《域的特征素域》PPT课件.ppt

第七章 多项式 有限域,群环域的关系,域,整区,体,半群,群,交换群,环,交换环,无零因子环,含壹环,7.1 域的特征 素域,7.1.1 域的特征 7.1.2 素 域,例子：剩余类环I/pI, 为域当且仅当p为质数。 分析I/pI= , , ，若I/pI为域，则有域为体知，无零因子。当p不是质数时p=st,1s,tp，知 = = ，即它们是零因子，矛盾。 反之，若要证明I/pI为域，只要其中任意非零元素有乘法逆即可。已知p为质数，对任意的 I/pI,有p为质数知与a互质，因此有整数的知识我们能够知道存在整数s,t 使as+pt=1，得到 = = = 因此 为 的乘法逆元。,7.1.1 域的特征,定义7.1.1域(F,+,)中非零元素关于+运算的周期称为域F的特征。 例 模7的整数环（Z7,+, )是域。Z7=0,1,2,3,4,5,6,该域的特征为7，如1+1+1+1+1+1+1=7(mod7)=0, 3+3+3+3+3+3+3=21（mod7)=0。模8的整数环(Z8,+, )是域吗？为什么？ 我们可以证明整数环(Zp,+, )在p为质数时是域，它们是最为重要的有限域，域的周期与域的元素个数相等均为p。那么是否有元素个数不是质数的有限域呢？答案是肯定的，我们将在第6节详细讲解。 定理7.1.1域的特征p或为质数或为0,证明,分析,由域的定义知,域显然是一个消去环,我们回顾一下上一章环中性质6.6.14直接得到结论. 这里的证明只不过是把任意不为0的a换成了e,证明过程一样.只需证若F的特征p0,则p一定为质数。 用反证法。设p不是质数，则 p = hk，1 h p，1 k p 因此，pe = (hk)e = (he)(ke) 而pe = 0。因为域中无零因子，这蕴涵he=0或 ke=0，和e的周期为p矛盾。,定理7.1.2设F是域，那么当F的特征为质数p时，F包含一个与模p的剩余类环（域）同构的子域；当F的特征为0时，F包含一个与有理域Q同构的子域。 设F是一个域，是F的壹，0为F中的零,作映射： ：n ne，n I 。 则： (1)是整数环I到F内的映射。 因为e F，2 e = e+e F，ne F， 故(I) F。(I) =,-2e,-e, 0,e,2e, (2)是整数环I到F内的同态映射。 因为(m+n)=(m+n)e =me+ne=(m)+(n)， (mn)=(mn)e=(me)(ne)=(m)(n) 。,设N是的核，则N是I的理想。 当质数p为F的特征，则 N = np | nI = pI。 此时I的同态象(I) =0,e,2e,(p-1)eF。 根据环同态基本定理6.7.5,商环I/N=I/pI=Rp同构于I=(I) ，而商环Rp在p为质数时是一个域，因此F包含一个与模p的剩余类环（域）同构的子域I 。 因F的任意子域必然包含e及其任意整数倍，就是说，必然包含 I ，所以I是F的最小子域。 即，F包含和Rp同构的I为其最小子域。,若F的特征p为0 由于的核0I只含0，所以 I和I=I/pI同构。 I还不是一个域,故扩充: (n0) 往证为有理域R0到F内的一个同态映射。 （1） 先证为有理域R0到F内的一个单射。 若h/k = m/n，则hn = km，因此， (he)(ne)=(ke)(me)， 故， he/ke = me/ne， 这就是说，由所规定的m/n的映象由m/n唯一确定，而与这个有理数的表示方法无关。即是单射。,再证为同态映射。 R0是一个域而不是把它的所有元素映到0， 所以，是R0到其映象 的同构映射。F的任意子域要包含e,e的整数 倍及其逆,即包含 ,所以,F包含和R0同构的为其最小子域。,现在用1代表F的壹：e=1，用整数n代表ne。 在特征0的情况下，用有理数m/n代表 me/ne。这样，特征为0的域便包含有理 域R0为其最小子域。 特征是质数p时，mod p合同的整数代 表F的同一个元素，Rp的元素写作 0,1，p-1。这样，特征为p的域便包 含Rp为其最小子域。 证毕。 RP称为最小域或素域，其中，p为0或质数。,0,I,F,设n是任意整数，aF，na 有两种意思， (1) 可以看作是a的n倍， (2)可以看作是F中两个元素的乘积。 结果都等于（ne）a。 结论1： p是质数时，任意非零元素在F的加法群中的 周期等于p； p=0时，任意非零元素在F的加法群中的周 期等于。,结论2：设F的特征是质数p，则 （a+b）p = ap+bp 证明：由二项式定理， 系数 都是整数。除了两端的ap和bp，中间各项的系 数中r都小于p，所以分子上的p不可能在约分 中消掉，因而中间各项的系数是p的倍数。 因此（a+b）p = ap+bp,结论3 设F的特征是质数p,则(a-b)p = ap-bp 证明：令c = a-b。由结论2， ap = （c+b）p = cp+bp = （a-b）p+bp， 从而（a-b）p = ap-bp 结论4 设F的特征是质数p，则 结论5 设F的特征是质数p，则 结论6 设F的特征是质数p，n不是p的倍数，则 -Fermat小定理,数学家费马(Pierre de Fermat）简介,费马是17世纪最重要的数学家之一,从职业上来说是为律师.