2019年高考数学专题五直线与圆、圆锥曲线第7讲圆锥曲线中的综合问题（二）梯度训练新人教A版.docx

第7讲圆锥曲线中的综合问题(二)选题明细表知识点方法巩固提高A巩固提高B定点、定值问题2,10,143,4最值问题3,7,12,13,171,6,7,8,9范围问题4,5,95,12存在性问题13综合问题1,6,8,11,15,162,10,11,14巩固提高A一、选择题1.M是抛物线y2=4x上一点,且在x轴上方,F是抛物线的焦点,以x轴的正半轴为始边,FM的倾斜角为60,则|FM|等于(C)(A)2(B)3(C)4(D)6解析:由题知F(1,0),设|FM|=2a,由点M向x轴作垂线,垂足为N,则|FN|=a,于是点M的横坐标x0=1+a.由M向准线作垂线,利用抛物线的定义,有|FM|=x0+1,即2a=1+a+1,所以a=2,从而|FM|=4.故选C.2.已知抛物线C:y2=16x,斜率为k的直线l与C交于A,B两点,且OAOB,O为坐标原点,则直线l恒过定点(C)(A)(8,0) (B)(4,0)(C)(16,0)(D)(6,0)解析:设直线l:x=my+b(b0),代入抛物线y2=16x,可得y2-16my-16b=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=16m,y1y2=-16b,所以x1x2=(my1+b)(my2+b)=b2,因为OAOB,所以x1x2+y1y2=0,可得b2-16b=0,因为b0,所以b=16,所以直线l:x=my+16,所以直线l恒过定点(16,0).所以C选项是正确的.3.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是该椭圆上的任意一点,则|PF1|PF2| 的最大值是(C)(A)9 (B)16 (C)25 (D)解析:根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10 ,根据基本不等式可知|PF1|PF2|()2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时,等号成立,所以最大值为25,故选C.4.已知a,b0,若圆x2+y2=b2与双曲线-=1有公共点,则该双曲线离心率的取值范围是(A)(A),+) (B)(1,(C)(1,) (D)(,2)解析:由圆x2+y2=b2与双曲线-=1有公共点,可知b2a2,即有c2-a2a2,即有c22a2.由e=,可得e.故选A.5.在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=2x-4,圆C的半径为1,圆心在直线l上,若圆C上存在点M,且M在圆D:x2+(y+1)2=4上,则圆心C的横坐标a的取值范围是(B)(A),2(B)0,(C)2-,2+(D)0,2-2+,4解析:点M既在圆C上,又在圆D上,所以圆C和圆D有公共点,圆C的圆心为(a,2a-4),半径为1,圆D的圆心为(0,-1) ,半径为2,则圆心距=,满足解得0a,故选B.6.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左,右焦点,点P为椭圆C上的动点,则PF1F2的重心G的轨迹方程为(C)(A)+=1(y0) (B)+y2=1(y0)(C)+3y2=1(y0) (D)x2+=1(y0)解析:依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),G(x,y),则由三角形重心坐标关系可得即代入+=1得重心G的轨迹方程为+3y2=1(y0).故选C.7.双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F,A,点P为双曲线C左支上一点,若APF周长的最小值为6b,则双曲线C的离心率为(B)(A) (B) (C) (D)解析:设双曲线的左焦点为F,AFP的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF|+2a,而|AP|+|PF|AF|,所以AFP周长的最小值是|AF|+|AF|+2a=2+2a=6b,解得7b=6a,49b2=36a249(c2-a2)=36a2=,解得,e=,故选B.8.过双曲线-=1(a0)的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围是(B)(A)(,5) (B)(,)(C)(1,) (D)(5,5)解析:令b=,c=,则双曲线的离心率为e=,双曲线的渐近线的斜率为.据题意,23.因为=,所以23,所以5e210,所以e0,x=4与x轴的交点记为M,设F1PM=,F2PM=,则=-,所以tan =tan(-)=,当且仅当y=时等号成立.所以30.答案:30三、解答题14.