微积分答案第十章.pdf

十. - 1 - - 1 - 第十章第十章 习题习题 101 1 指出下列各微分方程的阶数： (1) x(y)22yyx0; (2) (y)35(y)4y5x60; (3) y x 2yx2y0; (4) (x2y2)dx(x2y2)dy0 解: (1) 因为方程中未知函数 y 的最高阶导数的阶数为 1,故该方程为一阶微分方程. (2) 二阶. (3) 三阶. (4) 一阶. 2 验证下列给定函数是其对应微分方程的解： (1) y(xC)ex, yyex; (2) xyC1exC2ex, xy2yxy0; (3) xcos2tC1cos3tC2sin3t， x9x5cos2t; (4) 2 2 1 2 C y C x 1， xyyx(y)2yy0 解: (1) () ()() () ee eeee e xx xxxx x yxc yyxcxc yxc 是微分方程e x yy 的解. (2) 在方程 12 ee xx xycc 两边对 x 求导有 12 ee xx yxycc 上方程两边对 x 求导 有 12 2ee xx yxycc ,即2yxyxy 即 20xyyxy 所以 12 ee xx xycc 所确定的函数( )yy x是方程20xyyxy的解. (3) 12 12 12 12 2sin23 sin33cos3 4cos29cos39sin3 94cos29cos39sin3 9cos29cos39sin3 5cos2 xtctct xtctct xxtctct tctct t 所以 12 cos2cos3sin3xtctct是微分方程95cos2xxt 的解. 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 2 - - 2 - (4) 方程 22 12 1 xy cc 两边对 x 求导得 21 0(1) c xc yy (1)式两边对 x 求导得 2 211 ()0(2) cc yc yy (2)式两边同乘以 x 得 2 211 ()0(3) c xc x yc xyy (3)-(2)得 2 ()0xyyx yyy 所以 22 2 1 1 xy cc 是方程 2 ()0xyyx yyy的解. 3 已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求这曲线所满足的微分方程 解: 设( , )x y是曲线( )yf x上任一点,则过该点的切线方程为()Yyy Xx,由已知 0X 时,Yx,得xy xy 即 0xyyx 为( )yf x所满足得微分方程. 4 求通解为 yCexx 的微分方程，这里 C 为任意常数 解: 由exyCx得1exyC ,而由已知exCyx得 1yyx 故通解为 exyCx的微分方程为1yyx . 习题习题 10 2 1求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解： (1) y x y 1 1 ； (2) xydx 2 1xdy0; (3) (xy2x)dx(yx2y)dy0; (4) sinxcos2ydxcos2xdy0; (5)1, 0 11 0 x yy x y x y x dd； (6) yyxey0, y(1)0; (7) ye2xy， 0 0 x y 解: (1) 原方程分离变量得 (10) 11 dd yx y yx ,两边积分得 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 3 - - 3 - 1 lnln1 1 cy x 即 1 ln (1)(1)cxy , 即 1 (1)(1)ecxy , 1 (1)(1)ecxy , 记 1 ecc,有 (1)(1)(0)xyc c, 而当 10y 即 1y 时,显然是方程的解,上 式取0c 时包含了1y ,故方程的解为(1)(1)xyc (c 为任意常数) (2) 分离变量得: 2 2 10,0 1 dd x xy xy y x ,两边积分得, 2 1 1lnxcy,可知 2 1 1 ee cx y ,即 2 1 1cx yee 又 0y 显然是方程的解. 方程的通解为 2 1 e x yc (c 为任意常数). (3) 分离变量得 22 22 11 dd yx yx yx , 两边积分得 2 2 1 ln(1)ln 1 yc x ,即 2 1 2 1 ln 1 y c x 从而 1 22 1(1)ecyx ,记 1 ecc 有 22 (1) 1yc x. (4) 分离变量得, 22 sin coscos d d yx x yx ,两边积分得, 1 tan cos yc x 即 tansecyxc. (5) 原方程可化为:(1)(1)ddyyyxxx,两边积分得 2323 2323 yyxx c 由 0 1 x y 得 115 236 c , 所以原方程满足初始条件的特解为 2323 5 23236 yyxx 即 3322 2()3()5xyxy. (6) 分离变量得 e dd y yyx x , 两边积分得 2 2 ee yy x yc 由 (1)0y 得 1 2 c , 故原方程满足初始条件的特解为 2 1 (1)(1) 2 e y yx . (7) 分离变量得 2 e de d yx yx ,两边积分得 2 1 2 ee yx c, 由 0 0 x y 得 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 4 - - 4 - 1 2 c ,所以,原方程满足初始条件的特解为 2 1 (1) 2 ee yx . 