2020版高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和教学案理新人教版.docx

第三节等比数列及其前n项和考纲传真1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的数学表达式为q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1amqnm.(2)前n项和公式：Sn常用结论1在等比数列an中，若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa.2若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍然是等比数列3等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn，其中当公比为1时，n为偶数时除外基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()答案(1)(2)(3)(4)2已知an是等比数列，a22，a5，则公比q()AB2C2D.D由通项公式及已知得a1q2，a1q4，由得q3，解得q.故选D.3已知数列an满足anan1，若a3a42，则a4a5()A. B1 C4 D8Canan1，2.a4a52(a3a4)224.故选C.4等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1()A. B C. DCS3a210a1，a1a2a3a210a1，a39a1，即公比q29，又a5a1q4，a1.故选C.5在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.6a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列又Sn126，126，解得n6.等比数列的基本运算1设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3a42,3S2a32，则公比q()A3B4C5D6B因为3S3a42,3S2a32，所以两式相减，得3(S3S2)(a42)(a32)，即3a3a4a3，得a44a3，所以q4.2等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知a3，S3，则a2_.3或法一：数列an是等比数列，当q1时，a1a2a3，显然S33a3.当q1时，由题意可知解得q或q1(舍去)a2(2)3.综上可知a23或.法二：由a3得a1a23.3，即2q2q10，q或q1.a23或.3(2019济宁模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn且a1a3，a2a4，则_.2n1设等比数列的公比为q，则(a1a3)q(a2a4)，即q，由a1a3a1(1q2)可知a12.an2n1.Sn4.2n1.规律方法(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和等比数列的判定与证明【例1】(2018全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24.将n2代入得，a33a2，所以，a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.规律方法(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证. 已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn14an2(nN*)，若bnan12an，(1)求证：bn是等比数列(2)求an的通项公式解(1)因为an2Sn2Sn14an124an24an14an，所以2.因为S2a1a24a12，所以a25.所以b1a22a13.所以数列bn是首项为3，公比为2的等比数列(2)由(1)知bnan12an32n1，所以，故是首项为，公差为的等差数列所以(n1)，所以an(3n1)2n2.等比数列性质的应用【例2】(1)等比数列an中，已知a1a38，a5a74，则a9a11a13a15的值为()A1 B2 C3 D5(2)(2019海口调研)在各项均为正数的等比数列an中，若amam22am1(mN*)，数列an的前n项积为Tn，且T2m1128，则m的值为()A3 B4 C5 D6(3)等比数列an满足an0，且a2a84，则log2a1log2a2log2a3log2a9_.(1)C(2)A(3)9(1)因为an为等比数列，所以a5a7是a1a3与a9a11的等比中项，所以(a5a7)2(a1a3)(a9a11)，故a9a112；同理，a9a11是a5a7与a13a15的等比中项，所以(a9a11)2(a5a7)(a13a15)，故a13a151.所以a9a11a13a15213.(2)因为amam22am1，所以a2am1，即am12，即an为常数列又T2m1(am1)2m1，由22m1128，得m3，故选A.(3)由题意可得a2a8a4，a50，所以a52，则原式log2(a1a2a9)9log2a59.规律方法(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.(2)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. (1)等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则公比q_.(2)(2019石家庄模拟)在等比数列an中，若a7a8a9a10，a8a9，则_.(1)(2)(1)由，a11知公比q1，.由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，故q5，所以q.(2)因为，由等比数列的性质知a7a10a8a9，所以.1(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏B3盏C5盏 D9盏B设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7381，q2，S7381，解得a13.故选B.2(2015全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21 B42C63 D84Ba13，a1a3a521，33q23q421.1q2q47.解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故选B.3(2017全国卷)设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.8设等比数列an的公比为q，a1a21，a1a33，a1(1q)1，a1(1q2)3.，得1q3，q2.a11，a4a1q31(2)38.4(2016全国卷)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_64设等比数列an的公比为q，则由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2anaq12(n1)23n23n2n.记t(n27n)，结合nN*可知n3或4时，t有最大值6.又y2t为增函数，从而a1a2an的最大值为2664.5(2018全国卷)等比数列an中，a1