高考数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布5第5讲几何概型练习理（含解析）.docx

第5讲 几何概型 基础题组练1(2019河北衡水联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm，面额100元为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是()A. mm2B. mm2C. mm2 D. mm2解析：选A.向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S112(mm2)2如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A1 B.C. D1解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为224，圆锥底面圆的面积为，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1，故选A.3在区间0，上随机取一个数x，则事件“sin xcos x”发生的概率为()A. B.C. D.解析：选C.由题意可得即解得0x，故所求的概率为.4.(2019湖南长沙模拟)如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为()A. B.C1 D1解析：选C.正方形的面积为82，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为42224128，所以黑色区域的面积为828.在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为P1，故选C.5(2019湘东五校联考)已知平面区域(x，y)|0x，0y1，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线ysin2x下方的概率是()A. B.C. D.解析：选A.ysin2xcos 2x，所以dx，区域(x，y)|0x，0y1的面积为，所以向区域内任意掷点，该点落在曲线ysin2x下方的概率是.故选A. 6已知等腰RtABC中，C90，在CAB内作射线AM，则使CAM30的概率为_解析：如图，在CAB内作射线AM0，使CAM030，于是有P(CAM2，(x，y)|x2y24，所以P(M).10已知向量a(2，1)，b(x，y)(1)若x1，0，1，2，y1，0，1，求向量ab的概率；(2)若x1，2，y1，1，求向量a，b的夹角是钝角的概率解：(1)设“ab”为事件A，由ab，得x2y.所有基本事件为(1，1)，(1，0)，(1，1)，(0，1)，(0，0)，(0，1)，(1，1)，(1，0)，(1，1)，(2，1)，(2，0)，(2，1)，共12个基本事件其中A(0，0)，(2，1)，包含2个基本事件则P(A)，即向量ab的概率为.(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得ab0，即2xyr，即1，解得k，故所求的概率为P.2(创新型)已知P是ABC所在平面内一点，20，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是()A. B.C. D.解析：选D.以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，则，因为2 0，所以2，得2，由此可得，P是ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的，所以SPBCSABC，所以将一粒黄豆随机撒在ABC内，黄豆落在PBC内的概率为.3(应用型)(2019山西太原联考)甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：007：20内某一时刻随机到达，乙在7：057：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是()A. B.C. D.解析：选C.建立平面直角坐标系如图，x，y分别表示甲、乙二人到达的时刻，则坐标系中每个点(x，y)可对应甲、乙二人到达时刻的可能性，则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是其构成的区域为如图阴影部分，则所求的概率P.4(应用型)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O被函数y3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为_解析：根据题意，大圆的直径为函数y3sin x的最小正周期T，又T12，所以大圆的面积S36，一个小圆的面积S12，故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P.答案：5(创新型)某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6个小组的频数是7.(1)求进入决赛的人数；(2)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在810米之间，乙的成绩均匀分布在9.510.5米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率解：(1)第6小组的频率为1(0.040.100.140.280.30)0.14，所以总人数为50.由图易知第4、5、6组的学生均进入决赛，人数为(0.280.300.14)5036，即进入决赛的人数为36.(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x，y米，则基本事件满足，设事件A为“甲比乙跳得远”，则xy，作出可行域如图中阴影部分所示所以由几何概型得P(A)，即甲比乙跳得远的概率为.6(创新型)已知关于x的二次函数f(x)ax24bx1.(1)设集合P1，2，3和Q1，1，2，3，4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域内的随机点，求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率解：(1)因为函数f(x)ax24bx1的图象的对称轴为x，要使f(x)ax24bx1在区间1，)上为增函数，当且仅当a0且1，即2ba.若a1，则b1；若a2，则b1，1；若a3，则b1，1.所以事件包含基本事件的个数是1225，因为事件“分别从集合P和Q中随机取一