如图,在平面直角坐标系xOy中,点F(,0),直线l:x=-,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQFP,PQl.(1)求动点Q的轨迹C的方程;(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C上,TS是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时,弦长|TS|是否为定值?请说明理由.解:(1)依题意知,点R是线段FP的中点,且RQFP,所以RQ是线段FP的垂直平分线.因为点Q在线段FP的垂直平分线上,所以|PQ|=|QF|,又|PQ|是点Q到直线l的距离,故动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2=2x(x0).(2)弦长|TS|为定值.理由如下:取曲线C上点M(x0,y0),M到y轴的距离为d=|x0|=x0,圆的半径r=|MA|=,则|TS|=2=2,因为点M在曲线C上,所以x0=,所以|TS|=2=2是定值.15.已知点P(2,1)在椭圆+=1(ab0)上,且离心率e=.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线l交椭圆于A,B两点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,且,2,成等差数列,求AOB面积的最大值.解:(1)椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线l:x=ty+m,则有(t2+4)y2+2tmy+m2-8=0,由0得2t2-m2+80.因为k1+k2=4k1k2,所以+=4,化简得(2t-4)y1y2+(m-t+2)(y1+y2)-2m=0,又因为y1+y2=-,y1y2=,所以m2+(t+2)m+4t-8=0,解得m=2-t或m=-4,所以x=ty-4或x=t(y-1)+2(舍去),SAOB=|AB|d=|y2-y1|d=8,令u=t2-4,则SAOB=8=82,当且仅当u=8,即t=2时取“=”.设直线l:y=y0(y01),则有x1=-x2,由+=4,可得=4,得y0=0(不合题意舍去).综上,(SAOB)max=2.16.已知椭圆+=1(ab0)经过点P(-2,0)与点(1,1).(1)求椭圆的方程;(2)过P点作两条互相垂直的直线PA,PB,交椭圆于A,B.证明:直线AB经过定点;求ABP面积的最大值.解:(1)由+=1,+=1a2=4,b2=,所以椭圆的方程为+=1.(2)由对称性知,若存在定点,则必在x轴上,当kPA=1时,lPA:y=x+2,所以所以x2+3(x2+4x+4)=4x=-1.以下验证:定点为(-1,0),由题意知,直线PA,PB的斜率均存在,设直线PA的方程为y=k(x+2),A(xA,yA),B(xB,yB),则x2+3k2(x2+4x+4)=4xA=,yA=,同理xB=,yB=-,则=,得证.由于直线不与x轴平行,设直线AB方程为x=ty-1,SPAB=1|yA-yB|=,令=3,+),则t2=,所以SPAB=1,当且仅当=3,即t=0时取等号.即ABP面积的最大值为1.17.(2018温州二模)斜率为k的直线交抛物线x2=4y于A,B两点,已知点B的横坐标比点A的横坐标大4,直线y=-kx+1交线段AB于点R,交抛物线于点P,Q.(1)若点A的横坐标等于0,求|PQ|的值;(2)求|PR|QR|的最大值.解:(1)因为A(0,0),B(4,4),所以k=1,联立x2+4x-4=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则|PQ|=|x1-x2|=8.(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),R(xR,yR),AB的方程为y=kx+b,代入x2=4y,得x2-4kx-4b=0,因为xB-xA=4,所以k2=1-b,由xR=,联立x2+4kx-4=0,所以x1+x2=-4k,x1x2=-4,则|PR|QR|=-(1+k2)(x1-xR)(x2-xR)=-(1+k2)x1x2-xR(x1+x2)+=-(1+k2)(-4+2k2+)=-(k2-)2+,所以当k=时,|PR|QR|的最大值等于.巩固提高B一、选择题1.若椭圆+=1上有一动点P,圆E:(x-1)2+y2=1,过圆心E任意作一条直线与圆E交于A,B两点,圆F:(x+1)2+y2=1,过圆心F任作一条直线与圆F交于C,D两点,则+的最小值为(D)(A)3(B)4(C)5(D)6解析:=(+)(+)=(+)(-)=|2-1,同理=|2-1,所以+=|2+|2-2-2=-2=6(当且仅当|=|时,等号成立).故选D.2.