2 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为 T0的物体放在保持常温 为的室内，求温度 T 与时间 t 的关系. 解: 设 t 时刻物体的温度为 T,由题意有 () d d T k T t (k 为比例系数) 分离变量得 d d T k t T ,两边积分得, 1 lnktc T ,得e kt Tc , 由题意有 0t 时, 0 TT,代入上式得, 0 cT. 0 ()e kt TT (k 为比例系数). 3 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解： (1) xyy 22 yx 0； (2) y x y sin x y ； (3) 3xy2dy(2y3x3)dx; (4) x2yxyy2， y(1)1； (5) xyy(lnylnx), y(1)1; (6) (yx2)dx(xy4)dy; (7) (xy)dx(3x3y4)dy0 解: (1) 原方程可化为 2 1( ) yy y xx , 令 y u x 则 yux, yuxu 代入原 方程得: 2 1xuu 即 2 1 ddux x u 两边积分得 2 1 ln(1)lnuuc x 即 2 1uucx 将 y u x 代入得 222 yxycx. (2) 令 y u x ,则 ,yux yuxu 代入原方程得: sin d d u u x 即 sin ddux ux 两边积分得 1 lntanln 2 u xc,则 tan,2arctan 2 u cx ucx, 将 y u x 代入得2 arctanyxcx. (3) 原方程可化为 2 21 ( )( ) 33 d d yyx xxy , 令 y u x ,则 dd dd uy xu xx , 代入上式得, 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 5 - - 5 - 2 3 3 1 d d ux u ux , 两边积分得 3 1 ln(1)lnuxc , 即 3 (1)xuc, 将 y u x 代入得 332 xycx. (4) 原方程可化为 2 ( ) yy y xx , 令 y u x , 则 , dd dd yu yuxux xx ,代入上式 得 2 2 ddux uux , 即 111 22 dx xuu , 两边积分得 1 12 lnln 2 u c x u 即 2 2ucux 将 y u x 代入得 2 y cxy x , 由 (1)1y 得 1c , 2 y xy x , 即 2 2 1 x y x 所以原方程满足初始条件的特解为 2 2 1 x y x . (5) 原方程可化为 ln d d yyy xxx , 令 y u x 则 dd dd yu ux xx , 上方程可化为 ln d d u uxuu x 即 (ln1) ddux uux 两边积分得 1 lnln ln1 c ux 即 1 ln1() ecucxc 亦即 1 e cx u 将 y u x 代入得 1 e cx yx 由初始条件(1)1y 得 1c 故原方程满足初始条件的特解为 1 e x yx . (6) 原方程可化为 2 4 d d yyx xxy 解方程组 20 40 yx xy 得 1 3 x y 作变换 1 3 xu yv ,原方程化为 d d vvu uuv 这是一个齐次方程,按齐次方程的解法: 令 v u , 方程可化为 2 1 1 d d u u 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 6 - - 6 - 两边积分可得,整理可得, 22 2arctanln(1)uc 将 v u 代入上式得 22 2arctanln() v uvc u 将1,3uxvy代入上式得 22 3 2arctan ln ( 1)(3) 1 y cxy x (7)原方程可化为 334 d d yxy xxy 令txy,则1 dd dd ty xx ,代入上方程得 24 34 d d tt xt 即 24 2 2 d t x t 即 2 (3)2 2 ddtx t , 积分得32ln2 2 txc t . 将txy代入上式得,32ln2xycxy. 