高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积课件2北师大版必修.ppt

2.5 从力做的功到向量的数量积,【知识提炼】 1.向量的夹角与投影 (1)夹角 定义：已知两个非零向量a和b，作 =a, =b,则_叫作向量a与b的夹角； 范围：_；,AOB=,0180,大小与向量共线、垂直的关系：=,0a与b_， 180a与b_， 90a_b.,同向,反向,(2)投影 定义：如图所示： =a， =b，过点B作BB1垂直于直线 OA，垂足为B1，则OB1=_. _叫做向量b在a 方向上的投影数量(简称投影).,|b|cos ,|b|cos ,大小与夹角的关系：,|b|,正值,0,负值,-|b|,2.向量的数量积 (1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为，我们把_叫作a与b的数量积(或内积)，记作_，即 ab= _.,|a|b|cos ,ab,|a|b|cos ,(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上投影 _的乘积，或b的长度_与a在b方向上投影 _的乘积. (3)物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移 s的数量积_.,|b|cos ,|b|,|a|cos ,Fs,(4)性质： 若e是单位向量，则ea=ae= _； ab_；(其中a,b为非零向量); |a|= cos =_(|a|b|0)； 对任意两个向量a,b,有 |ab|_|a|b|.,|a|cos ,ab=0,(5)运算律： 交换律：ab=_. 结合律：(a)b= _= _. 分配律：a(b+c)=_.,ba,(ab),a(b),ab+ac,【即时小测】 1.思考下列问题: (1)向量的夹角与直线的倾斜角的范围相同吗? 提示:不相同.向量的夹角范围为0,而直线的倾斜角范围为0,). (2)影响数量积的大小的因素有哪些? 提示:影响数量积的大小的因素有向量的模及其夹角的大小.,2.若e1,e2是两个平行的单位向量,则下面结果正确的是 ( ) A.e1e2=1 B.e1e2=-1 C.|e1e2|=1 D.e1e21 【解析】选C.由于e1,e2是两个平行的单位向量,设其夹角为,则|cos|=1,所以|e1e2|=|cos|=1.,3.若ab0,则a与b的夹角的取值范围是 ( ) 【解析】选A.因为ab0,所以cos0,所以 .,4.若e1,e2是夹角为 的单位向量,且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则ab等于 ( ) A.1 B.-4 C.- D.,【解析】选C.ab=(2e1+e2)(-3e1+2e2) = =-6|e1|2+|e1|e2|cos +2|e2|2 =-612+11 +212=- .,5.已知|a|=5,|b|=6,若ab,则ab=_. 【解析】由ab,可知a与b的夹角为0或,故ab=30. 答案:30,【知识探究】 知识点1 向量的数量积 观察如图所示内容,回答下列问题:,问题1:向量的数量积可正、可负、可为零,其决定因素是什么? 问题2:向量数量积ab中的“”能否省去?,【总结提升】 1.数量积的写法及与实数乘积的区别 两向量a,b的数量积也称作内积,写成ab,其应与代数中的a,b的乘积ab区分开来,其中“”是一种运算符号,不同于实数的乘法符号.在向量运算中既不能省略,也不能用“”代替.,2.数量积运算的结果 (1)向量线性运算的结果是一个向量,但两个向量的数量积是一个数量. (2)由于0180,所以ab可以为正数、负数和零,且当00;当=90时,ab=0;当90180时,ab0.,(3)若a为零向量,则|a|=0,从而ab=0,故零向量与任一向量的数量积为0. (4)aa=a2=|a|2. (5)两个单位向量的数量积等于它们的夹角的余弦值.,知识点2 数量积的性质及运算律 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:向量的数量积有什么重要的性质? 问题2:数量积与实数乘积有什么差异?,【总结提升】 1.数量积五条性质的应用 性质(1)可以帮助理解数量积的几何意义; 性质(2)可以解决有关垂直的问题; 性质(3)可以求向量的长度; 性质(4)可以求两向量的夹角; 性质(5)可以解决有关不等式的问题,当且仅当ab时,等号成立.,2.数量积运算遵循的运算律及常用公式 (1)遵循的运算律:数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律,不适合乘法结合律,即(ab)c不一定等于a(bc).