（江苏专用）高考数学一轮复习考点34数学归纳法必刷题（含解析）.docx

考点34 数学归纳法1（2019江苏高三高考模拟）已知数列，且对任意n恒成立（1）求证：(n)；（2）求证：(n)【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）当时，满足成立.假设当时，结论成立.即：成立下证：当时，成立。因为即：当时，成立由、可知，(n)成立。（2）（）当时，成立，当时，成立，（）假设时（），结论正确，即：成立下证：当时，成立.因为要证，只需证只需证：，只需证：即证：（）记当时，所以在上递增，又所以，当时，恒成立。即：当时，成立。即：当时，恒成立.所以当，恒成立.由（）（）可得：对任意的正整数，不等式恒成立，命题得证.2（2019江苏高三高考模拟）已知数列是各项都不为0的无穷数列，对任意的n3，n，恒成立（1）如果，成等差数列，求实数的值；（2）已知1求证：数列是等差数列；已知数列中，数列是公比为q的等比数列，满足，(i)求证：q是整数，且数列中的任意一项都是数列中的项【答案】（1）（2）见解析见解析【解析】（1）由题可得：当时，两边同除以，可得：因为，成等差数列，所以所以，解得：（2）由题可得：当时， （）用代上式中的，可得： （）（）（）得：上式两边同除以可得：整理得：整理得：（）由（1）得，当时，成等差数列，结论正确.（）假设时，结论正确。即：成等差数列，且公差为下证时， 成等差数列.即证又.所以成立.由（）（）可得：对任意的，数列是等差数列.由得：数列是等差数列，公差为所以，（）又，成等比数列，所以，即：整理得：所以，所以是整数数列中的任意一项令，则整理得：，整理得：又所以解得：即：存在，使得：成立所以数列中的任意一项都是数列中的项3（2019江苏高三高考模拟）在教材中，我们已研究出如下结论：平面内条直线最多可将平面分成个部分现探究：空间内个平面最多可将空间分成多少个部分，设空间内个平面最多可将空间分成个部分（1）求的值；（2）用数学归纳法证明此结论【答案】（1）； （2）见解析.【解析】 (1)由得解得(2)用数学归纳法证明当时，显然成立假设当时成立，即那么当时，在个平面的基础上再添上第个平面因为它和前个平面都相交，所以可得到条互不平行且不共点的交线，且其中任何条直线不共点，这条交线可以把第个平面划分成个部分；每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了个，所以即时，结论成立根据可知，4（2019江苏高三高考模拟）已知均为非负实数，且证明：（1）当时，； （2）对于任意的，【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用证明即可；（2）运用数学归纳法证明即可【详解】（1）当时，因为，均为非负实数，且，所以 （2）当时，由（1）可知，命题成立；假设当时，命题成立，即对于任意的，若，均为非负实数，且，则则当时，设，并不妨设令，则由归纳假设，知因为均为非负实数，且，所以所以，即，也就是说，当时命题也成立所以，由可知，对于任意的，5（2019江苏高三高考模拟）已知数列满足，（1）用数学归纳法证明：；（2）令，证明：【答案】(1)详见解析(2)详见解析【解析】（1）证明：当时，结论显然成立；假设当时，则当时，综上，.（2）由（1）知，所以.因为，所以，即，于是，所以，故构成以2为公比的等比数列，其首项为.于是，从而，所以，即，于是，因为当时，当时，所以对，有，所以，所以，从而.6（2018江苏高三高考模拟）在含有个元素的集合中，若这个元素的一个排列（，）满足，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：对于集合，排列是的一个错位排列；排列不是的一个错位排列）.记集合的所有错位排列的个数为.（1）直接写出，的值；（2）当时，试用，表示，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：为奇数.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义列错位排列，根据错位排列的个数得，的值；（2）根据定义理解，三者关系，需先确定两类，有两个数恰好错排与这两个数不错排，再降数处理，（3）先根据递推关系得对任意正奇数，有均为偶数，再利用以及归纳假设得结论.试题解析：（1），（2），理由如下：对的元素的一个错位排列（，），若，分以下两类：若，这种排列是个元素的错位排列，共有个；若，这种错位排列就是将，排列到第到第个位置上，不在第个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于个元素的错位排列，共有个；根据的不同的取值，由加法原理得到；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，均为自然数；当，且为奇数时，为偶数，从而为偶数，又也是偶数，故对任意正奇数，有均为偶数.下面用数学归纳法证明（其中）为奇数.当时，为奇数；假设当时，结论成立，即是奇数，则当时，注意到为偶数，又是奇数，所以为奇数，又为奇数，所以，即结论对也成立；根据前面所述，对任意，都有为奇数.7（2019江苏高三高考模拟）已知数列的前项和为，.