高考数学总复习第四章三角函数第24讲三角函数的图象与性质练习理新人教版.docx

第24讲三角函数的图象与性质夯实基础【p50】【学习目标】1掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象；2理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性；3会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期；4理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题【基础检测】1函数ytan2的定义域为_【答案】2函数y4sin x，x，的单调性是()A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在上是增函数，在和上都是减函数C在0，上是增函数，在，0上是减函数D在和上是增函数，在上是减函数【答案】B3下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()Aycos BysinCysin 2xcos 2x Dysin xcos x【解析】对于选项A，因为ysin 2x，T且图象关于原点对称【答案】A4函数f(x)tan x(0)的图象的相邻两支截直线y2所得线段长为，则f的值是()A B.C1 D.【解析】由已知得f(x)的最小正周期为，则，所以2，f(x)tan 2x，所以ftan.【答案】D5使函数ycos2x3cos x取得最大值的x的集合为_【解析】函数化为y2，其中1cos x1，当cos x1时，函数取得最大值，此时x2k，kZ.【答案】x|x2k，kZ【知识要点】1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0，2的图象上，五个关键点是：(0，0)，(，0)，(2，0)余弦函数ycos x，x0，2的图象上，五个关键点是：(0，1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ).函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1，11，1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性为增；为减2k，2k为减；2k，2k为增为增对称中心(k，0)对称轴xkxk3.yAsin xb(xR)和yAcos xb(xR)的最大值为_|A|b_，最小值为_|A|b_典 例 剖 析【p50】考点1三角函数的定义域和值域(1)函数y的定义域为_【解析】要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为.【答案】(2)求函数ycos2xsin x的最大值与最小值【解析】令tsin x，|x|，t.yt2t1，当t时，ymax；当t时，ymin.函数ycos2xsin x的最大值为，最小值为.【点评】1.三角函数定义域的2种求法(1)应用正切函数ytan x的定义域求函数yAtan(x)的定义域(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域2三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解(2)化一法：把所给三角函数化为yAsin(x)k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域(3)换元法：把sin x、cos x、sin xcos x或sin xcos x换成t，转化为二次函数考点2三角函数的单调性、周期性写出下列函数的单调区间：(1)f(x)sin，x0，；(2)f(x)|tan x|；(3)f(x)cos，x.【解析】(1)由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.又x0，所以f(x)的单调递增区间为.同理，单调递减区间为.(2)观察图象可知，y|tan x|的增区间是，kZ，减区间是，kZ.(3)当2k2x2k(kZ)，即kxk，kZ时，函数f(x)是增函数因此函数f(x)在上的单调递增区间是.同理，单调递减区间为，.【点评】求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间【提醒】求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域已知a0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调区间【解析】(1)x，2x，sin1，又a0，5f(x)1，即(2)f(x)4sin1，f(x)的最小正周期T.由2k2x2k得kxk，kZ，由2k2x2k得kxk，kZ，f(x)的单调递增区间为 (kZ)，单调递减区间为 (kZ)考点3三角函数的奇偶性和对称性(1)已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则函数f(x)的图象()A关于直线x对称 B关于直线x对称C关于点对称 D关于点对称【解析】f(x)sin的最小正周期为，2，f(x)sin.当x时，2x，A，C错误；当x时，2x，D错误，B正确【答案】B(2)若函数ycos(N*)的图象的一个对称中心是，则的最小值为()A1 B2 C4 D8【解析】k(kZ)6k2(kZ)min2.【答案】B(3)设偶函数f(x)Asin(x)(A0，0，0)的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，KML90，KL1，则f的值为()A BC D.【解析】由f(x)为偶函数，得.点M到x轴的距离是，则A.设f(x)cos x，又由题图知1，所以，所以f(x)cos x，故fcos .【答案】D【点评】函数f(x)Asin(x)的奇偶性和对称性(1)若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)Asin(x)为奇函数，则当x0时，f(x)0.(2)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断方 法 总 结【p51】1五点法作图时要注意五点的选取，一般令x分别取0，2，算出相应的x值，再列表、描点、作图2三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：(1)首先看定义域是否关于原点对称；(2)在满足(1)后，再看f(x)与f(x)的关系另外三角函数中的奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x，偶函数一般可化为yAcos xb的形式3三角函数的单调性(1)函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的确定，其基本思想是把x看作一个整体，比如：由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为增区间若函数yAsin(x)中A0，0，可用诱导公式将函数变为yAsin(x)，则yAsin(x)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间对函数yAcos(x)，yAtan(x)等单调性的讨论同上(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：先判断正负；利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；再利用单调性比较4求三角函数的最值常见类型：(1)yAsin(x)B或yAtan(x)B，(2)yA(sin xa)2B，(3)ya(sin xcos x)bsin xcos x.其中A，B，a，bR，A0，a0.走 进 高 考【p52】1(2017全国卷)设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在单调递减【解析】函数的最小正周期为T2，则函数的周期为T2k(kZ)，取k1，可得函数f(x)的一个周期为2，选项A正确；函数的对称轴为xk(kZ)，即：xk(kZ)，取k3可得yf(x)的图象关于直线x对称，选项B正确；f(x)coscos，函数的零点满足xk(kZ)，即xk(kZ)，取k0可得f(x)的一个零点为x，选项C正确；当x时，x，函数在该区间内不单调，选项D错误【答案】D2(2018全国卷)若f(x)cos xsin x在a，a是减函数，则a的最大值是()A. B. C. D【解析】因为f(x)cos xsin xcos，所以由02kx2k，(kZ)得2kx2k，(kZ)因此a，a，aa，a，a，00)，且f()2，f()0，的最小值是，则f(x)的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)【解析】f(x)sin(x)sin2sin，因为f()2，f()0，的最小值是，所以周期为2，1，f(x)的单调增区间为2kx2k，kZ，得到2kx2k.【答案】A2已知函数f(x)2sin(x)对任意的x都有ff，则f_【解析】函数f(x)2sin(x)对任意的x都有ff，则其图象的对称轴为，所以f2.【答案】23函数f(x)的图象与函数g(x)2sinx(0x4)的图象的所有交点为(xi，yi)，则f(y1y2yn)g(x1x2xn)_【解析】如右图，画出函数f(x)和g(x)的图象，可知有4个交点，并且关于点(2，0)对称，所以y1y2y3y40，x1x2x3x48，所以f(y1y2y3y4)g(x1x2x3x4)f(0)g(8)0.【答案】4已知函数f(x)ab.(1)若a1