高考数学直线、平面、简单几何体和空间向量第60讲立体几何中的向量方法（二）——利用空间向量求空间角与距离练习.docx

第60讲立体几何中的向量方法(二)利用空间向量求空间角与距离夯实基础【p137】【学习目标】会用向量法计算直线与直线、直线与平面的夹角及二面角，会用向量法计算空间距离【基础检测】1如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(1，0，1)，b(0，1，1)，那么这条斜线与平面所成的角是()A90 B30 C45 D60【解析】易知a与b的夹角即为直线与平面所成的角，设为，则cos ，所以60.【答案】D2已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为()A45 B135 C45或135 D90【解析】易知m与n的夹角或其补角即为两平面所成的二面角，设为，则|cos |，则cos ，所以为45或135.【答案】C3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是()A. B. C. D.【解析】以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，B(0，1，0)，A(1，0，0)，C(0，0，0)，则(1，1，2)，(1，0，0)，cos，.【答案】D4如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，则DB到平面EFG的距离为()A. B. C. D1【解析】以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CG为z轴建立空间直角坐标系，F(4，2，0)，E(2，4，0)，G(0，0，2)，(2，2，0)，(2，4，2)，平面EFG的一个法向量为m(1，1，3)，BD平面EFG，直线BD到平面EFG的距离即点B到平面EFG的距离，d.【答案】B【知识要点】1空间角和空间距离的向量表示(1)直线与平面所成的角直线a的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线a与平面所成的角等于向量m，n所成的锐角的余角(若所成角为钝角，则取其补角的余角)，即_sin_特例：若mn，则_a_或_a_若mn，则a.(2)二面角的平面角设二面角l的两个半平面和的法向量分别为m，n，二面角l的大小为，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补当二面角为锐角时，cos |cos m，n|；当二面角为钝角时，_cos_|cos_m，n|_特例：若mn，则_，若mn，则_2点到平面的距离设平面的法向量为_n_，P是平面外一点，Q是平面内任一点，则点P到平面的距离d等于在法向量n上的投影的绝对值，即d_典例剖析【p137】考点1求异面直线所成的角如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值【解析】(1)如图，连接BD，设BDAC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，所以EG平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz.由(1)可得A(0，0)，E(1，0，)，F，C(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.考点2求直线与平面所成的角如图，四棱锥PABCD，底面ABCD为直角梯形，ABC90，PABD，BCCDAB，PAPD.(1)求证：平面PAD平面ABCD；(2)若直线PA与平面ABCD所成角为45，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值【解析】(1)因为ABCD为直角梯形，ABC90，又因为BCCDAB，所以ADBDBC，所以AD2BD24BC2AB2，所以ADBD，又因为PABD，ADPAA，所以BD平面PAD，又因为BD平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.(2)作PEAD于E，因为PAPD，所以E为AD中点，由(1)知平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，所以PE平面ABCD，所以PAE为直线PA与平面ABCD所成的角，设BC1，因为PAE45，ADBC，所以PE，如图以D为原点建立空间直角坐标系，则P，B(0，0)，C，.设平面PBD的法向量n(x，y，z)，则取x1，则z1，y0，所以平面PBD的一个法向量n(1，0，1)，设PC与平面PBD所成角为，则sin，所以直线PC与平面PBD所成角为正弦值为.考点3求二面角在如图所示的几何体中，AE平面ABC，CDAE，F是BE的中点，ACBC1，ACB90，AE2CD2.(1)证明：DF平面ABE；(2)求二面角ABDE的余弦值【解析】法一：(1)取AB的中点G，连结CG、FG.因为CDAE，GFAE，所以CDGF.又因为CD1，GFAE1，所以CDGF.所以四边形CDFG是平行四边形，DFCG.在等腰RtACB中，G是AB的中点，所以CGAB.因为EA平面ABC，CG平面ABC，所以EACG.而ABEAA，所以CG平面ABE.又因为DFCG，所以DF平面ABE.(2)因为DF平面ABE，DF平面BDE，所以平面BDE平面ABE.过点A作AMBE于M，则AM平面BDE.过点M作MNBD于N，连结AN.由三垂线定理得，BDAN.所以ANM是二面角ABDE的平面角在RtABE中，AM.因为ADBDAB，所以ABD是等边三角形又ANBD，所以ANAB.在RtAMN中，sinANM.所以二面角ABDE的余弦值是.法二：(1)因为EA平面ABC，CDAE，所以CD平面ABC.故以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，D(0，0，1)，E(1，0，2)，F.所以，(0，0，2)，(1，1，0)因为(0，0，2)0，(1，1，0)0，所以DFAE，DFAB.而AEABA，所以DF平面ABE.(2)由(1)知，(0，1，1)，(1，1，0)，(1，1，2)设n1(x1，y1，z1)是平面ABD的一个法向量，由得即x1y1z1.取x1y1z11，则n1(1，1，1)设n2(x2，y2，z2)是平面BDE的一个法向量，由得即x2y2z2.取y2z21，x21，则n2(1，1，1)设二面角ABDE的大小为，则cos .故二面角ABDE的余弦值是.考点4求空间距离如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知AB2，AA15，E，F分别为D1D，B1B上的点，且DEB1F1.(1)求证：BE平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离；(3)求异面直线AF与BE之间的距离【解析】(1)以D为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，5)，E(0，0，1)，F(2，2，4)于是(2，2，0)，(0，2，4)，(2，2，1)0，0，BEAC，BEAF，且ACAFA，BE平面ACF.(2)由(1)知，为平面ACF的一个法向量，向量在上的射影的大小即为E到平面ACF的距离，设为d1，于是d1|cos ，|，故点E到平面ACF的距离为.(3)由(1)知(0，2，4)，(2，2，1)，设AF与BE的公垂线的方向向量d(x，y，z)，则得取z2，得d(5，4，2)又(0，2，0)，设AF与BE之间的距离为d2，则d2.【点评】利用向量法求距离关键是应用一个向量在另一个向量上的投影方法总结【p138】1利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量(注意量的集中)，然后利用向量运算解决该向量问题，从而原问题得解2利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立恰当、正确的空间坐标系表示出已知点(或向量)的坐标难点是通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数解法3向量法求空间角与距离一般在易建系而又不易直接作出所求角与距离时使用，事半功倍走进高考【p138】1(2017天津)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90. 