时，2ak1bk11也成立由知，对于nN*，都有2anbn1，即点Pn在直线l上9已知数列，当n2时，an1，又a10，aan11a，求证：当nN*时，an1an.证明：(1)当n1时，因为a2是aa210的负根，所以a1a2.(2)假设当nk(kN*)时，ak1ak，因为aa(aak21)(aak11)(ak2ak1)(ak2ak11)，ak1ak0，所以aa0，又因为ak2ak111(1)11，所以ak2ak10，所以ak2ak1，即当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，当nN*时，an1an.10(2019南京模拟)把圆分成n(n3)个扇形，设用4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有f(n)种方法(1)写出f(3)，f(4)的值；(2)猜想f(n)(n3)，并用数学归纳法证明解：(1)当n3时，第一个有4种方法，第二个有3种方法，第3个有2种方法，可得f(3)24；当n4时，第一个有4种方法，第二个有3种方法，第三个与第一个相同有1种方法，第四个有3种方法，或第一个有4种方法，第二个有3种方法，第三个与第一个不相同有2种方法，第四个有2种方法，可得f(4)364884.(2)证明：当n4时，首先，对于第1个扇形a1，有4种不同的染法，由于第2个扇形a2的颜色与a1的颜色不同，所以，对于a2有3种不同的染法，类似地，对扇形a3，an1均有3种染法对于扇形an，用与an1不同的3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形a1颜色相同的情况，而扇形a1与扇形an颜色相同的不同染色方法数就是f(n1)，于是可得f(n)43n1f(n1)猜想f(n)3n(1)n3(n3)当n3时，左边f(3)24，右边33(1)3324，所以等式成立假设当nk(k3)时，f(k)3k(1)k3，则当nk1时，f(k1)43kf(k)43k3k(1)k33k1(1)k13，即当nk1时，等式也成立综上，f(n)3n(1)n3(n3)二上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019无锡中学检测)将正整数排成如图所示的三角形数阵，记第n行的n个数之和为an.(1)设Sna1a3a5a2n1(nN*)，计算S2，S3，S4的值，并猜想Sn的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)的猜想解：(1)S1a11，S2a1a3145616，S3S2a516111213141581，S4S3a781222328256，猜想Snn4.(2)证明：当n1时，猜想成立假设当nk(kN*)时成立，即Skk4，由题意可得，ann，a2k1(2k1)(2k22k1)4k36k24k1，Sk1Ska2k1k44k36k24k1(k1)4，即当nk1时猜想成立，由可知，猜想对任意nN*都成立2已知数列an满足：a11，an1anan(nN*)(1)计算a2，a3，a4的值，猜想数列an的通项公式，并给出证明；(2)当n2时，试比较与的大小关系解：(1)a24，a37，a410，猜想：an3n2.用数学归纳法证明：当n1时，a11，结论成立假设当nk(k1，kN*)时，结论成立，即ak3k2，当nk1时，ak1akakk(3k2)2k(3k2)k(9k212k4)k2kk3k1，所以当nk1时，结论也成立由得数列an的通项公式为an3n2(nN*)(2)由(1)知an3n2，当n2时，当n3时，.猜测：当n2，nN*时，.用数学归纳法证明：当n3时，结论成立，假设当nk(k3，kN*)时，则当nk1时，.由k3，可知3k27k30，所以0，即.故当nk1时，不等式也成立，由可知，当n2时，.命题点一算法1.(2018江苏高考)一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为_解析：I1，S1，此时I6，进入循环；I3，S2，此时I6，进入下一次循环；I5，S4，此时I6，进入下一次循环；I7，S8，此时I6，不满足I6，退出循环，输出S8.答案：82(2017江苏高考)如图是一个算法流程图若输入x的值为，则输出y的值是_解析：由流程图可知其功能是运算分段函数y所以当输入的x的值为时，y2log2242.答案：23(2016江苏高考)如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是_解析：由a1，b9，知ab，所以a145，b927，ab.所以a549，b725，满足ab.所以输出的a9.答案：94(2015江苏高考)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为_解析：由程序可知，S1，I1，I8；S3，I4，I8；S5，I7，I8；S7，I10，I8，此时结束循环，输出S7.答案：7命题点二复数1.(2018江苏高考)若复数z满足iz12i，其中i是虚数单位，则z的实部为_解析：由iz12i，得z2i，z的实部为2.答案：22(2017江苏高考)已知复数z(1i)(12i)，其中i是虚数单位，则z的模是_解析：法一：复数z12ii213i，则|z|.法二：|z|1i|12i|.答案：3(2016江苏高考)复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_解析：因为z(12i)(3i)3i6i2i255i，所以z的实部是5.答案：54(2015江苏高考)设复数z满足z234i(i是虚数单位)，则z的模为_解析：因为z234i，所以|z2|z|2|34i|5，所以|z|.答案：5(2018天津高考)i是虚数单位，复数_.解析：4i.答案：4i命题点三合情推理与演绎推理1.(2017全国卷改编)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则下列说法正确的序号为_乙可以知道四人的成绩丁可以知道四人的成绩乙、丁可以知道对方的成绩乙、丁可以知道自己的成绩解析：依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩故正确答案：2(2016天津高考)已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的nN*，bn是an和an1的等比中项(1)设cnbb，nN*，求证：数列cn是等差数列；(2)设a1d，Tn(1)kb，nN*，求证：.证明：(1)由题意得banan1，cnbban1an2anan12dan1.因此cn1cn2d(an2an1)2d2，所以cn是等差数列(2)Tn(bb)(bb)(bb)2d(a2a4a2n)2d2d2n(n1)所以.命题点四数学归纳法1.(2018江苏高考)设nN*，对1,2，n的一个排列i1i2in，如果当st时，有isit，则称(is，it)是排列i1i2in的一个逆序，排列i1i2in的所有逆序的总个数称为其逆序数例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数(1)求f3(2)，f4(2)的值；(2)求fn(2)(n5)的表达式(用n表示)解：(1)记(abc)为排列abc的逆序数，对1,2,3的所有排列，有(123)0，(132)1，(213)1，(231)2，(312)2，(321)3，所以f3(0)1，f3(1)f3(2)2.对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置因此f4(2)f3(2)f3(1)f3(0)5.(2)对一般的n(n4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n，所以fn(0)1.逆序数为1的排列只能是将排列12n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以fn(1)n1.为计算fn1(2)，当1,2，n的排列及其逆序数确定后，将n1添加进原排列，n1在新排列中的位置只能是最后三个位置因此fn1(2)fn(2)fn(1)fn(0)fn(2)n.当n5时，fn(2)fn(2)fn1(2)fn1(2)fn2(2)f5(2)f4(2)f4(2)(n1)(n2)4f4(2)，因此，当n5时，fn(2).2(2015江苏高考)已知集合X1,2,3，Yn1,2,3，n(nN*)，设Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数(1)写出f(6)的值；(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明解：(1)Y61,2,3,4,5,6，S6中的元素(a，b)满足：若a1，则b1,2,3,4,5,6；若a2，则b1,2,4,6；若a3，则b1,3,6.所以f(6)13.(2)当n6时，f(n)(tN*)下面用数学归纳法证明