安徽省马鞍山二中2018_2019学年高二数学下学期期中素质测试试题理（含解析）.docx

马鞍山市第二中学2018-2019学年度第二学期期中素质测试高二年级 理科数学试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】C【解析】分析】利用复数代数形式的除法运算化简复数,再根据实部为0且虚部不为0求解即可.【详解】为纯虚数，即，故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.用反证法证明命题：“若实数，满足，则，全为0”，其反设正确的是 （ ）A. ，至少有一个为0B. ，至少有一个不为0C. ，全不为0D. ，全为0【答案】B【解析】【分析】根据反证法的步骤将命题否定，做出假设即可。【详解】由于，全为0的否定为：，至少有一个不为0，故选B【点睛】本题考查反证法，解题关键是掌握一些常见的“结论词”和“反设词”属基础题。3.若函数在定义域内可导，则“函数在处导数为0”是“为的极值点”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先验证充分性，不妨设，在x=0处有，但为单调递增函数，x=0不是极值点；再验证必要性，即可得结果。【详解】充分性：不妨设，则，在x=0处有，但是，为单调递增函数，在x=0处不是极值，故充分性不成立。必要性：根据极值点的性质可知，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点，因为函数在定义域内可导，所以不存在不可导的点，因此导数为零的点就是极值点，故必要性成立。故选B【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查函数在一点取得极值的条件，解题的关键是理解只有导数等于0，不一定得到极值点，例如，属基础题。4.已知物体的运动方程为（是时间，是位移），则物体在时刻时的速度为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，故选D.考点：导数的物理意义.5.已知复数满足，则()A. B. C. 5D. 10【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【详解】故选：B【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6.（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用定积分的几何意义即可求解。【详解】令，画出图像，由定积分的几何意义可得：所求即为右上圆的面积，故所求定积分的值为【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题。7.已知函数，则函数f（x）的单调递增区间是（）A. （，1）B. （0，1）C. （，1）D. （1，）【答案】B【解析】【分析】求导，令，结合定义域即可求解。【详解】，令，可得，解得，又 ，所以，故选B【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间问题，注意不要忘记定义域，属基础题。8.若函数存在极值，则实数的取值范围是（ ）A. （1，1）B. 1，1C. （1，）D. （，1）【答案】A【解析】【分析】求出导函数，存在极值，即有实数解，转化为，求k的范围，再检验k等于是否成立，即可得结果。【详解】，因为函数有极值，所以有实数解，即有实根，因为，所以。若，则恒成立，即在R上单调递增，此时没有极值，故舍去，同理当时，恒成立，即在R上单调递减，此时也没有极值，舍去，故，故选A【点睛】本题考查利用导数求函数极值问题，考查转化化归的思想，易错点在于检验k等于是否成立，属基础题。9.若直线经过点（8，3），且与曲线相切，则直线的斜率为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】设切点，根据导数的几何意义，表示出切线方程为，代入（8，3）求出的值，即可求解。【详解】由题意得，设切点， ，所以切线为，又过（8，3），代入可得，解得或所以斜率或，故选C【点睛】本题考查“过”点型切线问题，要点在于设出切点，求出切线，再代入所过的点，考查学生对基础知识的掌握水平，属基础题。10.已知，且，则为虚数单位的最小值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数|z|=1的几何意义即可求得|z22i|（i为虚数单位）的最小值利用复数|z|=1的几何意义即可求得|z22i|（i为虚数单位）的最小值【详解】|z|=1且zC，作图如图：|z22i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P（2，2）的距离，|z22i|的最小值为：|OP|1=21故选：A【点睛】本题考查复数求模，着重考查复数模的几何意义，考查作图、用图的能力，属于中档题11.设，是方程的两个不等实根，记（），下列两个命题：数列的任意一项都是正整数；数列第5项为10 则（）A. 正确，错误B. 错误，正确C. 都正确D. 都错误【答案】A【解析】分析】根据韦达定理，可得，写出，整理可得，代入数据，即可求解【详解】由韦达定理得：，因为所以= =，所以当时，数列中的任意一项都等于其前两项之和，又,，所以，故数列中任意一项都是正数，故正确，错误，故选A【点睛】本题考查根据数列递推关系，求数列中的项，结合韦达定理进行求解，属中档题。12.已知函数的定义域为R，导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A. （，0）B. （，2）C. （0，）D. （2，）【答案】C【解析】【分析】由题可知，构造函数，确定函数单调性，即可求得答案.【详解】令，则，不等式等价于 ，即, ，即函数单调递减;又 ， ; 解集为，即；故选C.【点睛】本题考查利用导数判断函数单调性，利用函数的单调性解不等式，根据已知条件构造适当的函数是解决本题的关键.第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知的导函数为，且满足关系式，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据导数的计算公式求出，令可得 ， 然后把x=1代入即可.