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文档简介

例0-1 一阶梯轴如图0-1所示，右端受一轴向载荷P,已知：,试用有限元法求解该问题,解：（1） 结构离散化 变形分析：只有轴向变形，各断面位移相同。假定每个节点有1个轴向位移，用线段表示轴向变形单元。,1,3,2,1、2、3 节点号 、 单元号,、 、 节点自由度编号,、 、 节点载荷编号,已知量： 、 、 未知量： 、 、,将结构离散成由3个节点，2个单元构成的离散结构。,(2) 选择位移插值函数。 在结构中任取一个单元,i,j,在单元上取一局部参考系，i点为原点，由i点指向j点。 （ 方向为正方向）,i、j 单元节点（端点）编号,、 单元节点处位移编号,设单元内任一点x处（断面）的轴向位移为 假定 （1） 由位移连续性知： 在i点应有 （2）,将（2）、（4）代回（1）有, 单元长度 联立（2）（3）,在j点应有,（3）,解出：,（4）,按 和 合并同类项,有,进一步写成矩阵形式有,令, 形函数矩阵, 单元节点位移向量,则有,（3）单元分析 基于最小势能原理,最小势能原理简介：,定义：, 结构势能, 弹性应变能, 外力虚功,结构平衡的必要条件是： 取驻值（稳定平衡为极小值）,为应用最小势能原理，首先要计算结构的势能，分两部分：,1，弹性应变能 2，外力虚功,由于该结构所受外力非常简单，外力虚功可以表示为P与作用点位,移,的乘积,这里我们着重计算一下结构的弹性应变能：由于结构已经离散化成两个单元，整个结构的弹性应变能可以表示为2个单元弹性应变能之和，因而，单元分析的重要任务之一就是计算单元的弹性应变能。,单元弹性应变能的计算：,令,称单元刚度矩阵,则单元弹性应变能可以表示为,其中, 单元节点位移向量,对单元1来说有,对单元2来说,（4）整体分析,目的：计算整个结构的势能。,首先计算弹性应变能。结构已离散成2个单元，结构应变能,可以表示为2个单元应变能之和。, 结构整体刚度矩阵, 结构整体节点位移向量,结构外力虚功,未知,结构势能可以表示为,代入泛函数极值条件有,或,可以得到,移项有,简记为, 结构近似平衡方程,(5)约束处理,目的：引入边界条件，清除刚体位移，使方程有唯一解。,方法：代入已知位移。,因为,的第一行与第一列均与0相乘，可以在方程中将其划去。,简化成,方程可以降阶为,（6）方程求解：,但实际分析中划行划列不方便，通常采用对角线置1，非对角线置0,的处理方案将方程变成,说明 以上二种形式等价，但在计算机中实现时，后者更方便。,这一步，一般要求解大型代数方程组，只能借助于计算机,（7）单元应力计算,单元1,单
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