2019届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4二次函数性质的再研究与幂函数课件理北师大版20180510433.ppt

2.4 二次函数与幂函数,第二章 函数概念与基本初等函数,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x) . 顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为 . 零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点.,ax2bxc(a0),(m，n),知识梳理,(2)二次函数的图像和性质,2.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常量. (2)常见的5种幂函数的图像,yx,(3)常见的5种幂函数的性质,1.幂函数的图像和性质 (1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性. (2)幂函数的图像过定点(1,1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点. (3)当0时，yx在0，)上为增函数； 当0时，yx在(0，)上为减函数.,【知识拓展】,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是 .( ) (2)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数.( ) (3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( ) (4)函数y 是幂函数.( ) (5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.( ) (6)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数.( ),基础自测,1,2,3,4,5,6,1,2,4,5,6,答案,解析,3,1,2,4,5,6,答案,解析,3.已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内是减少的，则a的取值范围是 A.a3 B.a3 C.a3 D.a3,解析 函数f(x)x24ax的图像是开口向上的抛物线，其对称轴是 x2a， 由函数在区间(，6)内是减少的可知，区间(，6)应在直线 x2a的左侧， 2a6，解得a3，故选D.,3,几何画板展示,题组三 易错自纠 4.幂函数f(x) (aZ)为偶函数，且f(x)在区间(0，)上是减函数，则a等于 A.3 B.4 C.5 D.6,解析 因为a210a23(a5)22， f(x) (aZ)为偶函数， 且在区间(0，)上是减函数， 所以(a5)220，从而a4,5,6， 又(a5)22为偶数，所以只能是a5，故选C.,解析,1,2,4,5,6,3,答案,5.已知函数yax2bxc，如果abc且abc0，则它的图像可能是,解析 由abc0和abc知，a0，c0，排除C.,解析,1,2,4,5,6,答案,3,6.已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_.,解析,1,2,4,5,6,1,2,答案,解析 如图，由图像可知m的取值范围是1,2.,3,几何画板展示,题型分类 深度剖析,典例 (1)已知二次函数f(x)x2bxc满足f(0)3，对任意xR，都有f(1x)f(1x)成立，则f(x)的解析式为_.,题型一 求二次函数的解析式,师生共研,答案,解析,f(x)x22x3,解析 由f(0)3，得c3， 又f(1x)f(1x)， 函数f(x)的图像关于直线x1对称， 1，b2， f(x)x22x3.,(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值 1，则f(x)_.,解析,解析 设函数的解析式为f(x)ax(x2)， 所以f(x)ax22ax，由 1， 得a1，所以f(x)x22x.,答案,x22x,求二次函数解析式的方法,跟踪训练 (1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR且a0)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.,解析,解析 设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa， 由已知f(x)ax2bx1，a1， 故f(x)x22x1.,答案,x22x1,(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(a，bR)是偶函数，且它的值域为 (，4，则该函数的解析式f(x)_.,解析,解析 由f(x)是偶函数知f(x)图像关于y轴对称， a 即b2，f(x)2x22a2， 又f(x)的值域为(，4， 2a24，故f(x)2x24.,答案,2x24,命题点1 二次函数的图像 典例 (2017郑州模拟)对数函数ylogax(a0且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图像可能是,解析,题型二 二次函数的图像和性质,多维探究,答案,解析 当0a1时，ylogax为减函数，y(a1)x2x开口向下，,当a1时，ylogax为增函数，y(a1)x2x开口向上，,解析,命题点2 二次函数的单调性 典例 函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是减少的，则实数a的取值范围是 A.3,0) B.(，3 C.2,0 D.3,0,答案,解析 当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足题意.,解得3a0.综上，a的取值范围为3,0.,若函数f(x)ax2(a3)x1的递减区间是1，)，则a_.,解析 由题意知f(x)必为二次函数且a0，,3,解析,答案,命题点3 二次函数的最值 典例 已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，求实数a的值.,解答,解 f(x)a(x1)21a. (1)当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去； (2)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数， (3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.,将本例改为：求函数f(x)x22ax1在区间1,2上的最大值.,解 f(x)(xa)21a2， f(x)的图像是开口向上的抛物线，对称轴为xa.,解答,命题点4 二次函数中的恒成立问题 典例 (1)已知函数f(x)x2x1，在区间1,1上，不等式f(x)2xm恒成立，则实数m的取值范围是_.,解析 f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0， 令g(x)x23x1m， 要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立， 只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可. g(x)x23x1m在1,1上是减少的， g(x)ming(1)m1. 由m10，得m1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(，1).,(，1),解析,答案,(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数 a的取值范围为_.,解析 2ax22x30在1,1上恒成立. 当x0时，30，成立；,解析,答案,几何画板展示,解决二次函数图像与性质问题时要注意 (1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解). (3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.,跟踪训练 (1)设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图像可能是,解析,答案,解析 由A，C，D知，f(0)c0，从而由abc0，,由B知f(0)c0，,(2)已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值为_.,解析,1或3,答案,解析 由于函数f(x)的值域为1，)， 所以f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4， 当xR时，f(x)minf(a)a22a41， 即a22a30，解得a3或a1.,解析,答案,(3)设函数f(x)ax22x2，对于满足10，则实 数a的取值范围为_.,1.