点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2. (1)求证：MN平面BDE；(2)求二面角CEMN的正弦值；(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长【解析】如图，以A为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)(1)(0，2，0)，(2，0，2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨设z1，可得n(1，0，1)又(1，2，1)，可得n0.因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.(2)易知n1(1，0，0)为平面CEM的一个法向量设n2(x1，y1，z1)为平面EMN的法向量，则因为(0，2，1)，(1，2，1)，所以不妨设y11，可得n2(4，1，2)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2.所以，二面角CEMN的正弦值为.(3)依题意，设AHh(0h4)，则H(0，0，h)，进而可得(1，2，h)，(2，2，2)由已知，得|cos|，整理得10h221h80，解得h，或h.2(2018全国卷)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值【解析】(1)由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)作PHEF，垂足为H.由(1)得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2，故PEPF.可得PH，EH.则H(0，0，0)，P，D，为平面ABFD的法向量设DP与平面ABFD所成角为，则sin .所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.考点集训【p252】A组题1长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B.C. D.【解析】建立坐标系如图所示则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，(1，0，2)，(1，2，1)cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.【答案】B2已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30 B60C120 D150【解析】设l与所成角为，cosm，n，sin |cosm，n|，090，30.【答案】A3如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCDA1B1C1D1，AB1，BC2，AA13，则点B到直线A1C的距离为()A.B.C.D1【解析】过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，(1，2，3)，(x，y，z3)，(x1，y，z)因为所以解得所以，所以点B到直线A1C的距离|.【答案】B4如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，DBC90，BCBD2，AB1，则BC和平面ACD所成角的正弦值为_【解析】以B为原点，分别以射线BC，BD，BA为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，BCBD2，AB1，B(0，0，0)，A(0，0，1)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，(2，0，0)，(2，0，1)，(2，2，0)，设平面ACD的法向量为n(x，y，z)则可取n(1，1，2)，设直线BC和平面ACD所成角为，则sin |cos ，n|.【答案】5二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为_【解析】，|2.|cos，24.cos，.而二面角与，互补，所求二面角为60.【答案】606P是二面角AB棱上的一点，分别在平面、上引射线PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_【解析】不妨设PMa，PNb，如图，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFPN45，PEa，PFb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角AB的大小为90.【答案】907如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC1，BAC90，异面直线A1B与B1C1所成的角为60.(1)求该三棱柱的体积；(2)设D是BB1的中点，求DC1与平面A1BC1所成角的正弦值【解析】(1)如图，以A点为原点，为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系设AA1h，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，h)，则(1，0，h)，(1，1，0)因为直线A1B与B1C1所成的角为60，所以，解得h1.于是三棱柱体积VSh11.(2)由(1)知(1，0，1)，C1(0，1，1)，(1，1，1)设平面A1BC1的法向量n(x，y，z)，则可取n(1，0，1)又因为D，.于是sin |cos，n|，所以DC1与平面A1BC1所成角的正弦值为.8如图，已知在四棱锥PABCD中，O为AB中点，平面POC平面ABCD，ADBC，ABBC，PAPBBCAB2，AD3.(1)求证：平面PAB平面ABCD；(2)求二面角OPDC的余弦值【解析】(1)ADBC，ABBC，BCAB2，AD3，OC，OD，CD，OD2OC2DC2，OCCD，CD平面POC，CDPO，PAPBAB，O为AB中点，POAB，PO底面ABCD，平面PAB平面ABCD.(2)如图建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，0，)，D(1，3，0)，C(1，2，0)，(0，0，)，(1，3，0)，(1，2，)，(2，1，0)，设平面OPD的一个法向量为m(x1，y1，z1)，平面PCD的法向量为n(x2，y2，z2)，由可得取y11，得x13，z10，即m(3，1，0)，由可得取x2，得y22，z25，即n(，2，5)，cosm，n.故二面角OPDC的余弦值为.B组题1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与AC间的距离为_【解析】以A为原点，分别以射线AB，AD，AA1为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，设(x，y，z)，所以xy0，yz0，令yt，则(t，t，t)，而另可设M(m，m，0)，N(0，a，b)，(m，am，b)，则N(0，2t，t)，2tt1，t，|.【答案】2如图，在四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，BAD90，且AB4，SA3.E，F分别为线段BC，SB上的点(端点除外)，满足，当实数的值为_时，AFE为直角【解析】因为SA平面ABCD，BAD90，故可建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.AB4，SA3，B(0，4，0)，S(0，0，3)设BCm，则C(m，4，0)，.()()(0，4，3)，F.同理可得E，.，要使AFE为直角，即0，则00，169，解得.【答案】3如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，PAAB，PAABAD2，CDA60，E，F分別为棱CD，PB的中点(1)求证：EFPB；(2)求直线PD与平面AEF所成角的正弦值【解析】(1)如图，连接AC，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，ABAD2，ADDC2，CDA60，ADC是正三角形，E是CD的中点，AEDC，AEAB，平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，AE平面PAB，PB平面PAB，AEPB，PA