高考数学一轮复习第八章第二节点、线、面之间的位置关系教案文苏教版.docx

第二节 点、线、面之间的位置关系1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线(3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面2空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O，作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角范围：.(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行(4)定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等小题体验1“点P在直线m上，m在平面内”可表示为_解析：点在直线上用“”，直线在平面上用“”答案：Pm，m2平面l，点A，点B，且Cl，C，又ABlR，如图所示，过A，B，C三点确定的平面为，则_.解析：由已知条件可知，C，ABlR，AB，所以R.又因为C，R，故CR.答案：CR3以下四个命题中，正确命题的个数是_不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面解析：显然是正确的，可用反证法证明；中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面故正确的个数为1.答案：11异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交2直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”3不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件小题纠偏1(2019南京名校联考)已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是_解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面答案：相交、平行或异面2在下列四个命题中，正确命题的个数为_a，b是异面直线，则存在分别过a，b的平面，使；a，b是异面直线，则存在分别过a，b的平面，使；a，b是异面直线，若直线c，d分别与a，b都相交，则c，d也是异面直线；a，b是异面直线，则存在平面过a且与b垂直解析：因为a，b是异面直线，所以可以作出两个平面，分别过a，b，并使，所以正确；因为a，b是异面直线，所以存在两个互相垂直的平面分别过a，b，所以正确；因为a，b是异面直线，若直线c，d与a，b分别都相交，则c，d相交或异面，所以不正确；因为a，b是异面直线，若a，b垂直，则存在平面过a且与b垂直，若a，b不垂直，则不存在平面过a且与b垂直，不正确答案：23四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有_个解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面答案：4题组练透1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明：(1)如图，连结EF，A1B，CD1.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EFA1B.又A1BCD1，所以EFCD1，所以E，C，D1，F四点共面(2)因为EFCD1，EFCD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，所以P直线DA.所以CE，D1F，DA三线共点2如图，在四边形ABCD中，已知ABCD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线证明：因为ABCD，所以AB，CD确定一个平面.又因为ABE，AB，所以E，E，即E为平面与的一个公共点同理可证F，G，H均为平面与的公共点，因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线谨记通法1证明点共线问题的常用方法公理法先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上同一法选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上2证明线共点问题的常用方法先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点3证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合典例引领如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论的序号为_解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以错误点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线同理AM，DD1也是异面直线答案：由题悟法即时应用1上面例题中正方体ABCDA1B1C1D1的棱所在直线中与直线AB是异面直线的有_条解析：与AB异面的有4条：CC1，DD1，A1D1，B1C1.答案：42在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是_(填上所有正确答案的序号)解析：图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连结MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面所以在图中，GH与MN异面答案：典例引领如图，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，Aa，Ba，Cb，Dc，求证：AD与BC是异面直线证明：法一：(反证法)假设AD和BC共面，所确定的平面为，那么点P，A，B，C，D都在平面内，所以直线a，b，c都在平面内，与已知条件a，b，c不共面矛盾，假设不成立，所以AD和BC是异面直线法二：(直接证法)因为acP，所以它们确定一个平面，设为，由已知C平面，B平面，则BC平面，又AD平面，BAD，所以AD和BC是异面直线由题悟法证明直线异面通常用反证法，证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面有时也可以用直接法证明即时应用如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解：(1)AM与CN不是异面直线理由如下：连结MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MNA1C1.又因为A1AC1C，A1AC1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线(2)D1B与CC1是异面直线证明如下：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，所以D1，B，C，C1，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb.答案：2(2018高邮期中)给出以下说法：不共面的四点中，任意三点不共线；有三个不同公共点的两个平面重合；没有公共点的两条直线是异面直线；分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面其中正确结论的序号是_解析：在中，不共面的四点中，任意三点不共线是正确命题，可以用反证法证明：若其中任意三点共线，则四点必共面，故正确；在中，有三个不同公共点的两个平面重合或相交，故错误；在中，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故错误；在中，分别和两条异面直线都相交的两条直线异面或共面，故错误；在中，一条直线和两条异面直线都相交，则由两条相交线能确定一个平面得它们可以确定两个平面，故正确答案：3若平面，相交，在，内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个答案：1或44如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有_条解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条答案：55设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)解析：由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行或异面，故错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故错；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故错答案：二保高考，全练题型做到高考达标1已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件答案：充分不必要2(2019常州一中检测)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别为B1O和C1O的中点，长方体的各棱中，与EF平行的有_条解析：EF是OB1C1的中位线，EFB1C1.B1C1BCADA1D1，与EF平行的棱共有4条答案：43下列命题中，真命题的个数为_如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；若M，M，l，则Ml.解析：根据公理3，可判断是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故是假命题；根据平面的性质可知是真命题综上，真命题的个数为2.答案：24已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面与直线m垂直，则直线n与平面的关系是_解析：因为l，且l与n异面，所以n，又因为m，nm，所以n.答案：n5如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是_(填序号)EF与GH平行；EF与GH异面；EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；EF与GH的交点M一定在直线AC上解析：连结EH，FG，如图所示依题意，可得EHBD，FGBD，故EHFG，所以E，F，G，H共面因为EHBD，FGBD，故EHFG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上答案：6如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为_对解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面的直线有且只有3对答案：37如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.答案：8(2019通州月考)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足_时，有MN平面B1BDD1.解析：HNDB，FHD1D，平面FHN平面B1BDD1.点M在四边形EFGH及其内部运动，故MFH.答案：M在线段FH上9(2018南师附中检测)如图，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点求证：四边形B1EDF是平行四边形证明：设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1，如图因为E是AA1的中点，Q是DD1的中点，所以EQ綊A1D1.又A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1，所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綊C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QD綊C1F，所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Q綊DF.故B1E綊DF，所以四边形B1EDF是平行四边形10如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD，BCAD，BEFA，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？说明理由解：(1)证明：因为G，H分别为FA，FD的中点，所以GHAD，GHAD.又BCAD，BCAD，所以GH綊BC，所以四边形BCHG为平行四边形(2)四点共面，理由如下：由BEFA，BEFA，G为FA的中点知，BEFG，BEFG，所以四边形BEFG为平行四边形，所以EFBG.由(1)知BGCH，所以EFCH，所以EF与CH共面又DFH，所以C，D，F，E四点共面三上台阶，自主选做志在冲刺名校1如图所示，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，则下列结论中正确的是_(填序号)当时，四边形EFGH是平行四边形；当时，四边形EFGH是梯形；当时，四边形EFGH一定不是平行四边形；当时，四边形EFGH是梯形解析：由，得EHBD，且，同理得FGBD且，当时，EHFG且EHFG.当时，EHFG，但EHFG，所以正确，只有错误答案：2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直