【详解】由，可得： ，解得： .故答案为： 【点睛】本题考查函数的导数的应用，属基础题.14.圆上点P（，）处的切线方程为类比此结论，椭圆（0）上点P（，）处的切线方程为_【答案】【解析】类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：用代x2，用代y2，即可得过椭圆上一点的切线方程为故答案为：.15.由曲线（x0）与它在处切线以及x轴所围成的图形的面积为_【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，作出对应的图像，利用积分的几何意义即可求出区域的面积.【详解】解： ,当x=1时，y=1， ,在点（1，1）处的切线的斜率为k=，可得切线的方程为y=3x-2， 直线y=3x-2与x轴的交点坐标为（），可得围成图形的面积：S=，故答案：.【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上的某点的切线方程及定积分在求面积中应用，属于基础题型.16.若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为_【答案】6【解析】【分析】因为，结合条件整理得，令，结合单调性即可求解。【详解】因为，所以，同取对数得，因为，所以，即令，所以在（0，e）上单调递增，在上单调递减，因为，只需考虑和的大小关系，因为，所以所以只需，即，故最小值为6.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值问题，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知，均为正实数（）用分析法证明：；（）用综合法证明：若1，则8【答案】（）见解析（）见解析【解析】【分析】（）因为0，0，所以0，两边同时平方，根据分析法步骤证明，即可得证。（）利用基本不等式，代入即可得证。【详解】（）证明：因为0，0，所以0要证明，即证，即证，即证 0，即证 0因为不等式0显然成立，从而原不等式成立 （）因为，均为正实数，则由基本不等式，得，所以 ，因为，所以8【点睛】本题考查分析法和综合法证明不等式，考查基本不等式应用，意在考查学生对这些基础知识的理解水平和分析能力，属基础题。18.如图，在三棱锥中，ABC是等边三角形，ABAD，CBCD，点P是AC的中点，记BPD、ABD的面积分别为，二面角ABDC的大小为， 证明：（）平面ACD平面BDP；（）【答案】（）见解析（）见解析【解析】【分析】（）由题意可知RtBADRtBCD，ADCD，又P是AC的中点，PBAC，PDAC，可得AC平面BDP ，结合面面垂直的判定定理即可得证。（）作AM BD，M为垂足，连接PM，CM可得ACPM，ACBD，所以BDCM，则AMC就是二面角ABDC的平面角，即AMC 可求出与的关系，即可得证。【详解】（）证明：ABC是等边三角形，ABAD，CBCD，RtBADRtBCD，ADCD 点P是AC的中点，PBAC，PDAC， 又P，平面BDP，平面BDP，AC平面BDP， 平面ACD，平面ACD平面BDP （）证明：作AM BD，M垂足，连接PM，CM由（1）知AC平面BDP，则ACPM，ACBD，BD平面ACM，BDCM，则AMC就是二面角ABDC的平面角，即AMC又P为AC的中点，PMAC，则AMP，所以 ， 所以【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，几何法求二面角的问题，考查空间想象能力，属中档题。19.在数列的前项和为，满足（2）（）求，并猜想表达式；（）试用数学归纳法证明你的猜想【答案】（），（）见解析【解析】【分析】（）利用，化简整理得（2），依次代入数据，即可求解。（）根据数学归纳法步骤证明即可。【详解】（）由，得（2），猜想：（）证明： 当时，左边，右边，猜想成立 假设当（）时猜想成立，即，那么，即当时猜想也成立根据，可知猜想对任何都成立【点睛】本题考查数列中和的关系，利用数学归纳法证明猜想的公式，考查计算化简，推理证明的能力，属基础题。20.若函数，当时，函数有极值（）求，的值；（）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围【答案】（），（）【解析】【分析】（）根据导数的意义可知，代入数据即可求解。（）由（）可知的解析式，求导，求出单调性与极值，画出的大致图像，有三个根，即图像与y=k有三个公共点，结合图像即可求解。【详解】解：（），由题意得，解得，经检验，符合题意，故， （）由（1）知 ，令，得或.当变化时， ，的变化情况如下表：2200因此，当时，有极大值，当时，有极小值，所以函数的图象大致如图所示若有3个不同的根，则直线与函数的图象有3个交点，所以【点睛】本题考查函数与导数之间的关系，考查数形结合的数学思想，属中档题。21.已知函数（）讨论函数的单调性；（）若对任意，0恒成立，求实数的取值范围【答案】（）答案不唯一，具体见解析（）【解析】【分析】（）求出导函数，分别讨论0，0时，的正负，即可求解。（）当0，为单调递增函数，且0，不满足题意当0，0恒成立，满足题意。当0时，0恒成立，等价于，令，结合单调性，即可求解。【详解】（）解：函数的定义域为R，（1）当0时，因为0，所以0，函数在（，）上单调递增；（2）当0时，由0，得，由0，得，所以，函数在（，）上单调递减，在（，）上单调递增（）解：（1）由（）知，当0时，在（，）上单调递增，因为0，0，所以存在（，0），使0所以，当（，）时，0，不合题意说明：当0时，1，则0，0不恒成立（2）当0时，0恒成立；（3）当0时，0恒成立，等价于对任意，恒成立，令，则，当（，1）时，0，为增函数；当（1，）时，0，为减函数，所以，于是，所以0综上，实数的取值范围为0，【点睛】本题考查讨论含参函数的单调性问题、函数极值与恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属中档题。22.已知函数，其中（）若函数在区间（1，e）存在零点，求实数a的取值范围；（）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围【答案】（）（）【解析】【分析】（），求导可得的单调性，结合零点存在性定理即可求解。（）任意的，都有成立，等价于对任意的都有分别求出和即可求解。【详解】（）解：，其定义域为， 0，在