四川大学大学物理练习册答案第六章静电场中的导体与电介质.pdf

6-1 6-1 静电场中的导体静电场中的导体 6-36-3 静电场中的电介质静电场中的电介质 6-26-2 电容和电容器电容和电容器 6-5 6-5 带电体系的静电能带电体系的静电能 6-0 6-0 教学基本要求教学基本要求 物理学物理学 第五版第五版 第六章第六章 静电场中的导体与电介质静电场中的导体与电介质 6-0 教学基本要求教学基本要求 一一 掌握掌握静电平衡的条件，静电平衡的条件，掌握掌握导体导体 处于静电平衡时的电荷、电势、电场分布处于静电平衡时的电荷、电势、电场分布. . 二二 了解了解电介质的极化机理，掌握电位电介质的极化机理，掌握电位 移矢量和电场强度的关系移矢量和电场强度的关系. .理解电介质中的理解电介质中的 高斯定理，并会用它来计算电介质中对称电高斯定理，并会用它来计算电介质中对称电 场的电场强度场的电场强度. . 三三 掌握掌握电容器的电容，能电容器的电容，能计算计算常见常见 电容器的电容电容器的电容. . 四四 理解理解电场能量密度的概念，电场能量密度的概念，掌握掌握 电场能量的计算电场能量的计算. . 金属导体由大量的带负电的自金属导体由大量的带负电的自 由电子和带正电的晶体点阵构成。由电子和带正电的晶体点阵构成。 自由电子自由电子 1 金属导体的电结构金属导体的电结构 无外场作用时，不带电的金属导无外场作用时，不带电的金属导 体的任何宏观部分呈电中性。体的任何宏观部分呈电中性。 6-1 6-1 静电场中的导体静电场中的导体 一一 导体的静电平衡导体的静电平衡 + + + + + + 感应电荷感应电荷 2 静电感应静电感应 + + 在外场作用下使导体电荷从新分布的现象称为在外场作用下使导体电荷从新分布的现象称为静静 电感应现象电感应现象。 因为静电感应出现的电荷称为因为静电感应出现的电荷称为感应电荷感应电荷。 3 3 静电平衡静电平衡 感应电荷产生的电场称为感应电荷产生的电场称为附加电场附加电场。 静电场中导体的内部和表面都无电荷定向移动的状态静电场中导体的内部和表面都无电荷定向移动的状态 称为称为静电平衡静电平衡状态。状态。 EEE 0 总场强总场强 在导体内在导体内 方向相反。方向相反。 0 EE 和 静电平衡条件：静电平衡条件： （1）导体内部任何一点处的电场强度为零；导体内部任何一点处的电场强度为零； （2）导体表面处电场强度的方向，都与导导体表面处电场强度的方向，都与导 体表面垂直体表面垂直. E 导体内各点电势相等导体内各点电势相等 AB AB lEU d 0E 推论：推论：处于静电平衡的处于静电平衡的导体为等势体导体为等势体 + + + + + + A B 0 + + + + + + A B n e e E l d 导体表面为等势面导体表面为等势面 推论：推论：处于静电平衡的处于静电平衡的导体为等势体导体为等势体 lE d AB AB lEU d 0d AB AB lEU 0E 导体内各点电势相等导体内各点电势相等 导体处于静电平衡时，导体上的电势处处相导体处于静电平衡时，导体上的电势处处相 等，导体为等势体，导体的表面是等势面。等，导体为等势体，导体的表面是等势面。 0 二二 静电平衡时导体上电荷的分布静电平衡时导体上电荷的分布 + + + + + + + + + + 结论：结论：导体内部无净电荷，导体内部无净电荷，电荷只分布在电荷只分布在导体导体 表面表面. 0d S SE 0E 1 导体内部的电荷分布导体内部的电荷分布 0 内 q S 高斯面高斯面 （一） 实心导体（一） 实心导体 0 q 内 作扁圆柱形高斯面作扁圆柱形高斯面 2 导体表面附近场强与电荷面密度的关系导体表面附近场强与电荷面密度的关系 SESE S d 0 E 0 /S + + + + + + + 0E S S 带电导体处于静电平衡时导体表面之外非常邻近带电导体处于静电平衡时导体表面之外非常邻近 表面处的场强在数值上与该处的电荷面密度成正比，表面处的场强在数值上与该处的电荷面密度成正比， 其方向与导体表面垂直。其方向与导体表面垂直。 说明说明：导体表面附近的场强：导体表面附近的场强E E是导体表面上所有电荷是导体表面上所有电荷 与周围其它带电体上的电荷共同激发。与周围其它带电体上的电荷共同激发。 3 导体表面电荷分布规律 导体表面电荷分布规律 + + + + + + + + + 导体表面电荷的分布与导体本身的形状以及附近导体表面电荷的分布与导体本身的形状以及附近 带电体的状况等多种因素有关。带电体的状况等多种因素有关。 