幂函数yf(x)经过点(3， )，则f(x)是 A.偶函数，且在(0，)上是增函数 B.偶函数，且在(0，)上是减函数 C.奇函数，且在(0，)上是减函数 D.非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数,题型三 幂函数的图像和性质,自主演练,答案,解析,2.若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图像如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 A.dcba B.abcd C.dcab D.abdc,解析,解析 由幂函数的图像可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图像越接近x轴，由题图知abcd，故选B.,答案,3.若(2m1) (m2m1) ，则实数m的取值范围是,解析,答案,解析 因为函数y 的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，,解2m1m2m1，得1m2，,(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴. (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键.,典例 (12分)设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值.,数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用,思想方法,思想方法指导,规范解答,思想方法指导 研究二次函数的性质，可以结合图像进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图像的影响，进行分类讨论.,解 f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR， 函数图像的对称轴为x1. 2分 当t11，即t0时，函数图像如图(1)所示， 函数f(x)在区间t，t1上为减函数， 所以最小值为f(t1)t21； 5分 当t1t1，即0t1时，函数图像如图(2)所示， 在对称轴x1处取得最小值，最小值为f(1)1；8分,规范解答,当t1时，函数图像如图(3)所示， 函数f(x)在区间t，t1上为增函数， 所以最小值为f(t)t22t2. 11分,课时作业,1.幂函数y (mZ)的图像如图所示，则m的值为,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,16,解析 y (mZ)的图像与坐标轴没有交点， m24m0，即0m4. 又函数的图像关于y轴对称且mZ， m24m为偶数，m2.,解析,答案,A.0 B.1 C.2 D.3,2.(2018江西九江七校联考)若幂函数f(x)(m24m4) 在(0，)上为增函数，则m的值为 A.1或3 B.1 C.3 D.2,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意得m24m41，m26m80， 解得m1.,解析,3.(2017汕头一模)若命题“ax22ax30恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是 A.a0或a3 B.a0或a3 C.a0或a3 D.0a3,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 若ax22ax30恒成立，则a0或 可得0a3， 故当命题“ax22ax30恒成立”是假命题时，a0或a3.,解析,4.已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0,2上是增函数，若f(a)f(0)，则实数a的取值范围是 A.0，) B.(，0 C.0,4 D.(，04，),解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意可知函数f(x)的图像开口向下，对称轴为x2(如图)， 若f(a)f(0)，从图像观察可知0a4.,5.已知二次函数f(x)2ax2ax1(af(x2) C.f(x1)f(x2) D.与a值有关,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又依题意，得x10，又x1x20， 当x1，x2在对称轴的两侧时，,当x1，x2都在对称轴的左侧时， 由单调性知f(x1)f(x2). 综上，f(x1)f(x2).,6.若关于x的不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是 A.(，2) B.(2，) C.(6，) D.(，6),解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max， 令f(x)x24x2，x(1,4)， 所以f(x)f(4)2，所以a2.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,PRQ,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.已知幂函数f(x)x，当x1时，恒有f(x)x，则的取值范围是_.,(，1),解析 当x1时，恒有f(x)1时，函数f(x)x的图像在yx的图像的下方， 作出幂函数f(x)x在第一象限的图像(图略)， 由图像可知1时满足题意.,解析,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,作出函数yx23x4的图像如图所示，,10.若f(x)x22ax与g(x) 在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是_.,解析 由f(x)x22ax在1,2上是减函数可得1,2a，)，a1.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(0,1,答案,故0a1.,11.已知yf(x)是偶函数，当x0时，f(x)(x1)2，若当x 时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为_.,解析 f(x)为偶函数， 当x0，f(x)f(x)(x1)2(x1)2，,解析,1,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,0f(x)1，m1，n0，(mn)min1.,12.已知函数f(x)x2(2a1)x3. (1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；,解 当a2时，f(x)x23x3，x2,3，,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1，求实数a的值.,解答,f(x)maxf(1)2a1， 2a11，即a1满足题意.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,13.已知在(，1上递减的函数f(x)x22tx1，且对任意的x1，x20，t1，总有|f(x1)f(x2)|2，则实数t的取值范围为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由于函数f(x)x22tx1的图像的对称轴为xt，函数f(x)x22tx1在区间(，1上是减少的， t1. 当x0，t1时，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(t)t22t21t21，要使对任意的x1，x20，t1，都有|f(x1)f(x2)|2，,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,14.当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_.,(，5,解析 方法一 不等式x2mx40对x(1,2)恒成