高考数学总复习第四章三角函数第23讲简单三角恒等变换练习理新人教版.docx

第23讲简单三角恒等变换夯实基础【p48】【学习目标】1能利用两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换；2能利用上述公式及三角恒等变换的基本思想方法对三角函数式进行化简、求值及恒等式的证明【基础检测】1化简：_【解析】原式2cos .【答案】2cos 2已知tan tan 2，tan()4，则tan tan _.【解析】tan tan 11.【答案】3若tan 4，则sin 2()A. B. C. D.【解析】tan 4，sin 2.【答案】D4已知，tan ，则cos2sin2()A. B.C1 D或【解析】，tan ，sin ， cos ，则cos2sin2sin (1cos ).【答案】B5化简tan 70cos 10(tan 201)的值为()A1 B2C1 D2【解析】原式cos 102sin(2030)1.【答案】C【知识要点】1三角变换的一般方法(1)角的变换，一般包括角的分解和角的组合，如()，x，2等；(2)函数名称的变换，一般包括将三角函数统一成弦，以减少函数种类，对齐次式也可化成切；(3)注意结构的变换，如升幂与降幂，辅助角公式等；(4)角变换中以角的变换为中心；解题时，一看角，二看名称，三看结构2三角变换的常见题型(1)化简：灵活选用和、差、倍、辅助角公式进行三角恒等变换是化简三角函数式的难点，解题时应注意降次，减少角的种类及三角函数的种类，注意角的范围及三角函数的正负(2)求值：给值求值时，注意要求角与已知角及特殊角的关系(3)证明：证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一典 例 剖 析【p48】考点1三角函数的化简问题(1)化简：；(2)已知x0，sin xcos x.求的值【解析】(1)原式cos 2x.(2)由sin xcos x，两边平方得sin2x2sin xcos xcos2x，即2sin xcos x.sin xcos x(2cos xsin x).【点评】三角函数式的变形，主要思路为角的变换、函数变换、结构变换，常用技巧有“辅助角”“1的代换”“切弦互化”等，其中角的变换是核心三角函数式的化简原则：尽量使函数种类最少，次数相对较低，项数最少，尽量使分母不含三角函数，尽量去掉根号或减少根号的层次，能求值的应求出其值考点2三角函数的求值问题已知tan 2.(1)求tan的值；(2)求的值【解析】(1)tan3.(2)1.已知，为锐角，cos ，sin()，则cos _【解析】因为，为锐角，cos ，sin()，所以sin ，cos()，当cos()时，sin sinsin()cos cos()sin 0矛盾，所以cos coscos()cos sin()sin .【答案】【点评】三角函数求值的3类求法(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角考点3三角恒等式的证明问题求证.【解析】左边右边【点评】三角恒等式的证明一般有三种方式：从左到右，从右到左，左右某一三角式一般来说都是从复杂的一端向简单的一端证明方 法 总 结【p49】1三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角2三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作3证明三角函数恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通过变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等走 进 高 考【p49】1(2014全国卷)函数f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_【解析】因为f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin 2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin sin x1.所以最大值为1.【答案】12(2015重庆)若tan 2tan ，则()A1 B2 C3 D4【解析】3.【答案】C3(2018江苏)已知，为锐角，tan ，cos().(1)求cos 2的值；(2)求tan()的值【解析】(1)因为tan ，tan ，所以sin cos .因为sin2cos21，所以cos2.因此，cos 22cos21.(2)因为、为锐角，所以(0，)又因为cos()，所以sin()，因此tan()2.因为tan ，所以tan 2，因此，tan()tan2().考 点 集 训【p202】A组题1若，则sin cos 的值为()A B C. D.【解析】由已知得，整理得sin cos .【答案】C2已知sin 2，tan()，则tan()等于()A2 B1 C D.【解析】由题意，可得cos 2，则tan 2，tan()tan2()2.【答案】A3已知tan 2，则3sin2cos sin 1()A3 B3 C4 D4【解析】3sin2cos sin 14sin2cos sin cos23.【答案】A4已知锐角满足cos 2cos，则sin 2等于()A. BC. D【解析】，2(0，)，.又cos 2cos，2或20，或(舍)sin 2sin .【答案】A5已知0，sin cos ，则_【解析】因为0，sin cos ，所以(sin cos )212sin cos 0，即sin cos 0，则4.【答案】46不查表计算：的值等于_【解析】2.【答案】27已知，(0，)，且tan()，tan ，则2_【解析】因为tan tan()1，所以0.又因为tan 21，所以02.所以tan(2)1.因为0，所以2，所以2.【答案】8(1)已知sin ， cos ，其中， ，求cos()；(2)已知cos ， cos()，且0，求的值【解析】(1)， ， sin ， cos ，cos ， sin ，cos()cos cos sin sin 1.(2)0， cos ，sin ，0， cos()，0，sin()，sin sin()sin cos()cos sin().B组题1设f(x)asin的最大值为3，则常数a()A1 B1或5C2或4 D【解析】f(x)asincos xsin xasin2sin asin (2a)sin，则|a2|3，a1或a5.【答案】B2若tansin 2cos2，则tan()_【解析】设tan t(t0)，tan，sin 2cos2，解得t0或3，又t0，t3，tan()tan 3.【答案】33求证：2cos().【解析】2cos()，等式成立4已知关于x的方程2x2(1)xt0的两个根为sin ，cos