这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量,而a(bc)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.,(2)常用公式及注意点: (a+b)(a-b)=|a|2-|b|2; (a+b)2=|a|2+2ab+|b|2; (a-b)2=|a|2-2ab+|b|2. 注意:|a|2=aa,|b|2=bb.,【题型探究】 类型一 平面向量数量积的概念及运算 【典例】1.|a|=2,向量a与向量b的夹角为120,则向量a在向量b方向上的射影等于 ( ) A.2 B.120 C.-1 D.由向量b的长度确定 2.已知|a|=3,|b|=6,当(1)ab,(2)ab,(3)a与b的夹角是60时,分别求ab,a(a+b).,【解题探究】1.向量a在向量b方向上的射影公式是什么? 提示:|a|cos. 2.ab时,两向量的夹角是多少? 提示:若a与b同向,则它们的夹角=0,若a与b反向,则它们的夹角=180.,【解析】1.选C.根据平面向量数量积的几何意义可知|a|cos120=2 =-1. 2.(1)当ab时,若a与b同向,则它们的夹角=0, 所以ab=|a|b|cos0=361=18, a(a+b)=a2+ab=9+18=27. 若a与b反向,则它们的夹角=180, 所以ab=|a|b|cos180=36(-1)=-18, a(a+b)=a2+ab=9-18=-9.,(2)当ab时,它们的夹角=90, 所以ab=0,a(a+b)=a2=9. (3)当a与b的夹角是60时, 有ab=|a|b|cos60=36 =9. a(a+b)=a2+ab=18.,【方法技巧】 1.求平面向量数量积的流程,2.形如(ma+nb)(ka+lb)的运算技巧及注意点 (1)技巧:类似于实数多项式的运算,将运算转化为向量a,b的数量积运算. (2)注意点:a与b的数量积不可书写或认为是ab, a2=|a|2的应用.,【拓展延伸】数量积运算时的两个注意点 (1)要找准两向量的夹角. (2)注意向量数量积的运算律的应用.,【变式训练】已知正三角形ABC的边长为1.求:,【解析】(1) 的夹角为60, 所以 (2)因为 的夹角为120, 所以,类型二 利用数量积求向量的模 【典例】已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为 .求|a+b|,|a-b|. 【解题探究】联想到|a|2=a2,要求|a+b|,|a-b|,应先求什么? 提示:应求|a+b|2与|a-b|2,进而可知先求ab.,【解析】方法一:由题意可得ab=|a|b|cos=55 因为|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab =25+25+2 =75, 所以|a+b|=5 . 同理因为|a-b|2=|a|2+|b|2-2ab=25, 所以|a-b|=5.,方法二:由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD,使AB=AD=5, 设 如图, 则,【延伸探究】 1.(改变问法)本例的条件不变求|3a+b|. 【解析】由题意可得ab=|a|b|cos=55 因为|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+b2+6ab=325. 所以|3a+b|=5 .,2.(变换条件)本例的已知条件若改为“|a|=|b|=5,且|3a-2b|=5”,如何求|3a+b|的值?,【解析】因为|3a-2b|2=9|a|2-12ab+4|b|2 =925-12ab+425=325-12ab, 又因为|3a-2b|=5, 所以325-12ab=25,即ab=25. 所以|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+6ab+b2 =925+625+25=400. 所以|3a+b|=20.,【方法技巧】求向量的模的常用思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用 a2=|a|2,勿忘记开方. (2)aa=a2=|a|2或|a|= ,此性质可用来求向量的模,可以实现实 数运算与向量运算的相互转化. (3)一些常见的等式应熟记,如(ab)2=a22ab+b2,(a+b)(a-b) =a2-b2等.,【补偿训练】已知向量a与b的夹角为120,且|a|=4,|b|=2,求: (1)|a+b|. (2)|3a-4b|.,【解析】ab=|a|b|cos=42cos120=-4. (1)因为|a+b|2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2 =42+2(-4)+22=12, 所以|a+b|=2 . (2)因为|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24ab+16b2 =916-24(-4)+164=304, 所以|3a-4b|=4 .,【延伸探究】 1.