高考数学总复习第七章不等式、推理与证明第39讲简单不等式及其解法练习理新人教版.docx

第39讲简单不等式及其解法夯实基础【p83】【学习目标】1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法3熟练掌握分式不等式、含绝对值不等式、指数不等式和对数不等式的解法【基础检测】1若集合Ax|2x1|3，B，则AB()A.Bx|2x3C.D.【解析】Ax|2x1|3x|32x13x|1x0，AB.【答案】D2设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A1，2 B0，2C1，) D0，)【解析】当x1时，f(x)2化为21x2，解得0x1；当x1时，f(x)1log2x12恒成立故x的取值范围是0，)【答案】D3关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a()A.B.C.D.【解析】因为x22ax8a20)，所以(x2a)(x4a)0)，即2ax0的解集为x|xa，xR，则实数a_【解析】因为关于x的不等式x22kxk2k10的解集为x|xa，xR，所以(2k)24(k2k1)0，所以4k40，所以ak1.【答案】15若关于x的不等式5x2a0的正整数解是1，2，3，则实数a的取值范围是_【解析】关于x的不等式5x2a0的正整数解是1，2，3，所以a0，可得x，所以34，可得45ab(a0)的解集为：(1)a0时，_x_；(2)a0(a0)或ax2bxc0(a0)的解集的各种情况如下表判别式b24ac000)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集_x|xx2_x|x_R_ax2bxc0(a0)的解集_x|x1xx2_3.简单指数不等式不等式af(x)ag(x)(1)当a1时，等价于_f(x)g(x)_；(2)当0a1时，等价于_f(x)logag(x)(1)当a1时，等价于_f(x)g(x)0_；(2)当0af(x)0_典例剖析【p83】考点1一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)3x22x80；(2)0x2x24.【解析】(1)原不等式可化为3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集为.(2)原不等式等价于借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为x|2x1或2x3【点评】解一元二次不等式的四个步骤：(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式，如例1中(1)小题；(2)判：计算对应方程的判别式；(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根；(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集考点2简单指数、对数及分式不等式的解法(1)不等式1的解集为()A. B.C. D.【解析】由题可知：10, 00时，(x1)(ax1)0的两根x10，x21，x或x1；当a1，即1a0，则1x；若1，即a0时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为x|x1；当1a0时，不等式的解集为.【点评】含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集考点4含参不等式恒成立问题角度一：形如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围已知不等式mx22xm10，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】要使不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方当m0时，12x0，则x，不满足题意；当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足开口向下且关于x的方程mx22xm10无解，即不等式组的解集为空集，即m无解综上可知，不存在这样的实数m使不等式恒成立角度二：形如f(x)0(xa，b)确定参数范围设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1，3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围【解析】要使f(x)m5在1，3上恒成立，则mx2mxm60，即mm60在x1，3上恒成立有以下两种方法：法一：令g(x)mm6，x1，3当m0时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，则0m；当m0时，g(x)在1，3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，即m0.综上所述，m的取值范围是(，0).法二：因为x2x10，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1，3上的最小值为，所以只需m即可因为m0，所以m的取值范围是(，0).角度三：形如f(x)0(参数ma，b)确定x的范围对任意m1，1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围【解析】由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由题意知在1，1上，g(m)的值恒大于零，解得x3.