（1）若，求证：，必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1；（2）若，求证：，必可以被分为组（），使得每组所有数的和小于1【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】解：（1）不妨设假设，则所以所以与矛盾，因此,所以必可分成两组、使得每组所有数的和小于1（2）不妨设，先将，单独分为一组，再对后面项依次合并分组，使得每组和属于，最后一组和属于，不妨设将，分为，共组，且其中组，最后一组首先必小于等于，否则，与，矛盾当时，则所以只需将，分为，即可满足条件；当时，可将与合成一组，且，否则，矛盾此时只需将，分为，即可满足条件，所以，必可以被分为m组(1mk)，使得每组所有数的和小于18（2018江苏高三高考模拟理）在正整数集上定义函数，满足，且（1）求证：；（2）是否存在实数a，b，使，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由，整理得，根，根据递推关系先求出，进而可得结果；（2）由，可得，再利用数学归纳法证明即可.试题解析：（1）因为，整理得，由，代入得，所以（2）由，可得 以下用数学归纳法证明存在实数，使成立 当时，显然成立 当时，假设存在，使得成立，那么，当时，即当时，存在，使得成立由，可知，存在实数，使对任意正整数n恒成立9（2018江苏高三高考模拟）已知数列满足（1）求， ， 的值；（2）猜想数列的通项公式，并证明【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（）利用等式，求出， ， 的值；（）归纳猜想，利用数学归纳法加以证明.试题解析：（1）， ， （2）猜想： 证明：当，2，3时，由上知结论成立； 假设时结论成立，则有则时， 由得 ， 又，于是所以， 故时结论也成立由得， 10（2018江苏高三高考模拟）已知函数，记，当（1）求证：在上为增函数；（2）对于任意，判断在上的单调性，并证明【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）证明：因为，所以， 因为所以，所以，所以，所以在上为增函数 （2）结论：对于任意，在上均为增函数证明：当n=1时，结论显然成立；假设当n=k时结论也成立，即在上为增函数，所以当时，在上恒成立当n=k+1时， 所以又当时，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上为增函数由得证，对于任意，在上均为增函数11（2018江苏高三高考模拟）设，正项数列的前项的积为，且，当时， 都成立.（1）若， ， ，求数列的前项和；（2）若， ，求数列的通项公式.【答案】(1) (2) 【解析】（1）当n2时，因为M=1，所以=TnT1，可得an+1=ana1，故=a1=3（n2）又a1=，a2=3，则an是公比为3的等比数列，故an的前n项和为=3n（2）当nk时，因为=TnTk，所以=Tn+1Tk，所以=，即=an+1，因为M=3，4，所以取k=3，当n3时，有an+4an2=an+12；取k=4，当n4时，有an+5an3=an+12由an+5an3=an+12 知，数列a2，a6，a10，a14，a18，a22，a4n2，是等比数列，设公比为q由an+4an2=an+1 知，数列a2，a5，a8，a11，a14，a17，a3n1，是等比数列，设公比为q1，数列a3，a6，a9，a12，a15，a18，a3n，成等比数列，设公比为q2，数列a4，a7，a10，a13，a16，a19，a22，a3n+1，成等比数列，设公比为q3，由得， =q3，且=q14，所以q1=；由得， =q3，且=q24，所以q2=；由得， =q3，且=q34，所以q3=；所以q1=q2=q3=由得，a6=a2q，a6=a3q2，所以=，由得，a10=a2q2，a10=a4q32，所以=，所以a2，a3，a4是公比为q的等比数列，所以an（n2）是公比为q的等比数列因为当n=4，k=3时，T7T1=T42T32；当n=5，k=4时，T9T1=T52T42，所以（）7=2a24，且（）10=2a26，所以=2，a2=2又a1=，所以an（nN*）是公比为的等比数列故数列an的通项公式是an=2n112（2018江苏高三高考模拟）（1）用数学归纳法证明：当时， （，且， ）；（2）求 的值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）当时，等式右边 等式左边，等式成立.假设当时等式成立，即 .那么，当时，有这就是说，当时等式也成立.根据和可知，对任何等式都成立.（2）由（2）可知， ，两边同时求导，得所以 所以 .13（2017江苏高三高考模拟）已知，其中， ， ， .（1）试求， ， 的值；（2）试猜测关于的表达式，并证明你的结论.【答案】（1）， （2）【解析】试题分析：（1）根据对应以及组合数公式展开化简得， ， 的值；（2）从阶乘角度猜想关于的表达式，证明时注意利用性质及进行转化：配凑成归纳假设的条件.试题解析：解：（1） ； ； .（2）猜想： .而 ， ，所以.用数学归纳法证明结论成立.当时， ，所以结论成立.假设当时， .当时， （*） 由归纳假设知（*）式等于 .所以当时，结论也成立.综合，成立.14（2017江苏高三高考模拟）已知函数，设为的导数， .（1）求；（2）猜想的表达式，并证明你的结论.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）.（2）猜想.证明： 当时，由(1)