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朱立永,北京航空航天大学 数学与系统科学学院,数值分析,Email: numerical_ Password:beihang2013 答疑时间：星期三下午2:005:00 答疑地点：主216,第七讲 矩阵特征值与特征向量的计算 -幂法和反幂法,第三章 矩阵特征值与特征向量的计算,特征值的应用背景,求系统的固有振动频率 求机械系统的振动频谱（模态） 系统的稳定性分析 物理学中的某些临界值的确定,常用的数值求特征值的方法,幂法与反幂法 Jacobi法 QR分解法 .,幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值1及其对应的特征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。,QR方法是一种变换方法，是计算一般(中小型)矩阵全部特征值问题的最有效方法之一.,Jacobi是一种求实对称矩阵A的全部特征值及其对应的特征向量的方法。特别适合于中小型对称矩阵。,幂法与反幂法,我们来看下面的一个过程：,任取一个非零的n维向量u0，从u0出发，按照如下的递推公式 ukAuk-1 产生的向量序列 uk，我们来分析这个序列的收敛情况。,假设实矩阵A具有n个线性无关的特征向量x1, x2, , xn 相应的特征值1, 2, , n满足| 1| 2|3|n|，于是存在不全为零的数组 1, 2, ,n,使得,当1 0时有,即 uk 可以近似的作为属于1的特征向量！,几点注记： 在上述假设条件下1必为实数； 如果10将会怎样？ 该方法的本质是 ukAku0，因此得名幂方法； 为防止 uk过大或过小，我们在每一步迭代中，对迭代向量单位化。,实际使用的迭代公式为：,于是可得,不同范数选取下的特征值的计算,1. 取范数为2范数时,对应的迭代公式,2. 取范数为范数时,对应的迭代公式,设uk(h1, h2, , hn)T，其模最大的分量为hr，令,1. A的最大特征值是m重时，幂方法仍然有效,2. 幂方法的收敛速度与|1/2|有关,反幂法,假设实矩阵A具有n个线性无关的特征向量x1, x2, , xn 相应的特征值 1, 2, , n 满足 | 1| 2| |3|n-1| |n|,对于 A-1 应用幂方法,取范数为2范数时的迭代公式,对应的迭代公式,同理，我们可以对(A-pI)-1用幂法称为带原点平移的幂法,取范数为2范数时的迭代公式,对应的迭代公式,类似地，我们可以对(A-pI)用幂法得到A的一
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