高考数学第四章三角函数、解三角形第四节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及其应用教案.docx

第四节 函数yAsin(x)的图象及其应用1yAsin(x)的有关概念yAsin(x) (A0，0)振幅周期频率相位初相ATfx2五点法画yAsin(x)一个周期内的简图五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xx2yAsin(x)0A0A03由函数ysin x的图象变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法小题体验1函数yAsin的振幅为3，周期为，则A_.答案：52用五点法作函数ysin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是_、_、_、_、_.答案：3将函数f(x)2sin 2x的图象上每一点向右平移个单位长度，得函数yg(x)的图象，则g(x)_.答案：2sin1函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象2要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数3由yAsin x的图象得到yAsin(x)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|.小题纠偏1(2019连云港调研)若将函数ysin x的图象向左平移个单位长度，则所得到的图象的函数解析式为_解析：将函数ysinx的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为ysinsin.答案：ysin2要得到函数ysin 2x的图象，只需把函数ysin的图象向右平移_个单位长度答案：典例引领某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x02xAsin(x)0550(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值(3)作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象解：(1)根据表中已知数据，解得A5，2，数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数解析式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，则g(x)5sin.因为函数ysin x图象的对称中心为(k，0)，kZ，令2x2k，kZ，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，所以令，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.(3)由数据作出的图象如图所示：由题悟法函数yAsin(x)(A0，0)的图象的两种作法五点法设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象图象变换法由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”提醒平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于x加减多少值即时应用1(2018苏州高三暑假测试)将函数ysin(2x)(0)的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数yf(x)的图象，若函数yf(x)的图象过原点，则_.解析：由题意可得f(x)sinsin，因为函数yf(x)的图象过原点，所以sin0，所以k(kZ)，即k(kZ)，又因为0，所以.答案：2(2019南京、盐城一模)将函数y3sin的图象向右平移个单位长度后，所得函数为偶函数，则_.解析：将函数y3sin的图象向右平移个单位长度后，所得函数为y3sin3sin.因为所得的函数为偶函数，所以2k(kZ)，解得(kZ)，因为0，所以k1，得.答案：典例引领1(2018南京高三年级学情调研)若函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则f()的值为_解析：由题图可得A2，则T3，所以，由最高点的相位可知2k，kZ，得2k，kZ，又|，所以.所以f(x)2sin，所以f()1.答案：12(2019南师附中检测)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则f(0)_.解析：由图象可知，A1，由，得1.再根据五点法作图可得 1，故f(x)sin，f(0)sin.答案：由题悟法确定yAsin(x)b(A0，0)中参数的方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A，b；(2)求：确定函数的周期T，则可得；(3)求：常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口具体如下：第一点图象上升时与x轴的交点x0第二点图象的“峰点”x第三点图象下降时与x轴的交点x第四点图象的“谷点”x第五点x2即时应用1已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则f_.解析：由题图知A1，所以T，得2，又fsin0，所以2k(kZ)或2k(kZ)(舍去，因为f(0)0)，所以f(x)sin，故fsin.答案：2(2018宿迁、泰州调研)设函数ysin(0x)，当且仅当x时，y取得最大值，则正数的值为_解析：因为0x，0，所以x，又函数当且仅当x时取得最大值，所以解得2.答案：2对应学生用书P47典例引领已知函数f(x)2sin2cos 2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若关于x的方程f(x)m2在x上有两个不同的解，求实数m的取值范围解：(1)由f(x)2sin2cos 2x1coscos 2x1sin 2xcos 2x12sin，则由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以函数的单调递增区间为，kZ.(2)由f(x)m2，得f(x)m2，当x时，2x，因为f(0)12sin1，函数f(x)的最大值为123，所以要使方程f(x)m2在x上有两个不同的解，则f(x)m2在x上有两个不同的解，即函数f(x)和ym2在x上有两个不同的交点，即1m23，即1m1.