已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右顶点分别为A,B,点F为双曲线C的左焦点,过点F作垂直于x轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C于P,Q两点,PB交y轴于点E,AE交QF于点M,若M是线段QF的中点,则双曲线C的渐近线方程为(A)(A)y=2x(B)y=x(C)y=3x(D)y=x解析:易得P(-c,),则kPB=,直线PB的方程为y=(x-a),令x=0可得yE=,则A(-a,0),E(0,),可得直线AE方程为+=1,令x=-c可得yM=,据此有=-,整理可得c=3a,所以=3,则双曲线C的渐近线方程为y=2x.故选A.3.如图,已知椭圆C1:+y2=1,曲线C2:y=x2-1与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于A,B两点,直线MA,MB分别与C1相交于D,E两点,则的值是(B)(A)正数(B)0(C)负数(D)皆有可能解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,-1),=(x1,y1+1),=(x2,y2+1).设直线l的方程为y=kx与抛物线方程联立整理为x2-kx-1=0, 所以x1+x2=k,x1x2=-1,=t=tx1x2+(y1+1)(y2+1)= tx1x2+y1y2+(y1+y2)+1=tx1x2+k2x1x2+k(x1+x2)+1=t-1-k2+k2+1=0(t0),故选B.4.双曲线x2-=1的左右焦点分别为F1和F2,P为右支上一点,且|=8,=0,则双曲线的离心率为(B)(A)3 (B)5 (C) (D)解析:|-|=2a=28-|=2,解得|=6,因为, |2+|2=|F1F2|2=82+62=100,解得4c2=100,c=5,e=5,故选B.5.已知曲线C:y=2x2,点A(0,-2)及点B(3,a),从点A观察点B,要使视线不被曲线C挡住,则实数a的取值范围是(D)(A)(4,+)(B)(-,4(C)(10,+)(D)(-,10)解析:过点A(0,-2)作曲线C:y=2x2的切线,设方程为y=kx-2,代入y=2x2得,2x2-kx+2=0,令=k2-16=0得k=4,由图当k=4时,切线为l,因为B点在直线x=3上运动,直线y=4x-2与x=3的交点为M(3,10),当点B(3,a)满足a0,y20)上,且APQ为正三角形,若满足条件的APQ唯一,则p=,此时APQ的面积为.解析:因APQ为正三角形,可知P,Q关于x轴对称,又满足条件的 APQ唯一,则直线AP(直线为y=(x+1)与抛物线相切,联立由=0可得p=,进而解得P(1,),Q(1,-),则SAPQ=.答案:11.过抛物线y2=2px(p0)上一定点P(x0,y0)(y00)作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),则当PA与PB的斜率都存在,且=-2时,直线PA与PB的斜率之和为.解析:设直线PA的斜率为kPA,PB的斜率为kPB,由=2px1,=2px0,两式相减得-=2p(x1-x0),得kPA=,同理kPB=.由=-2,得y1+y2=-2y0,故+=0,即kPA+kPB=0.故直线PA与PB的斜率之 和为0.答案:0三、解答题12.(2017衢州模拟)已知椭圆+=1(ab0)的长轴长为4,焦距为2,以A为圆心的圆(x-2)2+y2=r2(r0)与椭圆相交于B,C两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)求的取值范围;(3)设P是椭圆上异于B,C的任一点,直线PB,PC与x轴分别交于M,N,求SPOMSPON的最大值.解:(1)椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设B(x0,y0),则C(x0,-y0)且+=1,所以=(x0-2)2-=(x0-2)2-(1-)=-4x0+3=(x0-)2-.因为-2x0b0)的离心率是,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为2.(1)求椭圆E的方程;(2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得=恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知,点(,1)在椭圆E上,因此解得a=2,b=,所以椭圆E的方程为+=1.(2)当直线l与x轴平行时,设直线l与椭圆相交于C,D两点,如果存在定点Q满足条件,则有=1,即|QC|=|QD|,所以Q点在y轴上,可设Q点的坐标为(0,y0).当直线l与x轴垂直时,设直线l与椭圆相交于M,N两点,则M,N的坐标分别为(0,),(0,-),由=,有=,解得y0=1或y0=2,所以,若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点坐标只可能