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第二节 定积分在几何学上的应用,一 平面图形的面积,二 体积,三 平面曲线的弧长,面积：,面积元素,一 平面图形的面积,1.1 直角坐标之一般情形,面积元素：,面积：,1. 【直角坐标情形】,下面我们来讨论如何利用定积分来求平面图形的面积，分以下几种情况讨论：,【解】,两曲线的交点,面积元素,选x为积分变量,【解】,选y为积分变量,面积元素,【问题】,积分变量只能选 x 吗？,【解】,两曲线的交点,选x为积分变量,于是所求面积,【说明】注意各积分区间上被积函数的形式,【解】,两曲线的交点,选y为积分变量,【说明】,本题若选x为积分变量，则如下,故,由此我们看到，积分变量选取适当，则可使计算简便.,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,1.2 直角坐标之参数方程的情形,【解】,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,(a0)， t0，2,与x轴所围图形的面积A,【例5】 求摆线一拱,【解】 曲边方程为y =f(x)，x0，2a，,得 A=,x : 02a t : 02，,则 A =,面积元素,曲边扇形的面积,2、【极坐标情形】,【解】,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,【解】,利用对称性知,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、体积,1、【旋转体的体积】,旋转体的体积为,【解】,直线OP方程为,【例8】计算椭圆,绕x轴及y轴旋转而成的椭球体的体积Vx，Vy,(ab0),【解】(1)绕x轴旋转,(2)绕y轴旋转,当a=b=R时，即得球体的体积公式V=,【例9】求由抛物线y =,的平面图形，绕y轴旋转而成的旋转体的体积Vy,与y=1和y轴围成,【解】抛物线方程改写为 x = y 2，y0，1,【解】,【解】,【补充】,利用这个公式，可知上例中,柱壳法,【解】,体积元素为,【注意】,本题易犯的一个错误是,两者截然不同.,【解】 柱壳法,2、【平行截面面积为已知的立体的体积】,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,又如,【解】,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,【解】 如图,垂直于y 轴的截面为矩形,截面面积,立体体积,【解】,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,1、【平面曲线弧长的概念】,三、平面曲线的弧长,【定理】,光滑曲线弧是可求长的。,弧长元素（即弧微分）,弧长公式,2、【直角坐标情形】,【解】,所求弧长为,【解】,【练习】,曲线弧为,弧长公式,3、【参数方程情形】,【解】,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,【证】,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,曲线弧为,弧长公式,4、【极坐标情形】,【解】,【解】,5、【小结】,直角坐标系下,参数方程下,极坐标系下,弧微分的概念（三种形式）
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