孤立导体电荷分布大致规律孤立导体电荷分布大致规律：在导体表面凸起部尤其：在导体表面凸起部尤其 是尖端处，面电荷密度较大；表面平坦处，面电荷密是尖端处，面电荷密度较大；表面平坦处，面电荷密 度较小；表面凹陷处，面电荷密度很小，甚至为零。度较小；表面凹陷处，面电荷密度很小，甚至为零。 孤立导体孤立导体导体周围无其它导体，导体也不受外导体周围无其它导体，导体也不受外 电场的作用。电场的作用。 孤立导体电荷分布规律孤立导体电荷分布规律 带电导体尖端附带电导体尖端附 近的电场特别大，可近的电场特别大，可 使尖端附近的空气发使尖端附近的空气发 生电离而成为导体产生电离而成为导体产 生放电现象生放电现象 尖端放电现象尖端放电现象 E 电电 风风 实实 验验 + + + + + + 尖端放电有弊有利。尖端放电有弊有利。 避雷针的工作原理避雷针的工作原理 + + + + + + + 0d S SE （二） （二） 空腔导体空腔导体 空腔内无电荷时空腔内无电荷时 所以电荷分布在导体表面！所以电荷分布在导体表面！ 内表面？内表面？ 外表面？外表面？ S 高斯高斯 面面 i in i q 0 1 0 in i i q AB AB lEU d 若内表面带电，必等量异号若内表面带电，必等量异号 结论：结论：对于对于空腔内无电荷情况，在静电平衡空腔内无电荷情况，在静电平衡 时时电荷分布在外表面电荷分布在外表面,内表面无电荷内表面无电荷. 0d S SE 与导体是等势体矛盾与导体是等势体矛盾 A B S 高斯高斯 面面 + + + + + + + + + + 因起于导体内表面正电荷的电因起于导体内表面正电荷的电 场线一定全部终止于导体内表场线一定全部终止于导体内表 面的负电荷（面的负电荷（？），）， 0 qi 0 空腔内有电荷时空腔内有电荷时 结论结论: 空腔内有电荷空腔内有电荷q情况，静电平衡时，情况，静电平衡时， 空腔内表面有感应电荷空腔内表面有感应电荷-q，外表面有感应电，外表面有感应电 荷荷q 0d S SE 0 in i q + S 高斯高斯 面面 q q -q 0 in i q 内表面 qq 空腔内部的电场分布特征决定于腔内带电体和空腔内部的电场分布特征决定于腔内带电体和 内表面形状内表面形状; 空腔外的电场特征决定于空腔外的电荷分布和空腔外的电场特征决定于空腔外的电荷分布和 外表面的形状。外表面的形状。 q + q 空腔内外场强分布特征决定因素空腔内外场强分布特征决定因素 + q B 三三 静电屏蔽静电屏蔽 1 屏蔽外电场屏蔽外电场 E 用空腔导体屏蔽外电场用空腔导体屏蔽外电场 静电屏蔽静电屏蔽在静电场中，因导体的存在使某些特在静电场中，因导体的存在使某些特 定的区域不受电场影响的现象。定的区域不受电场影响的现象。 2 屏蔽内电场屏蔽内电场 q q + + + + + + + q q q 接地空腔导体屏蔽内电场接地空腔导体屏蔽内电场 结论结论：空腔导体使腔内空间不受外电场的影响，而：空腔导体使腔内空间不受外电场的影响，而 接地空腔导体使外部空间不受腔内电场的影响接地空腔导体使外部空间不受腔内电场的影响 空腔导体的静电屏蔽作用空腔导体的静电屏蔽作用。 四四 有导体存在时静电场分析与计算有导体存在时静电场分析与计算 原则原则: : 1.1.静电平衡的条件静电平衡的条件 2.2.静电场基本性质方程静电场基本性质方程 3.3.电荷守恒定律电荷守恒定律 0 内 E cor 0 i i S q sdE 内 L ldE0 i i constQ. 例例1 1 金属球金属球A A与金属球壳与金属球壳B B同心放置同心放置, ,已已 知：球知：球A半径为半径为R0,带电为带电为q,金属壳金属壳B内内 外半径分别为外半径分别为R1, R2,带电为带电为Q。求。求:1)电电 量分布；量分布；2)球球A和壳和壳B的电势的电势 A, B. A B o 0 R q 12 RR Q 解：解：1)1)因处于静电平衡时，球因处于静电平衡时，球A A的电量的电量 分布在球的表面。而壳分布在球的表面。而壳B B的电量可能分的电量可能分 布在内、外两个表面，由于布在内、外两个表面，由于A BA B同心同心 放置放置. . 电量在表面应均匀分布。电量在表面应均匀分布。 从上可知球从上可知球A A的表面均匀带电的表面均匀带电q q。 