4 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解： (1) yysinx; (2) y x n yxnex； (3) (x2y)dydx0; (4) (1xsiny)ycosy0； (5) y 1x y (x1)ex, y(0)1; (6) y 2 2 2 1 2 1 2 x x y x x ，y(0) 2 3 ; (7) yy x 1 x 2 lnx, y(1)1; (8) y2xy(xsinx) 2 x e，y(0)1; (9) y 2 34 xy yx ； (10) y xyyx 33 1 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 7 - - 7 - 解: (1) 这是一阶非齐次线性微分方程, ( )( ) ( )1,( )sin ( ) ( sin) ( sin) sincos () 2 1 (sincos ) 2 d d ed eed ee d e P x dxP xx dxx xx xx x x P xQ xx yQ x exc xxc xxc x ex e ec cxx (2) 这是一阶非齐次线性微分方程,( ),( )e nx n P xQ xx x ( )( ) lnln ( ) ()() ()()() dd dd eed eeedeed dde P xxP xx nn xx nxnxnxnx xx nnxnnxnx yQ xxc xxcexxc xx exxcxexcxc (3) 原方程可化为 2 d d x xy y ,这是一个关于y的一阶齐次线性微分方程,且 ( )1,( )2P yQ yy, 所以 ( )( ) ( ) ( 2) (2) (2(1) 2(1) dd dd eed eed ee d ee e P yyP yy yy yy yy y xQ yyc yyc yyc yc yc (4) 原方程可化为 tansec d d x xyy y ,这是一个关于y的一阶非齐次线性微分方程, 且 ( )tan ,( )secP yy Q yy , 所以 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 8 - - 8 - ( )( ) tantan ( ) ( sec) 1 ( seccos) cos 1 () cos dd dd eed eed d P yyP yy y yy y xQ yyc yyc yy yc y yc y (5) 这是一阶非齐次线性微分方程且 1 ( ),( )(1) 1 exP xQ xx x ,所以 ( )( ) 11 11 ( ) ( (1) (1)()(1)() dd dd eed eeed d P xxP xx xx x xx xx yQ xxc xxc xexcxec 将初始条件 (0)1y代入上式中得0c 故,原方程满足初始条件的特解是 (1)exyx. (6) 这是一阶非齐次线性微分方程,且 2 22 22 ( ),( ) 11 xx P xQ x xx ,所以 22 22 ( )( ) 22 2 11 2 2 ln(1)ln(1) 2 2 2 3 2 ( ) 2 () 1 2 () 1 1 ( 2) 1 12 () 13 dd d eed eed eed d P xxP xx xx x xx xx yQ xxc x xc x x xc x xxc x xc x 将初始条件(0)1y代入上式得 2 3 c ,所以原方程满足初始条件的特解是 3 2 2(1) 3(1) x y x . (7) 这是一阶非齐次线性微分方程,且 12 ( ),( )lnP xQ xx xx ,所以 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 9 - - 9 - ( )( ) 11 2 ( ) 2 (ln) 2 (ln) 22 (ln) 2(1 ln ) dd d-d eed eed d P xxP xx xx xx yQ xxc xxc x xx xc x xxc xx xcx 将初始条件 (1)1y代入上式得 1c 所以,原方程满足初始条件的特解是 2(1 ln )yxx. (8) 这是一阶非齐次线性微分方程,且( )2P xx, 2 ( )sine x Q xxx ,所以 2 2 2 ( )( ) 22 ( ) (sin) (sin) (sincos) dd dd eed eeed ed e P xxP xx x xx x x x x yQ xxc xxxc xx xc xxxc 将初始条件(0)1y 代入上式得 1c ,故原方程满足初始条件的特解是: 2 (sincos1)e x yxxx . (9) 原方程可化为 32 1 yyx y x ,这是 2 的伯努利方程,方程两边同除以 2 y,得 233 1 y yyx x 令 1 ( 2)3 zyy ,则上面方程化为 3 3 3 d d z zx xx ,这是一阶非齐次线性微分方程,且 3 3 ( ),( )3P xQ xx x ,其通解为 33 3343 ( 3)()3 dd eed3d xx xx zxxcxxcxcx 将 3 zy代入上式得原方程的通解为 343 3yxcx. (10) 原方程可化为 33 d d x xyx y y ,这是关于y的3的伯努利方程,令 1 32 zxx , 上述方程可化为 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 10 - - 10 - 3 22 d d z yzy y 这是关于 y 的一阶非齐次线性微分方程,且 3 ( )2 ,( )2P yy Q yy ,其通解为: 22 22 2 22 3 3 2 2 ( ( 2) ( ( 2) (1) 1 dd eed eed e y yy y yy yy y zyyc yyc eeyc yc 将 2 zx代入上式得原方程的通解为 2 2 2 1 1 y yce x . 