所以实数m的取值范围为1,1)由题悟法1三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路先将yf(x)化为yAsin(x)B的形式，再借助yAsin(x)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题2三角函数的零点、不等式问题的求解思路(1)把函数表达式转化为正弦型函数形式yAsin(x)B(A0，0)；(2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象；(3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题即时应用(2019苏州调研)已知函数f(x)sinb(a0，b0)的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为.(1)求a，b的值；(2)求f(x)在上的最大值和最小值解：(1)因为f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为，所以f(x)的周期为，所以，所以a2，此时f(x)sinb.又因为f(x)的图象与x轴相切，所以，b0，所以b.(2)由(1)可得f(x)sin，因为x，所以4x，所以当4x，即x时，f(x)有最大值为；当4x，即x时，f(x)有最小值为0.对应学生用书P47典例引领(2018苏北四市调研)如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？解：(1)如图所示建立直角坐标系，设角是以Ox为始边，OP0为终边的角OP每秒钟内所转过的角为.所以OP在时间t(s)内所转过的角为t.由题意可知水轮逆时针转动，得z4sin2.当t0时，z0，得sin ，即.故所求的函数关系式为z4sin2.(2)令z4sin26，得sin1，令t，得t4，故点P第一次到达最高点大约需要4 s.由题悟法三角函数模型在实际应用中体现的2个方面(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模即时应用1(2019苏北四市调研)如图，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每12分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低处，则点P距地面的高度h(m)与时间t(分钟)的函数解析式为_解析：作出如图所示的平面直角坐标系，由已知，可设函数解析式为h5040cos(t)，摩天轮作匀速转动，每12分钟转一圈，12，.摩天轮上点P的起始位置在最低处，当t0时，h5040cos 10，解得0.所求函数解析式为h5040cost.答案：h5040cost2某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0,24)，则实验室这一天的最大温差为_.解析：因为f(t)102102sin，又0t24，所以t，所以1sin1.当t2时，sin1；当t14时，sin1.于是f(t)在0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ，最低温度为8 ，最大温差为4 .答案：4一抓基础，多练小题做到眼疾手快1y2sin的初相为_答案：2函数f(x)sin，xR的最小正周期为_解析：最小正周期为T4.答案：43(2018苏州高三期中调研)函数ysin(2x)图象的一条对称轴是x，则_.解析：当x时，函数ysin(2x)取得最值，所以k，kZ，解得k，kZ，又0，所以.答案：4已知函数f(x)sin，x为f(x)的图象的一条对称轴，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)的解析式为_解析：x为f(x)的图象的一条对称轴，k，kZ，即k，kZ.又|，f(x)sin.将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)sinsin的图象答案：g(x)sin5函数f(x)tan x(0)的图象的相邻两支截直线y2所得线段长为，则f_.解析：由题意可知该函数的周期为，所以，2，f(x)tan 2x.所以ftan .答案：6(2018启东中学检测)在函数y2sin的图象与x轴的交点中，离原点最近的交点坐标是_解析：当y0时，sin0，所以4xk，kZ，所以x，kZ，取k0，则x，取k1，则x，所以离原点最近的交点坐标.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1振动量ysin(x)的频率为，则_.解析：因为ysin(x)的频率为，所以其周期T，所以3.答案：32(2018南通一模)在平面直角坐标系xOy中，将函数ysin的图象向右平移个单位长度若平移后得到的图象经过坐标原点，则的值为_解析：将函数ysin的图象向右平移个单位长度，得到函数ysin的图象平移后得到的图象经过坐标原点，且0，20，解得.答案：3.函数f(x)sin(x)(xR)的部分图象如图所示，如果x1，x2，且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)_.解析：由图可知，则T，2，又因为，所以f(x)的图象过点，即sin1，得，所以f(x)sin.而x1x2，所以f(x1x2)fsinsin .答案：4(2019启东中学检测)将函数f(x)2sin(2x)(0)的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则的最大值是_解析：将函数f(x)2sin(2x)(0)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)2sin2sin的图象g(x)是偶函数，k，kZ，k，kZ.又0，的最大值是.答案：5.已知函数f(x)Acos(x)(A0，0,0)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)_.解析：由题意得，A，T4，.又因为f(x)Acos(x)为奇函数，所以k，kZ，取k0，则，所以f(x)sinx，所以f(1).答案：6若函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则f_.解析：由f(x)sin(0)的最小正周期为，得4.所以fsin0.答案：07已知函数f(x)3sin(0)和g(x)3cos(2x)的图象完全相同，若x，则f(x)的值域是_解析：f(x)3sin3cos3cos，易知2，则f(x)3sin，因为x，所以2x，所以f(x)3.