令球壳内外表面分别均匀电令球壳内外表面分别均匀电Q Q1 1和和Q Q2 2, ,据电量守恒有：据电量守恒有： (1) 21 QQQ 1 Q 2 Q qQ 1 在球壳在球壳B B内任取一与内任取一与A A同心的球面作为同心的球面作为 高斯面高斯面S S，因处于静电平衡时导体内的，因处于静电平衡时导体内的 电场强度为电场强度为0 0，所以据高斯定理有：，所以据高斯定理有： qQQ 2 0 0 1 S sdE Qq B A o qS 1 Q 2 Q (2) 0 1 Qq 联解联解(1)(2)(1)(2)两式，得：两式，得： 壳内表面带电壳内表面带电 壳外表面带电壳外表面带电 (1) 21 QQQ 2 2） 0 R A rdE 2 2 1 1 0 2 0 2 0 4 0 4 R R R R R dr r qqqQ drdr r q 0 R 1 R 2 Rq A -q Q+q B 2100 4 1 R qQ R q R q 2 R B rdE 20 2 0 44 2R qQ dr r qqqQ R 解解: :导体球接地，它的电势应为导体球接地，它的电势应为0 0。 设导体感应电量为设导体感应电量为Q,因导体是个等因导体是个等 势体，其球心势体，其球心O点的电势也为点的电势也为0。 例例2 2 接地导体球附近有一点电荷接地导体球附近有一点电荷, ,如图所示。求导体上如图所示。求导体上 感应电荷的电量。感应电荷的电量。 l q R o Q SS R ds dU 0 2 4 感应电荷感应电荷Q在在 O处的电势处的电势 l q 0 1 4 点电荷点电荷q在在 O处的电势处的电势 R Q 0 4 q l R Q 0 4 1 0 21 R Q l q O 例例3 3 金属球金属球A,A,半径为半径为R1,它的外面套有它的外面套有 一同心的一同心的金属球壳金属球壳B B，其，其内外半径分别内外半径分别 为为R 2, R3。已知 。已知A,B带电后的电势为带电后的电势为 A, B 。求（。求（1）此系统的电荷分布和电）此系统的电荷分布和电 场分布场分布.（2）如用导线将）如用导线将A和和B连接，连接， 结果又将如何。结果又将如何。 A B o 1 R 23 RR 解：（解：（1）处于静电平衡的导体球内和处于静电平衡的导体球内和 球壳内场强均为球壳内场强均为0，电荷均匀分布在它，电荷均匀分布在它 们的表面，设们的表面，设q1,q2,q3分别表示三个表面分别表示三个表面 上的电荷分布。上的电荷分布。 q1 q2 q3 1 R A rdE 30 321 4 3R qqq rdE R B 30 321 210 1 4 11 4R qqq RR q 3 2 1 R R R EdrEdr 据高斯定理易得据高斯定理易得0 21 qq 联解上面三式，可得：联解上面三式，可得： 12 210 21 )(4 RR RR qq BA 303 4Rq B A B o 1 R 23 RR q1 q2 q3 由此电荷分布，利用高斯定理容易求得场强分布：由此电荷分布，利用高斯定理容易求得场强分布： 321, 0RrRRrE r q E 2 0 1 4 r qqq E 2 0 321 4 21 2 12 21 )( )( RrR rRR RR BA 3 2 3 2 0 3 4 Rr r R r q B (2) 如用导线将球和球壳连接起来，则如用导线将球和球壳连接起来，则 壳的内表面和球表面的电荷会完全中和壳的内表面和球表面的电荷会完全中和 而使这两个表面不带电，二者之间的电而使这两个表面不带电，二者之间的电 场也变为场也变为0,二者成为等势体，球壳外表二者成为等势体，球壳外表 面上的电荷仍保持为面上的电荷仍保持为q3,并均匀分布，并均匀分布， 它外面的电场分布也不变，仍为它外面的电场分布也不变，仍为 A B o 1 R 23 RR q3 3 2 3 2 0 3 4 Rr r R r q E B 例例4 将不带电的金属板将不带电的金属板B放在面密度为放在面密度为的金属板的金属板A旁边旁边,求金属求金属 板各面上的电荷面密度。忽略金属板的边缘效应。板各面上的电荷面密度。忽略金属板的边缘效应。 解：因静电平衡时电荷只分布在导体的表面解：因静电平衡时电荷只分布在导体的表面 上。若不考虑边缘效应，可认为这些电荷是上。若不考虑边缘效应，可认为这些电荷是 均匀分布。设四个面上面电荷密度分别为均匀分布。设四个面上面电荷密度分别为 1， 2， 3， 4。据电荷守恒定律有：。据电荷守恒定律有： 21 0 43 处于静电平衡时板内的场强为处于静电平衡时板内的场强为0，据此可得：，据此可得： 0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 板板A内内P1 点场强点场强 板板B内内P2 点场强点场强 1 2 3 4 o 1 P 2 P AB x 联解这四个方程得：联解这四个方程得： 2/ 421 2/ 3 1 2 3 4 o 1 P 2 P AB x 请思考：将请思考：将B板接地的情况板接地的情况 0 41 2 3 例例5: 有一导体球A，内有两个球形空腔B和C，原来不带 电。