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9.3 导数在实际问题中的应用及综合应用,高考数学,1.用导数研究函数的最值 确定函数在其定义域内可导(通常为开区间),求出导函数在定义域内的 零点,研究在零点左、右的函数的单调性,若左增、右减,则在该零点处 函数取极大值;若左减、右增,则在该零点处函数取极小值. 2.根据问题的实际意义,求出问题的最优解. 3.生活中常见的函数优化问题 (1)费用、成本最省问题; (2)利润、收益最大问题; (3)面积、体积最大(小)问题.,知识清单,利用导数解决生活中的优化问题 在求实际问题中的最大值或最小值时: (1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还要注意确定 出函数关系式中自变量的取值范围. (2)要注意求得结果的实际意义,不符合实际的值应舍去.,方法技巧,例1 (2017苏锡常镇四市高三教学情况调研(一),17)某单位举办庆典活 动,要在广场上树立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图).设计要求彩 门的面积为S(单位:m2),高为h(单位:m)(S,h为常数).彩门的下底BC固定 在广场的底面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为, 不锈钢支架的长度和记为l(单位:m). (1)将l表示成关于的函数l=f(); (2)当为何值时,l最小?并求出最小值.,解析 (1)过D作DHBC于点H,DCB= ,DH=h,设AD=x, 则DC= ,CH= ,BC=x+ , 所以S= h,则x= - , 则l=f()=2DC+AD= +h . (2)f ()=h =h ,令f ()=h =0,得= . f(), f ()随之变化情况如下表:,所以,lmin=f = h+ . 答:当= 时,l取得最小值,为 m.,导数的综合应用 研究多元问题的基本策略是尽量地减少变元的个数,因此“消元”是解 决问题的关键,“消元”时不能改变原来变量的取值范围,即“换元不 换域”,所以正确确定原来变量的范围也很重要. 例2 (2017江苏南通、扬州、泰州调研,14)若存在,R,满足 则实数t的取值范围是 .,解析 由t-5cos ,得-5cos ,从而cos -1,0, 令cos =x(x-1,0),则t=x3+ x, 若x=0,则t=0; 若x0,则由t=x3+ x,得= ,从而 t -5x, 2t-2x3-5x2tx2t-2x3,于是存在x-1,0),使 t 成立, 令f(x)= ,则f (x)= ,x-1,0),f (x)0,故f(x)在-1,0)上单 调递增,从而f(x)min=f(-1)=- ,故t- . 令g(x)= ,则g(x)=- ,x-1,0),g(x
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