微积分二课后题答案,复旦大学出版社第十章.doc

第十章习题10-11 指出下列各微分方程的阶数：(1) x(y)2-2yy+x=0; (2) (y)3+5(y)4-y5+x6=0;(3) +2y+x2y=0; (4) (x2-y2)dx+(x2+y2)dy=0 解: (1) 因为方程中未知函数y的最高阶导数的阶数为1,故该方程为一阶微分方程.(2) 二阶.(3) 三阶.(4) 一阶.2 验证下列给定函数是其对应微分方程的解：(1) y=(x+C)e-x, y+y=e-x;(2) xy=C1ex+C2e-x, xy+2y-xy=0;(3) x=cos2t+C1cos3t+C2sin3t， x+9x=5cos2t;(4) =1， xyy+x(y)2-yy=0 解: (1) 是微分方程的解.(2) 在方程两边对x求导有上方程两边对x求导有,即 即 所以所确定的函数是方程的解.(3) 所以 是微分方程的解. (4) 方程两边对x求导得 (1)式两边对x求导得 (2)式两边同乘以x得 (3)-(2)得 所以 是方程的解. 3 已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求这曲线所满足的微分方程 解: 设是曲线上任一点,则过该点的切线方程为,由已知时,得 即 为所满足得微分方程.4 求通解为y=Cex+x的微分方程，这里C为任意常数 解: 由得,而由已知得 故通解为的微分方程为.习题10-21求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解：(1) y； (2) xydx+dy=0;(3) (xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0;(4) sinxcos2ydx+cos2xdy=0;(5)；(6) yy+xey=0,y(1)=0;(7) y=e2x-y， 解: (1) 原方程分离变量得 ,两边积分得 即 ,即, ,记,有 , 而当 即 时,显然是方程的解,上式取时包含了,故方程的解为 (c为任意常数)(2) 分离变量得: ,两边积分得, ,可知 ,即 又 显然是方程的解. 方程的通解为 (c为任意常数).(3) 分离变量得 , 两边积分得 ,即 从而 ,记 有 .(4) 分离变量得,两边积分得, 即 .(5) 原方程可化为:,两边积分得 由 得 , 所以原方程满足初始条件的特解为 即 .(6) 分离变量得 , 两边积分得 由 得 , 故原方程满足初始条件的特解为 . (7) 分离变量得 ,两边积分得 , 由 得 ,所以,原方程满足初始条件的特解为 . 2 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为T0的物体放在保持常温为a的室内，求温度T与时间t的关系. 解: 设t时刻物体的温度为T,由题意有 (k为比例系数)分离变量得 ,两边积分得, ,得, 由题意有时,代入上式得, . (k为比例系数).3 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解：(1) xy-y-0；(2) y=+sin；(3) 3xy2dy(2y3-x3)dx;(4) x2y+xy=y2， y(1)=1；(5) xy=y(lny-lnx), y(1)=1;(6) (y-x+2)dx=(x+y+4)dy;(7) (x+y)dx+(3x+3y-4)dy=0 解: (1) 原方程可化为 , 令 则 , 代入原方程得: 即 两边积分得 即 将代入得 .(2) 令,则 代入原方程得: 即 两边积分得 ,则 ,将代入得.(3) 原方程可化为 , 令 ,则 , 代入上式得, 两边积分得 , 即 ,将 代入得 .(4) 原方程可化为 , 令 , 则 ,代入上式得 , 即 , 两边积分得 即 将代入得 ,由 得 , , 即 所以原方程满足初始条件的特解为.(5) 原方程可化为 , 令 则 , 上方程可化为 即 两边积分得 即 亦即 将 代入得 由初始条件 得 故原方程满足初始条件的特解为 .(6) 原方程可化为 解方程组 得 作变换 ,原方程化为 这是一个齐次方程,按齐次方程的解法: 令 , 方程可化为 两边积分可得,整理可得,将代入上式得将代入上式得(7)原方程可化为令,则,代入上方程得 即 即,积分得.