今在空腔B的中心处放一点电荷qB，在空腔 C 的中 心处放一点电荷qC，求电场强度分布。 A B q B C q C 解：解：由静电平衡条件：A 球内，B、 C 空腔外的场强为零。 A 球以外的电场为球对称（？），由高 斯定理得： 所以 B 腔内的场强分布关于B腔中心对称，利用高斯定理可 求出距B腔中心 r 处场强为 C 腔内的场强分布关于C腔中心对称， 利用高斯定理可求出距C腔中心 r 处 场强为 A B q B C q C 例例6设有一无限大不带电的接地导体平板，在距离导体表面左侧设有一无限大不带电的接地导体平板，在距离导体表面左侧a处处 有一点电荷有一点电荷q0。试求：（。试求：（1）导体平板上离）导体平板上离 q0最近的最近的O点处的感应电点处的感应电 荷面密度荷面密度;(2）距）距O点距离为点距离为 r 的的P 点处的感应电荷面密度点处的感应电荷面密度;（3）导）导 体表面上感应电荷总电量体表面上感应电荷总电量q 。 a r 0 q P R O X 解：解：(1)设设O 点附近一小面元点附近一小面元dS的电荷密度为的电荷密度为 o。 dS O 由静电平衡知识知在由静电平衡知识知在O点附近与点附近与 O点无限接近的导体内点无限接近的导体内X轴上一点轴上一点 O 的的E=0,所以所以EX=0。 因因O 与平板的表面无限接近，所与平板的表面无限接近，所 以平板上的其它面元的电荷在以平板上的其它面元的电荷在O 点产生的点产生的E对对O 点的点的EX分量无贡献。并且因分量无贡献。并且因O 无限与小面元靠无限与小面元靠 近近dS，对，对O 点来说点来说 dS可看为无限大的平面可看为无限大的平面. 据据O 的的EX=0,有：有： 同理，在导体表面上距同理，在导体表面上距O点点 为为 r 的的P点附近的点附近的P 处场强也应为处场强也应为 零。沿零。沿 x 轴分量为轴分量为 由此得由此得 a r 0 q P R O X 由此得由此得 由对称性分析，感应电荷应呈以由对称性分析，感应电荷应呈以O点为中心的圆对称分布。点为中心的圆对称分布。 在导体表面取在导体表面取 rr+dr 的细圆环，则环面上的感应电荷为的细圆环，则环面上的感应电荷为 整个导体表面的感应电荷总量为整个导体表面的感应电荷总量为 a r 0 q P R O X 下次课将讲章节下次课将讲章节 6-3 静电场中的电介质 6-2 电容 电容器 上上次课次课主要公式主要公式 ； d d ll limE l l 0 ；0 t E n n d d l EE grad（)k z j y i x kEjEiEE zyx ； 内 0E.constor , 0 i i S q sdE 内 L l dE0 i i constQ. ； 0 E 一、一、 电介质的极化电介质的极化 电介质的电结构：电介质的电结构：电子被原子核紧紧束缚电子被原子核紧紧束缚,电介质中几电介质中几 乎无自由电荷。乎无自由电荷。 无极无极分子：（氢、甲烷、石蜡等）分子：（氢、甲烷、石蜡等） 有极有极分子：（水、有机玻璃等）分子：（水、有机玻璃等） 电介质种类电介质种类: 电介质电介质指电阻率很大，导电性能很差的物质。指电阻率很大，导电性能很差的物质。 6-3 6-3 静电场中的电介质静电场中的电介质 电介质极化电介质极化宏观效果宏观效果相同相同在电介质表面出现了极在电介质表面出现了极 化电荷。化电荷。 附加电场附加电场 极化电荷产生的附加电场影响和削弱原电场。极化电荷产生的附加电场影响和削弱原电场。 极化电荷特性极化电荷特性 极化电荷属于束缚电荷，不能通过传极化电荷属于束缚电荷，不能通过传 导或接地方法离开电介质。导或接地方法离开电介质。 电介质极化机制电介质极化机制: 无极分子是位移极化；有极分子是取向极化。无极分子是位移极化；有极分子是取向极化。 电介质击穿：电介质击穿：在很强的外电场电介质变为导电材料。在很强的外电场电介质变为导电材料。 如果电介质内各处极化强度的大小和方向都相同，就如果电介质内各处极化强度的大小和方向都相同，就 称为称为均匀极化均匀极化。 实验表明，对于各向同性的电介质有：实验表明，对于各向同性的电介质有： EP 0e 式中式中 e是电介质的电极化率，是电介质的电极化率， 是总场强。是总场强。