(变换条件)本例条件变为“已知向量a与b的夹角为120,且 |a|=4,|a+b|=2 ”,求|b|.,【解析】因为ab=|a|b|cos=4|b|cos120=-2|b|. 所以|a+b|2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2 =16-4|b|+|b|2. 因为|a+b|=2 ,即|a+b|2=12, 所以16-4|b|+|b|2=12. 解得|b|=2.,2.(改变问法)若本例删去条件“已知向量a与b的夹角为120,”求|a+b|的取值范围. 【解析】设向量a与b的夹角为,则 ab=|a|b|cos=42cos=8cos. |a+b|2=a2+2ab+b2=42+28cos+22=20+16cos. 因为0,所以cos-1,1, 所以|a+b|24,36, 则|a+b|2,6.,类型三 向量的夹角或垂直 【典例】1.已知|a|=1,|b|=4,(a-b)(a+2b)=-29,则a与b夹角=_. 2.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7.求a与b的夹角.,【解题探究】1.典例1中,若求a与b的夹角,还需要什么? 提示:需要利用(a-b)(a+2b)=-29求出ab. 2.要求a与b的夹角,关键是先求哪些量? 提示:关键是先求ab.,【解析】1.因为(a-b)(a+2b)=|a|2+ab-2|b|2=1+ab-32 =-31+ab, 所以-31+ab=-29, 所以ab=2,所以 又因为0,所以= . 答案:,2.因为a+b+c=0, 所以a+b=-c,所以|a+b|=|c|. 所以(a+b)2=c2, 即a2+2ab+b2=c2. 所以ab=,又因为ab=|a|b|cos, 所以 =35cos. 即cos= ,因为0,所以= .,【延伸探究】典例2中若条件不变,是否存在实数使a+b与a-2b垂直?存在,求出值,不存在,说明理由. 【解析】假设存在实数使a+b与a-2b垂直. 可得(a+b)(a-2b)=0. 即a2-2b2-2ab+ab=0. 所以9-225-2 解得=- . 所以存在=- ,使得a+b与a-2b垂直.,【方法技巧】 1.求向量夹角的解题流程及注意事项 (1)解题流程:,(2)注意事项 在个别含有|a|,|b|与ab的等量关系式中,常利用消元思想计算cos的值. 2.求cos的两种情形 (1)求出ab,|a|,|b|的值代入公式计算. (2)得到ab,|a|,|b|之间的关系代入公式计算.,3.两向量垂直的确定与应用 (1)确定:通常利用两向量垂直的充要条件,即计算ab是否为0. (2)应用:若ab,则ab=0可求其中参数的值.,【变式训练】(2015重庆高考)若非零向量a,b满足 且 则a与b的夹角为 ( ) 【解题指南】解答本题可以根据相互垂直的向量的数量积为零进行计算,然后求出夹角.,【解析】选A.设a与b的夹角为, 因为 所以 解得cos= ,因为0, ,所以= .,【补偿训练】1.已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角. 【解题指南】由(a+3b)(7a-5b)=0及(a-4b)(7a-2b)=0建立ab与b2以及|a|与|b|的等量关系,可求a与b的夹角.,【解析】由已知得(a+3b)(7a-5b)=0, 即7a2+16ab-15b2=0 (a-4b)(7a-2b)=0, 即7a2-30ab+8b2=0 ,两式相减得2ab=b2,所以ab= b2, 代入,中任一式得a2=b2,设a,b的夹角为, 则 因为0180,所以=60.,2.设n和m是两个单位向量,其夹角是60,求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.,【解析】m和n是两个单位向量,其夹角是60, 所以mn=|m|n|cos60= , 设a=2m+n与b=2n-3m的夹角为, 所以 因为0180,所以=120. 即a=2m+n与b=2n-3m的夹角为120.,易错案例 根据向量的夹角求范围 【典例】设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角