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第八节 函数的连续性与间断点,一、 函数的连续性,二、 函数的间断点,返回,一、函数的连续性,1.增量,设变量u从它的一个初值u1变到终值u2,终值与初值的差 u2-u1,叫做变量u的增量，记作u，即u = u2-u1,增量可以是正的，也可以是负的. 当u为正时，变量u 从u1变到u2=u1+u时是增大的；当u为负时，变量u从 u1变到u2=u1+u时是减小的.,2.连续,定义1 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果当自变 量的增量x=x-x0 趋于零时，对应的函数的增量 y=f(x0+x) - f(x0) 也趋于零，那末就称函数 y=f(x)在点x0连续.,定义2 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果 那么就称函数f(x)在点x0连续.,下面说明左连续与右连续的概念:,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续,如果区间包括端点,那么函数在 右端点连续是指右连续,在左端点连续是指左连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,我们曾经证明:,(2)有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的。,(1)有理整函数在区间 内是连续的,作为例子,我们来证明,函数y=sinx在区间 内是连续的,由三角公式有,返回,二、函数的间断点,1定义 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数 f(x)有下列三种情形之一： (1)在x=x0没有定义； (2)虽在x= x0有定义，但 不存在； (3)虽在x= x0有定义，且 存在,但 则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.,例1,例2,例3,例4,所以,x=1也称为该函数的可去间断点,例5 函数,因为y=f(x)的图形
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