EEE 0 二、电极化强度二、电极化强度 (polarization) 极化强度极化强度： 电介质内某处附近单位体积内所有分子电介质内某处附近单位体积内所有分子 电偶极矩的矢量和称为该点的（电）极化强度。以电偶极矩的矢量和称为该点的（电）极化强度。以 P 表示表示. V lim 0V i i p P 单位单位: C/m2 极化强度与电场的关系极化强度与电场的关系 lnqP 均匀极化时均匀极化时 dS cosdSqnlqd cosPdS SdP 1 1. .小面元小面元dS附近的电偶极子附近的电偶极子对面对面S内极化内极化 电荷的贡献电荷的贡献 在已极化的介质内任意作一闭合面在已极化的介质内任意作一闭合面S。 只有电偶极子穿过只有电偶极子穿过S 面面的分子才对的分子才对S面面 内的极化电荷有贡献内的极化电荷有贡献! ! 分子数密度分子数密度n 在在dS附近薄层内认为介质均匀极化附近薄层内认为介质均匀极化 极化强度与极化电荷的关系极化强度与极化电荷的关系 Sd P dS 外场外场 l 斜柱体内包含分子斜柱体内包含分子 总数总数cosdSnl 电介质被极化，每个分子可视为一电偶极子电介质被极化，每个分子可视为一电偶极子. S SdPqd 如果如果 /2 落在面内的是负电荷落在面内的是负电荷; 如果如果 /2 落在面内的是正电荷落在面内的是正电荷; 小面元小面元dS附近的电偶极子附近的电偶极子对面内极对面内极 化电荷的贡献：化电荷的贡献： 2.在在S所围的体积内的极化电荷所围的体积内的极化电荷与与 的关系的关系 q P qSdP S P Sd l dS V SdPqd 极化强度沿任意闭合曲面的面积分极化强度沿任意闭合曲面的面积分(即即P对该闭合曲面的对该闭合曲面的 通量通量)，等于该闭合曲面所包围的极化电荷的负值。，等于该闭合曲面所包围的极化电荷的负值。 SdPdq dSPn dS qd n P 介质外法线方向单位矢量介质外法线方向单位矢量 P dS Sd l 内内 nP nP n 3.3.电介质表面极化电荷面密度电介质表面极化电荷面密度 极化电荷面密度等于极化强度沿该面法线方向的分量。极化电荷面密度等于极化强度沿该面法线方向的分量。 SdPdSPqd n 空间各处的电场强度应为外加电场空间各处的电场强度应为外加电场E0与附加电场与附加电场 E 的矢量和，即的矢量和，即 在电介质内部，由于在电介质内部，由于E 与与E0的方向相反，于是的方向相反，于是 有有E = E0 E ，在电介质内部的附加电场在电介质内部的附加电场 E 有一有一 个特殊的名称，叫做个特殊的名称，叫做退极化场退极化场(depolarization field)。 0 EEE 三、电介质对电场的影响三、电介质对电场的影响 充满各向同性介质且带等量异号无限大平行板间场强：充满各向同性介质且带等量异号无限大平行板间场强： 0+ 0 + E E0 r = 1+ e 相对电容率相对电容率 自由电荷产生的场强自由电荷产生的场强 0 0 0 E 极化电荷产生的场强极化电荷产生的场强 0 E 0 0 0 EEE 合场强合场强 nP 0 0 )1 ( e E 0 E 极化电荷面密度和自极化电荷面密度和自 由电荷面密度的关系由电荷面密度的关系 0 1 r r 0 0 0 r 0 r E 0 = r 0绝对电容率绝对电容率（简称为（简称为介质电容率介质电容率）。）。 PE e0 i ii S qqSE)( 1 d 0 0 自由电荷自由电荷 极化电荷极化电荷 真空中真空中静电场静电场的高斯定理的高斯定理 S S i S SPqSE d 11 d 0 0 0 i i S qSE 0 1 d 有电介质有电介质时静时静电场的高斯定理应表示为电场的高斯定理应表示为 S i S qSP d i i S qSPE 00 d)( 即 四四 有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 定义电位移矢量定义电位移矢量 electric displacement PED 0 单位单位: C/m2 i i S qSD 0 d 对于任一闭合曲面的电位移矢量的通量，等于该闭对于任一闭合曲面的电位移矢量的通量，等于该闭 合曲面内所包围的自由电荷的代数和。合曲面内所包围的自由电荷的代数和。 物理意义物理意义 EED e 00 对于各向同性的电介质对于各向同性的电介质 PED 0 有电介质时有电介质时 的高斯定理的高斯定理 E e )1 ( 0 E r 0 i i S qSPE 00 d)( E d 0 说明：说明： PED 0 1） 对各向同性介质有：对各向同性介质有： ED 2） 为辅助矢量，决定电荷受力的仍然是为辅助矢量，决定电荷受力的仍然是 。