2.1.1合情推理.ppt

第二章 推理与证明,2.1合情推理与演绎推理,2.2直接证明与间接证明,2.3数学归纳法,推理与证明,推理,证明,言之有理，论证有据！,第二章 推理与证明,类比推理,归纳推理,2.1.1 合情推理(归纳推理),4.北军不善水战,1.今夜恰有大雾,2.曹操生性多疑,3.弓弩利于远战,草船借箭必将成功,我们来推测诸葛亮“先生”的推理过程:,推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。,推理一般由两部分组成：前提和结论,已知的判断,新的判断,10 37 20 317 30 1317,引入1.数学皇冠上璀璨的明珠哥德巴赫猜想,哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现,铜能导电 铝能导电 金能导电 银能导电,一切金属都能导电.,三角形内角和 为 凸四边形内角 和为 凸五边形内角 和为,凸n边形内角和为,第一个数为2 第二个数为4 第三个数为6 第四个数为8,第n个数为2n.,部分 个别,蛇类是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的 海龟是用肺呼吸的 蜥蜴是用肺呼吸的,爬行动 物都是 用肺呼 吸的,整 体 一 般,引入2：,由某类事物的 具有某些特征, 推出该类事物的 都具有这些特征 的推理,或者由 概括出 的推理,称为归纳推理(简称归纳).,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,归纳推理,注意：（1）归纳是由部分到整体,从个别到一般的推理.,（4）所以归纳推理的一般步骤： 对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理； 提出带有规律性的结论，即猜想； 检验猜想,概括、推广,猜测一般性结论,（2）归纳推理的思维过程如下：,实验、观察,（3）归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料 分析的基础上，提出带有规律性的结论.所以结论未 必可靠，仅仅是一种猜想。,需证明,1，3，5，7，由此你猜想出第 个数是_.,这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.,你想起来了吗？,由上述具体事实能得出怎样的结论?,1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 ,由此猜想:前n个连续的奇数的和等于n的平方, 即:1+3+5+(2n-1)=n2,应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，,习 :观察下图,可以发现：,2.数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.,四棱柱,三棱锥,八面体,三棱柱,四棱锥,尖顶塔,让我们一起来归纳推理,四棱柱,6,8,12,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,12,8,6,八面体,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,12,8,6,八面体,6,9,5,三棱柱,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,12,8,6,八面体,6,9,5,三棱柱,5,5,8,四棱锥,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,12,8,6,八面体,6,9,5,三棱柱,5,5,8,四棱锥,9,16,9,尖顶塔,6,9,5,9,5,5,8,16,9,6,8,12,6,4,4,12,8,6,猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：,FVE2,欧拉公式,归纳推理的基础,归纳推理的作用,归纳推理,观察、分析,发现新事实、获得新结论,由部分到整体、 个别到一般的推理,注意,归纳推理的结论不一定成立,小结：,通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推 广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性 规律的重要方法,2.1.2 合情推理(类比推理),1.归纳推理的定义:,概括、推广,猜测一般性结论,简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。,2.归纳推理的思维过程如下：,具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实推演出一般性的结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).,实验、观察,复习,由某类事物的部分对象,3.归纳推理的一般模式:,S1具有P,S2具有P,Sn具有P,(其中S1,S2,Sn是A类事物的一些对象）,所以A类事物具有P, 检验猜想。, 提出带有规律性的结论，即猜想；, 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；,4.归纳推理的一般步骤:,1.从一个传说说起：春秋时代鲁国的鲁班，一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.,他的思路是这样的：,茅草是齿形的；,茅草能割破手.,我需要一种能割断木头的工具；,它也可以是齿形的.,可能有生命存在,有生命存在,温度适合生物的生存,一年中有四季的变更,有大气层,行星、围绕太阳运行、绕轴自转,火星,地球,火星上是否存在生命？,新课引入3,火星生命,仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.,这几个推理的过程是归纳推理吗？若不是，它与归纳推理有什么区别？,潜水艇,新课引入4,科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？,思考：,首先，,科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，,然后，,从地球的一个已知特征（有生命存在）出发， 猜测火星也可能具有这个特征。,即A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与a,b,c相似或相同）,所以B类事物可能具有性质d.,火星是否存在生命？,由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理. （简称类比）,三、类比推理,类比推理的特点:,1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠，但它却有发现的功能,2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.即类比推理是由特殊到特殊的推理,3.类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚 定义的相似特征，所以进行类比推理的关键是明确地 指出两类对象在某些方面类似的特征, 检验猜想。,观察、比较,联想、类推,猜想新结论,类比推理的一般步骤:, 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；, 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想；,即,发明行星三大运动定律的开普勒曾说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密”,在数学中，我们可以由已经解决的问题和已 经获得的知识出发，通过类比提出新问题和作出 新发现。