《极限与连续》PPT课件.ppt

第二章 极限与连续,1.定义2.1: 按一定顺序排列的一列数 a1,a2,an, 叫做一个数列, 数列中的每一个数叫数列的项, 第 n项 an 叫数列的一般项或通项.简记为 an .数列也可称作整标函数.,因为数列 an= f (n) 可看成是定义在正整数集合上的函数. 当自变量 n 按正整数 1,2,3, 依次增大的顺序取值时, 函数值按相应的顺序排列成一串数:,称为一个无穷数列, 简称数列.,例,(一).数列的有关知识,一. 数列的极限,第一讲 极限的概念,从以上几例可以看出, 随着 n 逐渐增大时, 数列 有着各自的变化趋势. 当 n 无限增大时 , 数列(1)、(5) “无限接近”数 0; 数列(2)、(6)、(7) “无限接近” 数1; 数列(3) “无限增大”; 数列(4) 在数 0和 1间摆 动.在几何上, an 表示数轴上一列点,也可以把(n ,an ) 看成平面上的点., ,o,1,数列,o,n,1,n,o,1,1,数 列,o,n,1,1,2, ,1,1,o,o, ,结论 当 n 无限增大时 ,数列的变化趋势有三种情形： an 无限增大; an 的变化趋势不定; an“无限接近”某个常数 A . 此时我们说数列 an 当 n 无限增大时, 以常数 A 为极限.这便是数列极限的直观描述.,o,n,1,1,数列,0, ,1,(二)、数列极限的直观描述,1.直观描述:对于数列,，如果当n 无限增大时,无限接近于一个确定的常数,，则称数列,收敛于,，或称当,趋于无穷大时，数列以,为极限。记作,否则，称数列发散。,2. 上面数列(1), (5)和 (6) 收敛于 0; 数列(2), (7)收敛于1; 数列(3), (4)发散.,3、举例 例1 判断下列数列极限,2、,3、,4、,解：1、,2、,3、,不存在,不存在,4 、,注意: (1)关于”n”无限增大”，所谓无限增大当然是想要多大就有多大，因此有限数列没有极限；另外，无限增大我们还很在乎“增大”，例如 1，2，100000，1/100000，2/100000，3/100000，. 1，1，1，1，.1001，1002，1003，1004， 不管前面的有限项如何，只看后面的无穷项。即不管给一个多么大的N或多么小的N，只要nN后，有f(n)与A无限接近就行了 (2)关于“无限接近”：当然是指an 与,的距离是越来越小，,都成立,要有多小就有多小，换句话说，随便给一个多么小的正数，,(3) “一个确定的常数” 表明数列的极限是唯一的.,(三)、数列极限的N定义,通过上面的讨论，我们可以用数学语言把它叙述出来：,，如果任意给定的正数，,时，, 恒成立，则称数列当,趋于无穷大时，以常数,为极限。,定义2.2: 对于数列,也称数列收敛于A.记,否则，称数列发散。,总存在一个正整数N，当,因不等式 |an-A| N)可改写成 A- N), 则,几何意义,若把 an 看成数轴上的点, 在数轴上任意取定A的 邻域, aN 以后的所有点都落在 A 的 邻域内., ,A+,A,A,(2) 若把 (n,an) 看成平面上的点, 在平面上取两直线y=A 和 y=A+; 当n N时, 所有点 (n,an)都落在两直线所形成的带形区域内.如图,A,A+,A,N,n,o,例2 利用定义证明,证明：要使,，只须,故：任给,，总存在,，当,时，,恒成立，因此,得证。,例3 证明,事实上： 任给,恒成立,得证。,(C为常数),故,数列极限是考察数列在n 这一过程中的变化总趋势(即有无极限). 而对于函数y=(x), 当考察它的变化总趋势时, 因自变量的连续变化过程有许多情况, 如x, x -, x 0, x x0+, x x0- 等.,二.