D E i i S qSD 0 d 3） 通量与通量与q0有关，有关， 与与 q0和和q均有关。均有关。D D 4） 线与线与 线不同，线不同， 线起于正自由电荷线起于正自由电荷,止于负止于负 自自 由电荷。由电荷。 D E D 利用利用D的高斯定律解题的步骤：的高斯定律解题的步骤： 1、分析对称性，建立适当的高斯面。、分析对称性，建立适当的高斯面。 2、利用、利用D的高斯定律求的高斯定律求D。 EED r 0 对于各向同性介质有： 4 据各向同性介质的据各向同性介质的E和和P的关系求的关系求P。EP e 0 5 利用利用P与极化电荷面密度与极化电荷面密度的关系求的关系求 。 nP 3、利用、利用D与与E的关系求的关系求E。 PED 0 例例1：半径为：半径为R的金属球带电量的金属球带电量Q，球外同心的放置相对，球外同心的放置相对 电容率为电容率为 r的电介质球壳，球壳的内、外半径分别为的电介质球壳，球壳的内、外半径分别为R1 和和R2 。求空间各点的电场强度。求空间各点的电场强度E以及电介质球壳表面的以及电介质球壳表面的 极化电荷密度极化电荷密度 。 在在R r R2的区域的区域 r = 1,有有 2 00 4 1 r QD E 2 r0r0 4 1 r QD E 在在R1 r R的任意球形高斯面的任意球形高斯面 r 由高斯定理：由高斯定理： i i S qSD 0 d D Q r 1 4 2 得：得： E 0r 电介质的极化强度电介质的极化强度 E e P 0 nP 内 nP 外 2 r0r0 4 1 r QD E 在在R1 r R2 的区域有：的区域有： Q R R2 o R1 在内表面，即在内表面，即 r =R1 ，n指向球心，所以指向球心，所以 在外表面，即在外表面，即r = R2， n 沿径向向外，所以沿径向向外，所以 E) 1( r0 2 r r 4 1 r Q P= 2 1 r r 4 1 R Q =P 2 2r r 4 1 R Q 6-2 6-2 电容和电容器电容和电容器 真空中孤立导体球半径为真空中孤立导体球半径为 R，带电量为，带电量为 Q， 选无限远为电势零点，则导体球的电势为选无限远为电势零点，则导体球的电势为 R Q 0 4 1 一一 孤立导体的电容孤立导体的电容 Q C 孤立导体的电容孤立导体的电容 C 反映了孤立导体储存电荷的能力。反映了孤立导体储存电荷的能力。 与导体本身的形状和尺寸有关，与是否带电无关。与导体本身的形状和尺寸有关，与是否带电无关。 单位：单位： C/V 1F 1pF 10F 10F 1 126 电容物理意义：电容物理意义：导体升高单位电势所需的电量导体升高单位电势所需的电量 RC 0 4 真空中孤立导体球电容真空中孤立导体球电容 孤立导体带电荷孤立导体带电荷Q与其电势与其电势 的比的比 值称为值称为孤立导体的电容，用孤立导体的电容，用C表示表示. 二二 电容器及其电容电容器及其电容 两个带等量异号的、靠近的两个带等量异号的、靠近的 导体组成的体系称为导体组成的体系称为电容器电容器。 构成电容器的两导体构成电容器的两导体称为电称为电 容器的两容器的两极板极板。 1、 电容器定义电容器定义 2 电容器电容定义电容器电容定义 理论和实验都表明：电容器上一个极板上所带电量理论和实验都表明：电容器上一个极板上所带电量 的绝对值与二极板之间的电势差之比是一常量，该常的绝对值与二极板之间的电势差之比是一常量，该常 量称为该量称为该电容器的电容电容器的电容。 A B QQ U QQ C BA lEU AB d U QQ C BA A B QQ lEU AB d 1）C 取决于电容器两板的形状、大小、相对位置及中取决于电容器两板的形状、大小、相对位置及中 间电介质的种类和分布情况。间电介质的种类和分布情况。 2）C描述了电容器储存电荷的本领和储存能量的本领。描述了电容器储存电荷的本领和储存能量的本领。 3）孤立导体的电容可理解为它和无穷远处的导体组成孤立导体的电容可理解为它和无穷远处的导体组成 的电容器的电容。的电容器的电容。 说明：说明： 按形状：柱型、球型、平行板电容器按形状：柱型、球型、平行板电容器 按型式：固定、可变电容器按型式：固定、可变电容器 按介质：空气、塑料、云母、陶瓷等按介质：空气、塑料、云母、陶瓷等 3 电容器分类电容器分类 固定电容器固定电容器可变电容器可变电容器 4 电容器击穿电容器击穿 电容器中电介质的绝缘性遭到破坏，称为电容器被电容器中电介质的绝缘性遭到破坏，称为电容器被击穿击穿. . 