故当x(，1)(3，)时，对任意的m1，1，函数f(x)的值恒大于零【点评】(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元；求谁的范围，谁就是参数角度四：对x1，x2D都有f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.(这里假设f(x)max，g(x)min存在)已知函数f(x)x22x3，g(x)log2xm，对x1，x21，4有f(x1)g(x2)恒成立，求实数m的取值范围【解析】f(x)x22x3(x1)22，当x1，4时，f(x)minf(1)2，g(x)maxg(4)2m.由题意得，f(x)ming(x)max，则22m.mb(a0)的实质就是由不等式性质将不等式两边同乘以，并注意由a的取值的正负确定不等式的解2解一元二次不等式的基本思想是：(1)解一元二次不等式主要采用判别式法、求根法，应结合上表深刻理解不等式ax2bxc0(a0)的解集与对应的一元二次方程ax2bxc0(a0)的根以及二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象之间的关系(2)解一元二次不等式要注意密切联系一元二次方程、二次函数的图象，一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标，对应不等式的解集就是使函数图象在x轴上方或下方的部分所对应的x的集合，方程的根就是不等式解集区间的端点3解指数、对数不等式既要运用相应的指数、对数函数的单调性，又要注意化异底为同底和定义域优先原则走进高考【p85】1(2015江苏)不等式2x2x4的解集为_【解析】因为2x2x422，所以x2x2，解得1x2，故不等式的解集为(1，2)【答案】(1，2)2(2016全国卷)设集合Ax|x24x30，则AB()A(3，)B(3，)C(1，) D(，3)【解析】由题意得，A|x|1x，则AB.【答案】D考点集训【p219】A组题1设集合Mx|x2x20，Nx|12x18，则MN()A(2，4 B1，4 C(1，4 D4，)【解析】解集合M(，1)(2，)，对于集合N，将不等式化为202x123，解得1x4，所以集合N1，4，所以MN(2，4【答案】A2不等式2的解集是()A. B.C.(1，3 D.(1，3【解析】200，转化为乘法的等价形式2x25x30，且x10，故x3，且x1.【答案】D3不等式2x24x22axa对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是()A(1，4)B(4，1)C(，4)(1，)D(，1)(4，)【解析】不等式2x24x22axa对一切实数x都成立，x24x2axa对一切实数x都成立，即x2(42a)xa0对一切实数x都成立(42a)24(a)0，即a25a40.4a0，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【解析】对任意的x(1，4)，都有fax22x20恒成立，可知a0，a2，对任意的x(1，4)恒成立，0的解集是，则ab的值是_【解析】由题意知，是方程ax2bx20的两根，则解得所以ab14.【答案】146已知不等式ln0对任意正整数n恒成立，则实数m的取值范围是_【解析】由题意，或或nm或mn，n为正整数，n4或5，4m5.【答案】4，57若不等式ax2bxc0的解集【解析】(1)由已知，且a0可化为x25x60，解得3x2x23x12a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(3)若a1.【解析】(1)当a1，不等式f(x)1即x2x11，即(x2)(x1)0，解得x2，或x1，故不等式的解集为x|x2，或x1(2)由题意可得(a2)x24xa10恒成立，当a2时，显然不满足条件，解得a2，故a的取值范围是(2，)(3)若a0，即(x1)0.1，当a0时，1，不等式的解集为；当a时，1，不等式即(x1)20，它的解集为；当a，不等式的解集为.B组题1若关于x的不等式x2ax20在区间上有解，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【解析】原不等式可变形为ax，x在区间上为减函数，当x1时，值为1，当x5时，值为，由于题目是存在性问题，故a.【答案】A2已知函数f(x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，当x1，1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是()A1b2Cb2 D不能确定【解析】由f(1x)f(1x)知f(x)图象的对称轴为直线x1，则有1，故a2.由f(x)的图象可知f(x)在1，1上为增函数x1，1时，f(x)minf(1)12b2b1b2b2，令b2b20，解得b2.【答案】C3已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_【解析】由题意知f(x)x2axbb.f(x)的值域为0，)，b0.f(x).又f(x)c，c，即xk的解集为x|x3或x2，求k的值；(2)求函数g(x)在2，4上的最小值h(m)；(3)对于x12，4，x22，4，使f(x1)g(x2)成立，求实数m的取值范围【解析】(1)由f(x)k得k，整理得kx2x6k0，因为不等式的解集为x|x2，所以方程kx2x6k0的两根是3，2；由根与系数的关系得3(2)，即k；(2)g(x)x22mx的对称轴方程为xm，当m2，即m2时，g(x)在2，4上是单调增函数，g(x)ming(2)44m4m，故h(m)4m；当2m4，即4m2时，g(x)在2，m上是单调减函数，在m，4上是单调增函数，g(x)ming(m)m2，故h(m)m2；当m4，即m4时，g(x)在2，4上是单调减函数，g(x)ming(4)168m8m，故h(m)8m；所以h(