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5.3 平面向量的平行与垂直及平面向量的应用,高考数学,一、向量平行的判定 1.当b0时,ab的充要条件是“ 存在实数,使a=b ”. 2.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是 x1y2-x2y1=0 . 3.三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线的充要条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0 . 二、向量垂直的充要条件 1.已知非零向量a,b,则ab ab=0 . 2.已知非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是 x1x2+y1y2=0 .,知识清单,三、中点公式 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点M的坐标为 . 四、两点间的距离公式 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= .,五、几个重要结论 1.若a、b为不共线向量,则a+b、a-b是以a、b为邻边的平行四边形的对 角线向量,如图. 2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2). 3.G为ABC的重心 + + =0 G (A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).,平面向量与三角函数综合问题的解决方法 求解此类问题的关键:(1)巧妙“转化”将以向量数量积、向量共 线、向量垂直等形式出现的条件转化为对应坐标乘积之间的关系;(2) 活用“性质”活用三角函数的性质,包括两域(定义域、值域)、四 性(奇偶性、单调性、周期性、对称性)以及整体换元思想;(3)妙用“定 理”解三角形问题,应认真分析已知条件中的边角关系,再用正弦 定理或余弦定理即可顺利解决.,方法技巧,例 已知向量m=( sin 2x+2,cos x),n=(1,2cos x),设函数f(x)=mn. (1)求f(x)的最小正周期与单调递增区间; (2)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若f(A)=4,b=1,ABC的面积 为 ,求a的值.,解题导引 先利用平面向量的数量积,求出函数f(x)的解析式,再利用三 角公式对函数f(x)的解析式进行化简.(1)利用三角函数的最小正周期公 式,求出f(x)的最小正周期,利用三角函数的单调性,求出f(x)的单调递增 区间;(2)由f(A)=4,可求出角A的值,再利用任意三角形的面积公式,可求 出c的值,最后利用余弦定理求a的值.,解析 因为m=( sin 2x+2,cos x),n=(1,2cos x),函数f(x)=mn, 所以f(x)= sin 2x+2+2cos2x= sin 2x+cos 2x+3=2sin +3. (1)f(x)的最小正周期T= =.由2k- 2x+ 2k+ ,kZ,得k- xk+ ,kZ. 所以f(x)的单调递增区间为 ,kZ. (2)因为f(A)=4,所以2sin +3=4, 即sin = . 由于0A,所以2A+ = ,即A= .,又因为SABC= bcsin A= 且b=1
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