5 设函数 f(x)在1,)上连续，若由曲线 yf(x)，直线 x1,xt(t1)与 x 轴所围成的 平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 V(t) 3 t2f(t)f(1) 试求 yf(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 y(2) 9 2 的特解 解: 依题意有 2 2 1 ( )( )(1) d 3 t fxxt f tf ,两边同时对 t 求导有: 2 2 ( )2 ( )( ) 3 fttf tt f t 即 22 ( )3( )2 ( )t f tfttf t 亦即 22 32x yyxy 故 ( )yf x所满足的微分方程是 22 32x yyxy , 该方程可化为 2 3( )2( ) yy y xx , 这是齐次方程.可求得该齐次方程的通解为: 3 yxcx y 将初始条件 2 (2) 9 y代入上式得 1c ,所以,该微分方程满足条件 2 (2) 9 y的特解是 3 yxx y . *6 设某生物群体的出生率为常数 a，由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因，死亡率与 当时群体中的个体量成正比(比例系数为 b0)如果 t0 时生物个体总数为 x0，求时刻 t 时 的生物个体的总数(注： 将生物群体中的个体量当做时间 t 的连续可微变量看待) 解解: 设时刻 t 时的生物个体的总数为 x,依题意得 d d x abx t 即 d d x bxa t 解得 ()ee btbt a xc b 又 0t 时 0 xx,代入上式得 0 a cx b ,故 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 11 - - 11 - 00 ()()eee btbtbt aaaa xxx bbbb . 7 已知 f(x)x t f x d 3 0 3 3x3， 求 f(x) 解: 方程两边对 x 求导得 ( )3 ( )3fxf x 即 33yy 这是一阶非齐次线性微分方程,( )3,( )3P xQ x ,其通解为 33 33 333 ( 3)( 3) ()1 dd eedeed eee xx xx xxx yxcxc cc 由 已 知 3 0 ( )( )33 3 d x t f xftx 得 (0)3f , 代 入 上 式 得 2c , 所 以 3 ( )1 2e x f x . 8 已知某商品的成本 CC(x)随产量 x 的增加而增加，其增长率为 C(x) x Cx 1 1 ， 且产量为零时，固定成本 C(0)C00求商品的生产成本函数 C(x) 解: 由 1 ( ) 1 xC C x x 得 1 1 1 CC x ,这是一阶非齐次线性微分方程,且 1 ( ),( )1 1 P xQ x x ,其通解为 11 11 11 ( 1)(1) ln(1) dd eed xx xx CxCxxC 由初始条件 0 (0)CC代入上式得 10 CC.所以商品的生产成本函数 0 ( )(1) ln(1)C xxxC. 9 某公司对某种电器设备的使用费用进行考察，结果发现，随该电路使用时间 x 的延长， 它的保养维修费会加倍增长， 因而平均单位时间的使用费S也在增加， 即S为x的函数SS(x)， 其变化率为 a x b S x b x S 2 1 d d ， 其中 a,b 均为正常数若当 xx0时 SS0，试问：使用时间为多少时，其平均单位时间的 使用费 S 最高? 解: 原方程 2 1d d sbb sa xxx 可化为 2 (1)d d sbba s xxx ,这是一阶非齐次线性微分方 程,且 2 (1) ( ),( ) bba P xQ x xx ,其通解为, 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 12 - - 12 - 22 1 (1)(1) ()() () dd eedd bb xx bb xx bbb baba Sxcxxxc xx a xaxccx x 由 已 知 0 xx时 , 0 ss代 入 上 式 得 , 00 1 0 b s xa C x , 又 由 b a Scx x 得 1 1 22 b b abcxa Sbcx xx ,令0S 得唯一驻点 1 1 ()b a x bc ,将 00 1 0 b s xa C x 代入得 1 1 0 00 ()b a xx bs xab , 由 问 题 的 实 际 意 义 知 , 最 值 存 在 , 所 以 当 是 时 间 1 1 0 00 ()b a xx bs xab 时,其平均单位时间的使用费 S 最高. 