答案：8已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数，若f(x)对xR恒成立，且ff()，则f(x)的单调递增区间是_解析：因为f(x)对xR恒成立，即1，所以k(kZ)因为ff()，所以sin()sin(2)，即sin 0，所以2k(kZ)，所以f(x)sin，所以由三角函数的单调性知2x(kZ)，解得x(kZ)答案：(kZ)9(2019连云港调研)函数f(x)Asin(x)的最小正周期为，点P为其图象上一个最高点(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)图象上所有点都向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间上的值域解：(1)因为函数f(x)的最小正周期为，所以，解得2.又点P为其图象上一个最高点，所以A2，sin1，又，所以，所以f(x)2sin.(2)由题意得g(x)f2sin2sin，当x时，2x，所以sin，2sin(1,2，故g(x)在区间上的值域为(1,210已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)，直线xx1，xx2是yf(x)图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，若关于x的方程g(x)k0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围解：(1)f(x)sin 2x(2cos2x1)sin 2xcos 2xsin，由题意知，最小正周期T2，T，所以2，所以f(x)sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到ysin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到ysin的图象，所以g(x)sin.令2xt，若0x，则t.因为g(x)k0在区间上有且只有一个实数解，即函数ysin t与yk在区间上有且只有一个交点，作出函数ysin t的图象如图所示由正弦函数的图象可知k或k1.所以k或k1.所以实数k的取值范围为1三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知函数f(x)2sin1在区间a，b(a，bR，且ab)上至少含有10个零点，在所有满足条件的a，b中，ba的最小值为_解析：要使ba最小，则f(x)在区间a，b上零点个数恰好是10，由函数f(x)的图象可知，一个周期内只有2个零点，且两个零点之间的最小间隔为，所以满足条件的ba的最小值为4.答案：2.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足yf(t)Rsin(t).则下列叙述正确的是_R6，；当t35,55时，点P到x轴的距离的最大值为6；当t10,25时，函数yf(t)单调递减；当t20时，|PA|6.解析：由点A(3，3)，可得R6，由旋转一周用时60秒，可得T60，则，由点A(3，3)，可得AOx，则，故正确；由知，f(t)6sin，当t35,55时，t，即当t时，点P(0，6)，点P到x轴的距离的最大值为6，故正确；当t10,25时，t，由正弦函数的单调性可知，函数yf(t)在10,25上有增有减，故错误；f(t)6sin，当t20时，水车旋转了三分之一周期，则AOP，所以|PA|6，故正确答案：3.(2019如皋中学模拟)如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数yAsin(x)(A0，0，(0，)，x4,0的图象，图象的最高点为B(1,2)边界的中间部分为长1 km的直线段CD，且CDEF.游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧.(1)求曲线段FGBC的函数表达式；(2)曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF的最近距离为1 km，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO的长；(3)如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且POE，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值解：(1)由已知条件，得A2，3，T12，.又当x1时，有y2sin2，(0，)，.曲线段FGBC的解析式为y2sin，x4,0(2)由y2sin1，得x2k(kZ)或x2k(kZ)，解得x12k3或x12k1(kZ)，又x4,0，x3，G(3,1)，OG.景观路GO长为 km.(3)如图，易知OC，CD1，OD2，COD，作PP1x轴于P1点，在RtOPP1中，PP1OPsin 2sin ，在OMP中，OMsin2cos sin .故S平行四边形OMPQOMPP12sin 4sin cos sin2 2sin 2cos 2sin，.当2，即时，平行四边形OMPQ面积的最大值为.命题点一同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2017北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称若sin ，则sin _.解析：法一：当角的终边在第一象限时，取角终边上一点P1(2，1)，其关于y轴的对称点(2，1)在角的终边上，此时sin ；当角的终边在第二象限时，取角终边上一点P2(2，1)，其关于y轴的对称点(2，1)在角的终边上，此时sin .综上可得sin .法二：令角与角均在区间(0，)内，故角与角互补，得sin sin .法三：由已知可得，sin sin(2k)sin()sin (kZ)答案：2(2016全国卷改编)若tan ，则cos22sin 2_.解析：因为tan ，则cos22sin 2.答案：3(2014江苏高考)已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值解：(1)因为，sin ，所以cos .故sinsin cos cos sin .(2)由(1)知sin 22sin cos 2，cos 212sin2122，所以coscoscos 2sinsin 2.4(2018浙江高考)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin()的值；(2)若角满足sin()，求cos 的值解：(1)由角的终边过点P，得sin .所以sin()sin .(2)由角的终边过点P，得cos .由sin()，得cos().由()，得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .命题点二三角函数的图象与性质1.(2018江苏高考)已知函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，则的值为_解析：由题意得fsin1，k，kZ，k，k