函数的极限,如图,o,o,x,x,y,y,o,o,x,x,y,由以上几例可看得出, 同一个函数的自变量在不同的变化过程中, 相应的函数变化趋势不一样, 因而有必要分情况考察.,(一). x 时函数(x)的极限,1.直观描述：对函数(x), 当x取正值无限增大时(即x ), 如果(x)无限接近某常数A, 则称A是函数(x)当 x 时的极限.,注：函数y =(x)当 x+ 时有极限与数列极限的不同点在于自变量一个是连续递增的, 一个是取自然数递增的(是函数极限的特殊情形).,2.函数(“M”)定义,仿数列“N”定义有,如果对于任意给定的正数，总存在一个正数,，当,时,恒成立，则称当,时，函数,的极限为,。,例如,记作,不存在,及y =A+.则总存在区(M,+) ,可作两条直线y=A,几何意义,o,x,y,A+,A,A,M,y=(x),当,时，对应的函数曲,线介于这两条直线之间,(二)、,时f(x)的极限,1.直观描述: 对函数 (x), 当x取负值而绝对值无限增大时(即x),如果(x)无限接近某常数A, 则称A是函数(x)当x 时的极限.,2.函数 (“M”)定义 设函数(x), 当xa时有定义. 使得当xM时,|(x)A| 恒成立.则称函数(x)当x 时以A为极限.,例如,几何意义如右图.,o,x,y,A+,A,A,M,y=(x),记为,不存在,或,问题：如果既有,1.定理.函数y =(x)当x 时极限存在且为A的充要条件是函数y =(x)当 x 与 x 时极限都存在且等于A. 即,2.精确定义(“M”) 设函数(x),当|x|a时有定义. 对 当|x|M 时, |(x)A| 恒成立. 则称函数(x)当 x 时以A为极限. 记为,又有,是否有,呢？,(三). x 时函数(x)的极限,几何意义如右图.,o,x,y,A+,A,A,M,M,y=(x),(四). xx0 时函数(x)的极限,当x从大于1和小于1的方向趋于1即当 x 1时,函数(x)无限接近于1.,o,x,y,1,1,y = x,(1,1),首先,考察 函数 y =(x) = x (如右图),1、直观描述：设函数,在,的附近有定义，如果当,无限接近于,但不等于,时，,无限接近于一个确定的常数,，则称,当,时函数,以,为极限. 记作,2、分析定义：,无限接近于一个确定的常数,与前面的,无限接近于,时”，即当,与,的距离很小,当有一个很小的正数，,时. 又,不等于,，即,亦即当有一个正数,时.,2). “当,1).,意义一样.,很小时,亦即当,很小很小时，换句话说，,3.精确定义(“”) 函数(x)在x0 的某邻域内(可去心)有定义.,恒有| (x) A | 成立.,则称函数(x)当 xx0 时以A为极限.记为,几何意义,即在该去心邻域内对应的函数曲线一步y=f(x)介于这两条直线之间, 如下图.,o,x,y,A+,A,A,y=(x),可作两条直线 y = A及 y=A+.,则在x轴上总存在以 x为心, 为半径的去心,邻域,中所讨论的xx0 即x可从 x0 的左右,如,4. 函数(x)的左、右极限,(1).左极限的直观描述及精确定义(“”),当x 从 x0 左侧(小于)趋于x0 时 , (x)以A为极限. 则 A是(x)在 x0处的左极限. 记为,“”定义,则只能考察 x 从 0 的右侧趋于,0 时的极限. 因而必须引进左、右极限的概念.,两侧趋于x0 . 但有时可考察 x 仅从x0 的左侧或右侧趋近时函数(特别是分段函数在分段点处)的极限.,或,当,时，,恒成立.,(2).右极限的直观描述及精确定义(“”),当x从 x0 右侧(大于)趋于x0 时 , (x)以A为极限. 则 A是(x)在 x0 处的右极限. 记为,“”定义,(3).左极限和