,数学家波利亚曾指出：“类比是一个伟大的引 路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的 类比问题”,数,有限,相等,四面体,球,面,线,几何中常见的类比对象,三角形,圆,向量 无限 不等,代数中常见的类比对象,线,平面几何（二维）,立体几何（三维）,点,长度,面积,面积,体积,例1、试根据等式的性质猜想不等式()的性质。,等式的性质： (1) a=ba+c=b+c; (2) a=b ac=bc; (3) a=ba2=b2;,猜想不等式的性质：,(1) aba+cb+c;,(2) ab acbc;,(3) aba2b2;,问：这样猜想出的结论是否一定正确？,一个平面把空间分成两个部分,同一空间内两个平面无公共点，则它们互相平行,同一空间内垂直于同一个平面的两条平面平行,同一空间内平行于同一个平面的两个平面平行,正方体外接球与内切球的球心重合,正四面体外接球与内切球的球心重合,例2、类比下列平面图形的性质，写出空间图形的性质：,例题解析,例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比.,圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.,球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.,圆 弦 直径周长 面积,球,截面圆,大圆,表面积,体积,例如，圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心 的距离等于圆的半径。,对于球，我们类比推测：,可能存在这样的平面，与球,只交于一点，切点到球心的距离等于球的半径。,又如：平面内不共线的3点确定一个圆。,我们类比推测：,空间中不共面的4 个点确定一个球,圆的概念和性质,球的概念和性质,与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长.,以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的 圆的方程为(x-x0)2(y-y0)2=r2.,与球心距离相等的两截面圆面积相等;,与球心距离不等的两截面圆面积不等,距球心较近的截面圆面积较大.,球的体积,球的表面积,圆的周长,圆的面积,类比推理:利用圆的性质类比得出球的性质,圆心与弦(非直径)中点连线垂直于弦.,球心与截面圆(不经过球心的截面圆) 圆心连线垂直于截面圆.,以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.,例题4：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想。,？,c2=a2+b2,分析：,PEF的面积为S,下面证明猜想是否成立：,过D点作DMEF,垂足为M，连接PM，则PMEF,变式练习1：在三角形ABC中有结论：AB+BCAC，类似地在四面体P-ABC中有 .,P,S1,S2,S3,PAB的面积为S,图(1),图(2),练习3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论: 试通过类比,写出在空间中的类似结论.,A,B,C,P,pa,pb,pc,D,2、类比推理,由特殊到特殊的推理;,以旧的知识为基础,推测新的结果；,结论不一定成立.,1、归纳推理,由部分到整体、特殊到一般的推理;,以观察分析为基础,推测新的结论;,具有发现的功能;,结论不一定成立.,具有发现的功能;,比较两个推理：,5.传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用. 1.每次只能移动1个圆环； 2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了. 请你试着推测：把 个圆环从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?,1,2,3,游戏：河内塔（Tower of Hanoi）,解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.,当n=1时,a1=1,当n=2时,a2=,3,1,2,3,当n=1时,a1=1,当n=2时,a2=,3,解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.,当n=3时,a3=,7,当n=4时,a4=,15,猜想 an=,2n -1,1,2,3,费马,以后,人们又陆续发现 不是质数.至今这样的反例共找到了46个,却还没有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数.,四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。 四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”,1.定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图 中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B) 所对应的运算结果可能是 ( ) A.B*D,A*D B.B*D,A*C C.B*C,A*D D.C*D,A*D,解析 由（1）（2）（3）（4）图得A表示|，B表 示，C表示，D表示，故图（A）（B）表示 B*D和A*C. 答案 B,2.考察下列一组不等式： 23+53225+252, 24+54235+253, 25+552352+2253,. 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下 加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的 特例，则推广的不等式可以是 2m+n+5m+n2m5n+2n5m(m,n为正整数).,3.（2009江苏，8）在平面上，若两个正三角形 的边长比为12，则它们的面积比为14，类 似地，在空间中,若两个正四面体的棱长比为 12,则它们的体积比为 . 解析 两个正三角形是相似的三角形，它 们的面积之比是相似比的平方.同理，两个正四 面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的 立方，所以它们的体积比为18.,18,4.现有一个关于平面图形的命题： 如图所示，同一个平面内有两个 边长都是a的正方形,其中一个的 某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的 面积恒为 .类比到空间,有两个棱长均为a的正方 体，其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正 方体重叠部分的体积恒为 . 解析 在已知的平面图形中，中心O 到两边的距离相等（如右图），即 OM=ON.,四边形OPAR是圆内接四边形，所以RtOPNRtORM， 因此S四边形OPAR=S正方形OMAN= . 同样地，类比到空间，如下图. 两个棱长均为a的正方体重叠部分的体积为 .,答案,5.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比, 试由“平行四边形对边相等”得出平行六面体的 相关性质. 解 如图所示， 由平行四边形的性质可知AB=DC，AD=BC， 于是类比平行四边形的性质, 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，,我们猜想： SA