将代入上式得,.4 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解：(1) y-y=sinx;(2) y-y=xnex；(3) (x-2y)dy+dx=0;(4) (1+xsiny)y-cosy=0；(5) y- =(x+1)ex, y(0)=1;(6) y+，y(0)=;(7) y-=-lnx, y(1)=1;(8) y+2xy=(xsinx)，y(0)=1;(9) y；(10) y 解: (1) 这是一阶非齐次线性微分方程,(2) 这是一阶非齐次线性微分方程,(3) 原方程可化为 ,这是一个关于的一阶齐次线性微分方程,且 , 所以 (4) 原方程可化为 ,这是一个关于的一阶非齐次线性微分方程,且 , 所以 (5) 这是一阶非齐次线性微分方程且,所以 将初始条件 代入上式中得故,原方程满足初始条件的特解是 . (6) 这是一阶非齐次线性微分方程,且 ,所以 将初始条件代入上式得,所以原方程满足初始条件的特解是. (7) 这是一阶非齐次线性微分方程,且,所以 将初始条件 代入上式得 所以,原方程满足初始条件的特解是 . (8) 这是一阶非齐次线性微分方程,且,所以 将初始条件 代入上式得 ,故原方程满足初始条件的特解是: . (9) 原方程可化为 ,这是 的伯努利方程,方程两边同除以,得 令 ,则上面方程化为 ,这是一阶非齐次线性微分方程,且,其通解为将代入上式得原方程的通解为 . (10) 原方程可化为 ,这是关于的的伯努利方程,令,上述方程可化为这是关于y的一阶非齐次线性微分方程,且,其通解为: 将代入上式得原方程的通解为.5 设函数f(x)在1,)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1,x=t(t1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为V(t)t2f(t)-f(1)试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y(2) =的特解 解: 依题意有 ,两边同时对t求导有: 即 亦即 故 所满足的微分方程是 , 该方程可化为 ,这是齐次方程.可求得该齐次方程的通解为: 将初始条件 代入上式得 ,所以,该微分方程满足条件的特解是 .*6 设某生物群体的出生率为常数a，由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因，死亡率与当时群体中的个体量成正比(比例系数为b0)如果t=0时生物个体总数为x0，求时刻t时的生物个体的总数(注： 将生物群体中的个体量当做时间t的连续可微变量看待)解: 设时刻t时的生物个体的总数为x,依题意得 即 解得 又 时 ,代入上式得 ,故 .7 已知f(x)3x-3， 求f(x)解: 方程两边对x求导得 即 这是一阶非齐次线性微分方程,其通解为 由已知 得 ,代入上式得 , 所以.8 已知某商品的成本CC(x)随产量x的增加而增加，其增长率为C(x)，且产量为零时，固定成本C(0)C00求商品的生产成本函数C(x) 解: 由得,这是一阶非齐次线性微分方程,且,其通解为 由初始条件代入上式得 .所以商品的生产成本函数.9 某公司对某种电器设备的使用费用进行考察，结果发现，随该电路使用时间x的延长，它的保养维修费会加倍增长，因而平均单位时间的使用费S也在增加，即S为x的函数S=S(x)，其变化率为，其中a,b均为正常数若当x=x0时SS0，试问：使用时间为多少时，其平均单位时间的使用费S最高? 解: 原方程 可化为 ,这是一阶非齐次线性微分方程,且,其通解为,由已知时,代入上式得,又由得,令得唯一驻点,将代入得,由问题的实际意义知,最值存在,所以当是时间时,其平均单位时间的使用费S最高.要特习题10-31 求下列微分方程的通解：(1) =xex； (2) y=；(3) (1+x2)y+2xy=0； (4) y-(y)2=0；(5) +1=0； (6) yy-(y)2+(y)3=0解:（1）对方程两端连续积分三次得这就是所求的通解. （2）对方程两端连续积分两次得 这就是所求的通解.（3）令,则，于是原方程可化为 分离变量得，积分得 ,即.再积分得.（4）令，则，原方程可化为 ，即 两边积分得,即.亦即 再积分得 （5）令,则,原方程变为,即.两边积分得 即 .亦即即.积分得.从而 .这就是所求的通解.（6）令,则p,代入原方程得.即若p=0,则是方程的解.若，分离变量得.积分得 即 .于是: 即.积分得 .2求下列微分方程满足初始条件的特解：(1) =lnx，y(1)=0, y(1)=-, y(1)=-1;(2) x2y+xy=1, y(1)=0, y(1)=1;(3) y+=1, y(0)=0, y(0)=1解：（1）方程两边积分得：，由得，于是,上式两边再积分得 .由得，于是两边再积分得.由得.所以，原方程满足初始条件的特解为.（2）令，则，原方程化为.即，这是一阶非齐次线性方微分方程.,，其通解为即，由得，于是,从而 由得即 .