习题习题 103 1 求下列微分方程的通解： (1) y xex； (2) y 2 1 1 x ； (3) (1x2)y2xy0； (4) y(y)20； (5) 2 2 3 t x x d d 10； (6) yy(y)2(y)30 解:（1）对方程两端连续积分三次得 1 12 2 1 23 (1)e (2)e (3) 2 x x x yxc yxc xc c x yxec xc 这就是所求的通解. （2）对方程两端连续积分两次得 1 arctanyxc 2 112 1 arctan darctanln(1) 2 yx xc xxxxc xc 这就是所求的通解. （3）令( )yp x ,则( )yp x，于是原方程可化为 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 13 - - 13 - 2 (1)20xpxp 分离变量得 2 d2 d 1 px x px ，积分得 1 2 1 c p x ,即 1 2 1 c y x . 再积分得 12 arctanycxc. （4）令( )yp x ，则yp，原方程可化为 2 0pp ，即 2 d d p x p 两边积分得 1 1 xc p ,即 1 1 p xc . 亦即 1 d1 d y xxc 再积分得 12 ln |yxcc （5）令( )xp x ,则 d d p xp x ,原方程变为 3 d 10 d p x p x ,即 3 1 ddp px x . 两边积分得 2 2 1 2 1c x p x 即 2 1 1c x p x . 亦即 2 1 1d d c xx tx 即 2 1 dd 1 x xt c x . 积分得 2 112 1c xctc. 从而 22 112 1()c xctc. 这就是所求的通解. （6）令( )yp y ,则 d d p y y p,代入原方程得. 23 d 0 d p yppp y 即 2 d 0 d p p ypp y 若p=0,则0, yyc 是方程的解. 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 14 - - 14 - 若 2 d 0 d p ypp y ，分离变量得 2 d1 d p y ppy . 积分得 1 (1)pc yp 即 1 1 1 c y p c y . 于是: 1 1 d d1 c yy tc y 即 11 1 ()ddcyc x y . 积分得 1( ) 2 cx y yc e . 2 求下列微分方程满足初始条件的特解： (1) y lnx，y(1)0, y(1) 3 3 , y(1)1; (2) x2yxy1, y(1)0, y(1)1; (3) y 2 y 1, y(0)0, y(0)1 解： （1） 方程两边积分得： 1 lnyxxxc ， 由(1)1 y 得 1 0c ， 于是lnyxxx , 上式两边再积分得 2 2 2 3 ln 24 x yxxc . 由 3 (1) 4 y 得 2 0c ，于是 2 2 3 ln 24 x yxx 两边再积分得 33 3 111 ln 636 yxxxc. 由(1)0y得 3 11 36 c . 所以，原方程满足初始条件的特解为 33 11111 ln 63636 yxxx. （2）令( )yp x ，则yp，原方程化为 2d 1 d p xxp x .即 2 d1 d p px xx ，这是 一阶非齐次线性方微分方程. 1 ( )p x x , 2 ( )Q xx，其通解为 11 dd 2 11 1 e(ed)(ln) xx xx pxxcxc x 即 1 1 (ln)yxc x ，由(1)1 y 得 1 1c ，于是 1 (ln1)yx x ,从而 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 15 - - 15 - 2 2 11 (ln1)d(ln1) (ln1)(1 ln ) 2 yxxxdxxc x 由(1)0y得 2 1 2 c 2 11 (1 ln ) 22 yx即 2 1 lnln 2 yxx. （3）令yp ，则yp，原方程可化为 2 d 1 d p p x ,由(0)1 y ，即0x 时，1p . 显然1p 是上述方程的解，即 d 1 d y x ，积分得yxc,由(0)0y得0c ，所以， 原方程满足初始条件的特解为yx. 3 已知某个二阶非齐次线性微分方程有三个特解 y1x, y2xex和 y31xex，求这个方程 的通解 解： 因为 123 ,y yy是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解， 则 21 exyy, 32 1yy是 某对应的齐次微分方程的特解且 e e 1 x x 常数， 故ex和 1 是其对应的二阶齐次线性微分方 程的两个线性无关的特解，故对应齐次线性方程的通解为 12e x ycc 又 1 yx是这个二阶非齐次线性微分方程的特解，故这个方程的通解是 12e x yccx. 4 求下列齐次线性方程的通解或在给定条件下的特解： (1) y4y4y0; (2) yy2y0; (3) y5y6y0, y(0)1, y(0)6; (4) y2y10y0, y( 6 )0, y( 6 ) 6 e 解： （1）特征方程为 2 440rr，它有两个相等的特征根 12 2rr,所以，所求的通解 为 2 12 ()e x ycc x. （2）特征方程为 2 20rr ,它有两个不相等的实特征根 12 1,2,rr 故所求的通 解为 2 12 ee xx ycc . （3）特征方程为 2 560rr，它有两个不相等的实特征根 12 2,3rr ,故所求 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 16 - - 16 - 的通解为 23 12 ee xx ycc . 