他是历史上最著名的业余数学家.费马的数学发现发表的很少.我们从他与其他数学家的通讯中了解他的工作.费马是解析几何的发明者之一,并且发展了微积分的某些基础思想.费马和帕斯卡尔(Pascal)为概率论建立了数学基础.费马提出了最有名的数学问题.他断定在n大于2时,方程xn+yn=zn没有平凡的正整数解.300多年来没有找到证明(或反例),后来的数学家称这个问题的解决是一只能够下金蛋的鸡.若想知道问题的最终结果请看下一页:谨慎的屠龙者,怀尔斯：谨慎的屠龙者 怀尔斯因解决了350 年来悬而未决的费马大定律而闻名世界。 怀尔斯1953年4 月11日生于英国剑桥，1971年入牛津大学学习， 1980 年获 该校博士学位。怀尔斯的一位导师认为他具有两个显著的数学禀赋，一是他优先 于一切地要去证明困难的具体定理，而不愿去作优美的无所不包的猜想。；二是 他有惊人的能力去吸收大量的极高深极抽象的机制，并在脚踏实地的问题中贯彻 直到得出巨大的成果。 费马大定理又称费马最后定理，是著名法国数学家费马在约1637年写下的一 个猜想：对于任意大于2 的整数n ，不可能有非零的整数 a， b， c满足 .350 多年很多数学家尝试过解决费马大定理，直到1993年终不能完全证明。 怀尔斯在10岁读贝尔的著作最后的难题，开始被费马达定律迷住。曾一 度着手证明，但由于毫无进展而转向了椭圆曲线问题。,怀尔斯：谨慎的屠龙者,1986年，肯.里贝证明： 有一个尚未被证明的猜想，即所谓的谷山- 志村猜想，能够导出费马大定理，可要证明这个猜想也决非易事。 1986年怀尔斯得知里贝的结果后，重新燃起了研究费马大定律的热情。潜心 7 年，终于在1993年6 月23日上午10点半左右在英国剑桥大学牛顿研究所，在连 续三天的讲演的最后，概述证明了谷山志村猜想的一大部分，从而证明了费马 大定理。这一结论立刻震动了世界，有人称他为“世界的屠龙者”，尽管只有极 少的数学家能够理解这个技术性很强的证明。 但数月后，怀尔斯的证明逐渐被发现有问题。怀尔斯继续进行非常艰苦的 多种证明尝试，在一位同事的帮助下，1994年9 月怀尔斯最终完成了历史性长篇 论文“模椭圆曲线和费马大定理”。论文于19995 年发表在数学年刊上。怀 尔斯的论文迅速得到国际数学界的承认，他因此于1996年获得沃尔夫奖，成为最 年轻的沃尔夫奖获得者。,Donald E. Knuth，1938年出生于Wisconsin。1960年，当他毕业于Case Institute of Technology数学系时，因为成绩过于出色，被校方打破历史惯例，同时授予学士和硕士学位。他随即进入大名鼎鼎的加州理工学院数学系，仅用三年时间便取得博士学位，此时年仅25岁。 毕业后留校任助理教授，28岁时升为副教授。30岁时，加盟斯坦福大学计算机系，任正教授。从31岁那年起，他开始出版他的历史性经典巨著：The Art of Computer Programming。他计划共写7卷，然而仅仅出版三卷之后，已经震惊世界，使他获得计算机科学界的最高荣誉Turing Award，此时，他年仅36岁。后来，此书与牛顿的“自然哲学的数学原理”等一起，被评为“世界历史上最伟大的十种科学著作”之一。相信学过数据结构和编译原理的同学们都知道KMP算法和LR(K)算法有多么不可思议，然而此书中这样的算法比比皆是！ 在计算机科学上，他主要是一位理论家。然而，他在理论以外也同样做出惊人的成就。鼎鼎大名的排版软件Tex，就是他的作品。此外，还有Metafont等，也在世界上得到广泛使用。 他的其它著作和论文难以数计，其中包括Concrete Mathematics等名著。从1977年起，他获得Fletcher Jones Professor of Computer Science的头衔，并且同时兼任Professor of Electrical Engineering。,著名的计算机大师Donald E. Knuth,1990年，斯坦福大学更授予他一个非同寻常的头衔Professor of The Art of ComputerScience，作为对他的特殊贡献的承认！ 他的其它荣誉数不胜数，其中主要的有：美国国家科学院院士，美国艺术与科学院院士，美国工程院院士，法国科学院外籍院士，挪威科学院外籍院士.；美国数学会Steele奖，瑞典皇家科学院Adelskold奖，以色列工学院Harvey奖，IEEE冯诺依曼奖，东京高科技奖 共达数十个之多。同时，他还是牛津大学等二十几所大学的荣誉博士。早在1970年，他就在国际数学大会上做过特邀报告。 Knuth获得图灵奖时为36岁，他是历史上最年轻的图灵奖获得者，甚至有可能永远把这个记录保持下去。相比之下，其他获得图灵奖的人当时一般都是五十几岁或者六十几岁(例如去年的姚先生，和刚去世的Simon)，可见Kn