所能承受的不被击穿的最大场强叫做所能承受的不被击穿的最大场强叫做击穿场强击穿场强。 此时两极板的电压称为击穿电压此时两极板的电压称为击穿电压。 （1 1）设两极板分别带电设两极板分别带电Q （3 3）求两极板间的电势差求两极板间的电势差 （4 4）由由C=Q/U求求C E （2 2）求两极板间的电场强度求两极板间的电场强度 4 电容器电容的计算电容器电容的计算步骤步骤 U QQ C BA AB r.dEU + d1d2 A 例例1：平行板电容器充满两层厚度为：平行板电容器充满两层厚度为 d1 和和 d2 的电介质的电介质(d=d1+d2 )，介质的电容率分别，介质的电容率分别 为为 1和和 2 。若电容器极板上的电荷面密度分。若电容器极板上的电荷面密度分 别为别为 和和- ，极板面积为，极板面积为S。求：求：1.电介质电介质 中的电场中的电场 ；2.电容器电容。电容器电容。 解解: (1)作如图所示的垂直于电容器两极板的柱作如图所示的垂直于电容器两极板的柱 形高斯面，形高斯面， 其底面积其底面积A。利用有介质时的高斯。利用有介质时的高斯 定理有：定理有： DASD S 1 d D ; 1 1 E D E 利用各向同性介质中利用各向同性介质中D与与E的关系的关系 用用 1和和 2分别代替上中的分别代替上中的 得得两种介质中的两种介质中的E 2 2 E A (2) 板间电势差：板间电势差： AB AB dlEU 电容器电容器 的电容：的电容： AB U Q C + d1d2 S1 S2 1 1 E 2 2 E 讨论讨论：如电容器两极板间充满同一电介质，其相对电容率：如电容器两极板间充满同一电介质，其相对电容率 为为 ，则该平行平板电容器的电容为：，则该平行平板电容器的电容为： r 0r 2 dd S C 1 d S C 0 0 AB U S ) d d ( S 2 2 1 1 2211 dEdE 2 2 1 1 dd d S r 0 0 Cr 例例2 圆柱形电容器由一长直圆柱导体和与它同轴的薄导圆柱形电容器由一长直圆柱导体和与它同轴的薄导 体圆筒组成，若直导体与导体圆筒间充以相对电容率为体圆筒组成，若直导体与导体圆筒间充以相对电容率为 r 的电介质。设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为的电介质。设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 + 和和 - 。求（。求（1）电介质中的场强、电位移和极化强度；）电介质中的场强、电位移和极化强度； （2）电介质内、外表面的极化电荷面密度；（）电介质内、外表面的极化电荷面密度；（3）此圆柱）此圆柱 形电容器的电容。形电容器的电容。 解：（解：（1）由对称性分析，电场为柱对称分布，由对称性分析，电场为柱对称分布， 建立如图所示高斯面，据介质中的高斯定理，建立如图所示高斯面，据介质中的高斯定理， 有有 1 R 2 R rlDSdD S 2 r D 2 r D E 0 EP e0 l r l 21 0 2 RrR r r E r0 1 r r r 2 1 nP Rr 1 1 r P r r 2 1 1 R 2 R （2）电介质内表面电荷面密度电介质内表面电荷面密度 电介质外表面电荷面密度电介质外表面电荷面密度 nP Rr 2 2 r E r 0 2 （3） 2 1 12 l dEU U Q C 1 2 0 0 ln 2 R R l C 1 Rr P 1 2 1 R r r 2 Rr P 2 2 1 R r r r dr R R r 2 1 0 2 1 2 0 ln 2R R r 1 2 0 ln 2R R l r 1 2 0 ln 2 R R l r 0 C r 1 R 2 R r 0 D E r )( 21 RrR l lEU d) 11 ( 4 210 RR Q r 设内外极板分别带电设内外极板分别带电Q 解：解： 例例3：半径为：半径为R的导体球与它同心的导体球壳组成一球的导体球与它同心的导体球壳组成一球 形电容器，如在该电容器中充满相对电容率为形电容器，如在该电容器中充满相对电容率为 r的电介的电介 质球壳，求该电容器的电容质球壳，求该电容器的电容 在介质中建立如图所示的高斯在介质中建立如图所示的高斯 面，利用有介质的高斯定理有：面，利用有介质的高斯定理有： 2 4r Q D 2 0 4r Q r 2 1 2 0 d 4 R R r r r Q 2 R 10 4RC 孤立导体球电容孤立导体球电容 ) 11 ( 4 210 RR Q U r U Q C 1 R 2 R r 12 21 00 4 RR RR C 12 21 0 4 RR RR r 0 Cr 1 串联电容器的电容串联电容器的电容 i i CC 11 等效等效 BA U n UUU q U C 21 Q C A B 1 C 2 C 3 C n C A B 11 /CqU 22 / CqU nn CqU/ n i in CCCCC 1 21 11111 电容器串联时，总电容量减少，电容组耐压值增大。