（3）令，则，原方程可化为 ,由，即时，.显然是上述方程的解，即，积分得,由得，所以，原方程满足初始条件的特解为.3 已知某个二阶非齐次线性微分方程有三个特解y1=x, y2=x+ex和y3=1+x+ex，求这个方程的通解解：因为是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解，则,是某对应的齐次微分方程的特解且常数，故和1是其对应的二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的特解，故对应齐次线性方程的通解为又是这个二阶非齐次线性微分方程的特解，故这个方程的通解是.4 求下列齐次线性方程的通解或在给定条件下的特解：(1) y-4y+4y=0; (2) y-y-2y=0;(3) y+5y+6y=0, y(0)=1, y(0)=6;(4) y-2y-10y=0, y()=0, y()=解：（1）特征方程为，它有两个相等的特征根,所以，所求的通解为. （2）特征方程为,它有两个不相等的实特征根故所求的通解为.（3）特征方程为，它有两个不相等的实特征根,故所求的通解为.由得,又由及得，解方程组 得 所以，原方程满足初始条件的特解为. （4）特征方程为,它有两个共轭复数根，,故方程的通解为，由得,=0,故所求特解为:5 求下列非齐次线性微分方程的通解或给定初始条件下的特解：(1) y+3y-10y=144xe-2x;(2) y-6y+8y=8x2+4x-2;(3) y+y=cos3x, y()=4, y()=-1;(4) y-8y+16y=e4x, y(0)=0,y(0)=1解：（1）特征方程有两个不相等的实数根,故对应齐次方程的通解为因为不是特征方程的根，故可特解为则 , 代入原方程可解得 .所以.所求通解为（2）特征方程有两个不同的特征根,故对应齐次方程的通解为又因为不是特征方程的根，故可设特解为则,，代入原方程可解得,故. 所求通解为.（3）特征方程为，它有两个共复数根，故对应齐次方程的通解为考察方程，因为不是特征方程的根，故可设特解为则,代入方程,得,所以取的实部，即得到方程的特解.故原方程的通解为又 由初始条件得,故所求的特解为（4）特征方程有两个相等的实根，故对应齐次方程的通解为:因为是特征方程的重根，故可设特解为将其代入方程得,故特解为所以原方程的特解为.又由及,得.所以，所求特解为.6 设对一切实数x,函数f(x)连续且满足等式f(x)=x2+，且f(0)=2,求函数f(x)解：方程两边求导得，即，特征方程有两个不同的实根,故对应齐次方程的通解为.因为不是特征方程的根，故可设特解为,代入原方程得，故特解为，所以方程的通解为.由已知得，又由题设得,及得.解方程得所以满足题设条件特解为即 .7 设二阶常系数非齐次线性微分方程y+ay+by=aex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定常数a,b,a并求该微分方程的通解解：将已给的特解代入原方程，得比较两端同类项的系数，有解得.于是原方程为.其特征方程为,特征根为,对齐次方程的通解为.又因为是特征方程的单根，故设特解为,代方程，可解得A=1,故特解为所以该微分方程的通解为.8 设函数j(x)可微，且满足j(x)=ex+，求j(x)解：由得,又两边求导得,即，从而再求导得,即可求得对应齐次方程的通解为,又因为不是特征方程 的根，故可设特解为将其代方程中可求得,故方程的通解为.又由及得,所以，即.9 求方程y-y-2y=3e-x在x=0处与直线y=x相切的解解：特征方程有两个实根,故对应的齐次方程的通解为,又因为是特征方程的单根，故可方程的特解为代入原方程可解得A=-1，故原方程的通解为由已知在处与直线相切，则，又将分别代入（1），（2）式中得可解得所以，所求的解为.10 设函数y(x)的二阶导函数连续且y(0)=0,试由方程y(x)=1+确定此函数解：方程两边对x求导得,即它的特征方程有两个相异的实根故方程（1）对应的齐次方程的通解是又是特征方程的单根，故方程（1）的特解可设为将其代入方程（1），可解得，从而特解为，方程（1）的通解为由得,又由及(2),(3)式可得 解得 故方程（1）的满足已知条件的特解为即由所给方程确定的函数为11 一质点徐徐地沉入液体，当沉入时，液体的反作用力与下沉的速度成正比例，求质点的运动规律解：由题设条件与牛顿第二定律有 (k为比例系数)即这是一个二阶线性非齐次方程，它的特征方程有两个不相等的实根，它对应的齐次方程的通解又因特征方程的单根，故可设特解为，代入方程（1）可得，故方程（1）的通解为且，又开始沉入时即t=0时，将其代入上两式可解得，.因而