2020版高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和教学案理新人教版.docx

第四节数列求和考纲传真1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法1公式法(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d；(2)等比数列的前n项和公式：Sn2几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和裂项时常用的三种变形：；.(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解(4)倒序相加法：如果一个数列an与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.常用结论常用求和公式(1)1234n.(2)13572n1n2.(3)24682nn2n.(4)1222n2.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知等差数列an的公差为d，则有.()(2)当n2时，.()(3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(4)如果数列an是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么SkmmSk.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A1B.C. D.Ban，S5a1a2a51.3数列an的通项公式是an，前n项和为9，则n等于()A9 B99C10 D100Ban，Sna1a2an()()()()1，令19，得n99，故选B.4数列12n1的前n项和为()A12n B22nCn2n1 Dn22nCSn(111)(20212n1)n2nn1.故选C.5数列an的前n项和为Sn，已知Sn1234(1)n1n，则S17_.9S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.分组转化法求和【例1】(2018合肥检测)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足S424，S763.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2an(1)nan，求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为an为等差数列，所以an2n1.(2)因为bn2an(1)nan22n1(1)n(2n1)24n(1)n(2n1)，所以Tn2(41424n)3579(1)n(2n1)Gn.当n2k(kN*)时，Gn2n，所以Tnn；当n2k1(kN*)时，Gn2(2n1)n2，所以Tnn2，所以Tn.规律方法分组转化法求和的常见类型(1)若an bncn，且bn，cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论 (2016北京高考)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解(1)设等比数列bn的公比为q，则q3，所以b11，b4b3q27，所以bn3n1(nN*)设等差数列an的公差为d.因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(n1,2,3，)(2)由(1)知an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1.从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2.裂项相消法求和【例2】(2019唐山五校联考)已知数列an满足：(32n1)，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3，求.解(321)3，当n2时，因为(32n1)(32n21)32n1，当n1时，32n1也成立，所以an.(2)bnlog3(2n1)，因为，所以.规律方法(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.(2)将通项公式裂项后，有时侯需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等. (2019银川质检)正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn.解(1)S(n2n1)Sn(n2n)0，Sn(n2n)(Sn1)0，Snn2n或Sn1(舍去)当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn12n，an2n(nN*)(2)bn.Tn1又nN*，Tn.错位相减法求和【例3】已知数列an的首项a13，前n项和为Sn，an12Sn3，nN*.(1)求数列an的通项公式(2)设bnlog3an，求数列的前n项和Tn.解(1)由an12Sn3，得an2Sn13(n2)，两式相减得an1an2(SnSn1)2an，故an13an(n2)，所以当n2时，an是以3为公比的等比数列因为a22S132a139，3，所以an是首项为3，公比为3的等比数列，an3n.(2)an3n，故bnlog3anlog33nn，nn，Tn12233nn，Tn122334(n1)nnn1.，得Tn23nnn1nn1n1，所以Tnn.规律方法错位相减法求和的具体步骤步骤1写出Snc1c2cn；步骤2等式两边同乘等比数列的公比q，即qSnqc1qc2qcn；步骤3两式错位相减转化成等比数列求和；步骤4两边同除以1q，求出Sn.同时注意对q是否为1进行讨论. (2017天津高考)已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通项公式；(2)求数列a2nb2n1的前n项和(nN*)解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因为q0，解得q2，所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18由S1111b4，可得a15d16联立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以数列an的通项公式为an3n2，数列bn的通项公式为bn2n.(2)设数列a2nb2n1的前n项和为Tn，由a2n6n2，b2n124n1，得a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，得3Tn2434234334n(3n1)4n14(3n1)4n1(3n2)4n18，得Tn4n1.所以数列a2nb2n1的前n项和为4n1.1(2017全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则 _.设等差数列an的公差为d，则由得Snn11，2. 22.2(2015全国卷)Sn为数列an的前n项和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和解(1)由a2an4Sn3，可知