电容器串联时，总电容量减少，电容组耐压值增大。 一个被击穿，其余电容器会相继被击穿。一个被击穿，其余电容器会相继被击穿。 qQ 三三 电容器的连接电容器的连接 n UUU 21 2 并联电容器的电容并联电容器的电容 i i CC U qqq C n 21 U Q 1 C 2 C A B n C UCq 11 等效等效 UCq 22 UCq nn BA U 令令 n CCCC 21 C B A 电容器并联时电容器并联时,总电容量增大，但耐压受耐压最小的总电容量增大，但耐压受耐压最小的 电容器的限制。电容器的限制。 BA U n qqq 21 Q 例例5 一个球形电容器由三个很薄的同心导体壳组成， 它们的半径分别为a、b 和 d（abd）。一根绝缘导 线通过中间壳层的一个小孔把内外球壳连接起来，忽 略孔的边缘效应，求：此系统的电容。 a b d 1 Q 2 Q 解：解：由题意知该系统是两个电容器的 并联。设内、外球壳所带电荷分别为 Q1和Q2，由静电平衡条件知中间球壳 内外表面所带电荷分别为-Q1,-Q2,这两 个电容器中的场强为： E1 E2 球壳间的电势差分别为 b a ab l dEU 1 内外两球形电容器的电容分别为 系统的电容 a b d 1 Q 2 Q )( 4 ),( 4 2 0 2 2 2 0 1 1 bd r Q Eba r Q E E1 E2 b d db l dEU 2 b a dr r Q 2 0 1 4 ba Q11 4 0 1 b d dr r Q 2 0 2 4 db Q11 4 0 2 1 C 2 C E 例例6：C1和和C2两空气电容器并联起来接上电源充电两空气电容器并联起来接上电源充电， 然后将电源断开然后将电源断开，再把电介质插入再把电介质插入C1中中，则则 (A)C1和和C2极板上电量都不变极板上电量都不变 (B)C1极板上电量增大极板上电量增大，C2极板上电量不变极板上电量不变 (C)C1极板上电量增大极板上电量增大，C2极板上电量减少极板上电量减少 (D)C1极板上电量减少极板上电量减少，C2极板上电量增大极板上电量增大 解解:电介质插入电介质插入C1中中,不会改变两电容器极板上总电量即不会改变两电容器极板上总电量即： 但会使该电容器但会使该电容器C1的电容增加的电容增加，从而使总电容增加从而使总电容增加， 即即： (1) Q QQQQ 2 121 U Q CCC U Q CCC 212 1 2 2 2 2 C Q U C Q U (2) QQ 2 2 综合考察综合考察（1）式和式和（2）可得可得：(3) QQ 1 1 答案为（答案为（C） 下次课将讲章节下次课将讲章节 6-5 带电体系的静电能 7-1 恒定电流 上上次课次课主要公式主要公式 ; V V i i p limP 0 ;qSdP S nP ; EEE 0 ;EP e 0 ;PED 0 EEED re 00 1)( ;qSD i i S 0 dd 0 ; Q C U QQ C BA ;r.dEU AB n CCCC 21并 n i in CCCCC 1 21 11111 串 能量是定域于场的，静电能是定域于静电场的。能量是定域于场的，静电能是定域于静电场的。 一一个带电体系所具有的静电能就是该体系所具有的个带电体系所具有的静电能就是该体系所具有的 电势能，它等于把各电荷元从无限远离的状态聚集成电势能，它等于把各电荷元从无限远离的状态聚集成 该带电体系的过程中，外力克服静电场力所作的功。该带电体系的过程中，外力克服静电场力所作的功。 带电体系所具有的静电能是由电荷携带呢，还是由电带电体系所具有的静电能是由电荷携带呢，还是由电 荷激发的电场携带？能量定域于电荷还是定域于电场？荷激发的电场携带？能量定域于电荷还是定域于电场？ 在静电场中无法回答，但在电磁波的传播中能充分说在静电场中无法回答，但在电磁波的传播中能充分说 明场才是能量的携带者。明场才是能量的携带者。 一个物体带了电是否