高考数学总复习第十二章不等式选讲第76讲不等式证明的基本方法练习理新人教版.docx

第76讲不等式证明的基本方法夯实基础【p173】【学习目标】通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法【基础检测】1已知0a，且M，N，则M、N的大小关系是()AMNCMN D不确定【解析】由已知得0ab0.故MN.【答案】B2设a0，b0，且ab4，则有()A.B.1C.2 D.【解析】4ab2，2，1.【答案】B3若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(写出所有正确命题的序号)ab1；a2b22；a3b33；2.【解析】令ab1，排除；由2ab2ab1，命题正确；a2b2(ab)22ab42ab2，命题正确；2，命题正确【答案】4已知a，b，c，d都是正数，若(abcd)(acbd)kabcd恒成立，则k的取值范围是_【解析】a，b，c，d都是正数，(abcd)(acbd)kabcd恒成立，k，224(当且仅当ad，cb时取“”)，4，k4，k的取值范围是(，4【答案】(，4【知识要点】1基本不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均定理3：如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立2比较法(1)比差法的依据是：ab0ab步骤是：“作差变形判断差的符号”变形是手段，变形的目的是判断差的符号(2)比商法：若B0，欲证AB，只需证1.3综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立典例剖析【p173】考点1比较法证明不等式设a，b是非负实数，求证：a2b2(ab)【解析】因为a2b2(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab)，因为a0，b0，所以不论ab0，还是0ab，都有ab与ab同号，所以0，所以a2b2(ab)【点评】作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负考点2综合法证明不等式设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)“”是“|ab|cd，得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)，得.若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|”是“|ab|0)；2(ab0)；2(ab0，且abbcca1.求证：abc.【解析】(1)要证1，只需证ab21，即证2，即证.而ab2，成立原不等式成立(2)要证abc，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故只需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得所以原不等式成立【点评】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆方法总结【p174】1作差比较法是证明不等式最基本、最重要的方法，其关键是变形，通常通过因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断2综合法证明不等式时，主要利用基本不等式、函数的单调性以及不等式的性质，在严密的推理下推导出结论，综合法往往是分析法的逆过程，所以在实际证明时，用分析法分析，用综合法表述证明推理过程3某些不等式的条件与结论，或不等式的左右两边联系不明显，用作差法又难以对差进行变形，难以运用综合法直接证明，这时常用分析法，以便发现联系分析的过程中，综合条件、定理等因素进行探索，把分析与综合结合起来，形成分析综合法4有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法，凡是含有“至少”“唯一”或者含有其他否定词的命题，适宜用反证法5放缩法是一种常用的证题技巧，放缩必须有目标，而目标可以从求证的结论中和中间结果中寻找常用的放缩技巧有添舍放缩，拆项对比放缩，利用函数的单调性和重要不等式放缩等走进高考【p174】1(2017全国卷)已知a0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.【解析】(1)法一：(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.法二：由柯西不等式可得：(ab)(a5b5)()(a3b3)24，当且仅当，即ab1时取等号，所以(ab)(a5b5)4，原问题得证(2)法一：因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.法二：因为a0，b0，要证明ab2，只需证明(ab)38，即证明a33a2b3ab2b38，只需证明a2bab22，因为a3b32，上式等价于a2bab2a3b30，也即a2(ba)b2(ab)0，即(a2b2)(ba)(ab)2(ab)0，因为a0，b0，上式显然成立，所以结论成立，即ab2.考点集训【p283】A组题1若a，b均为正实数，且ab，M，N，则M、N的大小关系为_【解析】ab，2，2，22，即MN.【答案】MN2设ab2，b0，当取得最小值时，求a的值【解析】由于ab2，所以，由于b0，|a|0，所以21，因此当a0时，的最小值是1；当a0时，的最小值是1.故的最小值为，此时即a2.3已知f(x)，ab，求证：|f(a)f(b)|ab|.【解析】|f(a)f(b)|0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立5已知x，yR，且|x|1，|y|1.求证：.【解析】法一：(分析法)|x|1，|y|0，0，.故要证明结论成立，只要证明成立即证1xy成立即可(yx)20，有2xyx2y2，(1xy)2(1x2)(1y2)，1xy0.不等式成立法二：(综合法)1|xy|，原不等式成立6已知函数f(x)|x|x1|.(1)若f(x)|m1|恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2b2M，证明：ab2ab.【解析】(1)由已知可得f(x)所以f(x)min1，所以只需|m1|1，解得1m11，0m2，所以实数m的最大值M2.(2)法一：(综合法)a2b22ab，ab1，1，当且仅当ab时取等号，又，当且仅当ab时取等号，由得，所以ab2ab.法二：(分析法)因为a0，b0，所以要证ab2ab，只需证(ab)24a2b2，即证a2b22ab4a2b2，a2b2M，所以只要证22ab4a2b2，即证2(ab)2ab10，即证(2ab1)(ab1)0，因为2ab10，所以只需证ab1，因为2a2b22ab，所以ab1成立，所以ab2ab.B组题1已知an(nN*)，求证：ann，an123n.，an(23n).综上得an.2已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)(1)求的最小值；(2)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.【解析】(1)因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以33336，当且仅当且ab，即ab，且x1x21时，有最小值6.(2)证明：因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以(ax1bx2)(ax2bx1)a2x1x2abxabxb2x1x2x1x2(a2b2)ab(xx)x1x2(a2b2)ab(2x1x2)x1x2(a2b22ab)x1x2(ab)2x1x2，当且仅当x1x2时，取得等号所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.3已知a，b，c为正实数，且abc2.(1)求证：abbcac；(2)若a，b，c都小于1，求a2b2c2的取值范围【解析】(1)abc2，a2b2c22ab2bc2ca4，又a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，所以a2b2c2abbcac，故42ab2bc2acabbcac，也就是abbcac.(2)由题意可知，a2b2c22ab2bc2ca4，4a2b2c2a2b2c2b2a2c23(a2b2c2)，a2b2c2，当且仅当abc时取等号，0a1，a2a.同理b2b，c2c