由(0)1y得 12 1cc,又由(0)6 y 及 23 12 2 e3 e xx ycc 得 12 236cc ， 解 方程组 12 12 1 236 cc cc 得 1 2 9 8 c c 所以，原方程满足初始条件的特解为 23 9e8e xx y . （4）特征方程为 2 2100rr,它有两个共轭复数根， 1,2 1 3ir ,故方程的通解为 12 e (cos3sin3 ) x ycxcx，由 6 ( )0,( )e 66 y y 得 1 1 3 c , 2 c=0,故所求特解为: 1 e cos3 3 x yx 5 求下列非齐次线性微分方程的通解或给定初始条件下的特解： (1) y3y10y144xe2x; (2) y6y8y8x24x2; (3) yycos3x, y( 2 )4, y( 2 )1; (4) y8y16ye4x, y(0)0,y(0)1 解： （1）特征方程 2 3100rr有两个不相等的实数根 12 5,2rr ,故对应齐次方程的 通解为 52 12 ee xx Ycc 因为2 不是特征方程的根，故可特解为 *2 ()e x yAxB 则 *2 ( 22 )e x yAxAB , *2 ( 444)e x yAxBAx 代入原方程可解得 12,1AB . 所以 *2 (1 12 )e x yx . 所求通解为 252 12 (1 12 )eee xxx yxcc （2）特征方程 2 680rr有两个不同的特征根 12 2,4rr,故对应齐次方程的通 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 17 - - 17 - 解为 24 12e xx Yc ec 又因为0不是特征方程的根，故可设特解为 *2 yAxbxc 则 * 2yAxB , * 2yA ，代入原方程可解得 1,2,1ABC, 故 *22 21(1)yxxx . 所求通解为 224 12 (1)ee xx yxcc. （3）特征方程为 2 10r ，它有两个共复数根 1,2 ir ，故对应齐次方程的通解为 12 cossinYcxcx 考察方程 3i e x yy ，因为3iw 不是特征方程的根，故可设特解为 *3i e x yA 则 *3i*3i 3i e, 9 e xx yAyA ,代入方程 3i e x yy ,得 1 8 A ,所以 *3i 11 e(cos3isin3 ) 88 x yxx 取 * y的实部，即得到方程cos3yyx 的特解. * 1 1 cos3 8 yx 故原方程cos3yyx 的通解为 12 1 cos3cossin 8 yxcxcx 又 12 3 sin3sincos 8 yxcxcx 由初始条件 4, 1 22 yy 得 12 5 ,4 8 cc,故所求的特解为 15 cos3cos4sin 88 yxxx （4）特征方程 2 8160rr有两个相等的实根 12 4rr，故对应齐次方程的通解 为: 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 18 - - 18 - 4 12 ()e x ycc x 因为4是特征方程的重根，故可设特解为 *24 e x yAx 将其代入方程 4 816e x yyy得 1 2 A,故特解为 *24 1 e 2 x yx 所以原方程的特解为 244 12 1 e()e 2 xx yxcc x. 又由 42444 22 e2ee4e xxxx yxxcc x 及(0)1 y ,得 2 1c . 所以，所求特解为 244 1 ee 2 xx yxx. 6 设对一切实数 x,函数 f(x)连续且满足等式 f(x)x2 x ttf 0 )( d，且 f(0)2, 求函数 f(x) 解：方程两边求导得( )2( )fxxf x，即2yyx ，特征方程 2 10r 有两个不同 的实根 12 1,1rr ,故对应齐次方程的通解为 12 ee xx Ycc . 因 为0不 是 特 征 方 程 的 根 ， 故 可 设 特 解 为 * yAxB, 代 入 原 方 程 得 2,0AB ，故特解为 * 2y ，所以方程的通解为 12 2ee xx yxcc . 由已知(0)2f得 12 2cc，又由题设得(0)0 f ,及 12 2ee xx ycc 得 12 2cc. 解方程 12 12 2 2 cc cc 得 12 2,0cc 所以满足题设条件特解为 22exyx 即 ( )22exf xx . 7 设二阶常系数非齐次线性微分方程 yaybyex 的一个特解为 ye2x(1x)ex,试确定常数 a,b,并求该微分方程的通解 解：将已给的特解代入原方程，得 2 (42)e(32)e(1) ee xxxx ababab x 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h