2019秋高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式评估验收卷（三）（含解析）新人教A版.docx

评估验收卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设xy0，则的最小值为()A9B9C10D0解析：9.答案：B2学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5 元、3 元、2 元的奖品，则至少要花()A300 元 B360 元 C320 元 D340 元解析：由排序原理，反序和最小所以最小值为502403205320(元)答案：C3锐角三角形ABC中，设P，Qacos Cbcos Bccos A，则P，Q的大小关系为()APQ BPQCPQ D不能确定解析：不妨设ABC，则abc，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)，Qacos Cbcos Bccos Abcos Accos Bacos CR(2sin Bcos A2sin Ccos B2sin Acos C)，上面两式相加，得Qacos Cbcos Bccos AR(2sin Acos B2sin Bcos A2sin Bcos C2sin Ccos B2sin Ccos A2sin Acos C)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sin Csin Asin B)P(R为锐角三角形ABC的外接圆的半径)答案：C4已知3x22y21，则3x2y的取值范围是()A0， B，0C， D5，5解析：因为(3x22y2)()2()2(xy)2(3x2y)2，即5(3x22y2)(3x2y)2(当且仅当xy时等号成立)，又3x22y21，所以(3x2y)25，所以3x2y.答案：C5设a，b，c为正数，则(abc)的最小值为()A54 B9C121 D8解析：因为a，b，c为正数，所以(abc)()2()2()2(236)2121.当且仅当a2，b3，c6时取等号答案：C6已知半圆的直径AB2R，P是弧AB上一点，则2|PA|3|PB|的最大值是()A.R B.RC2R D4R解析：由2|PA|3|PB| 2R.答案：C7函数f(x)cos x，则f(x)的最大值是()A. B.C1 D2解析：f(x)cos x.又(cos x)2(21)(sin2 xcos2 x)3，所以f(x)的最大值为.答案：A8已知xxx1，yyy2，则x1y1x2y2x3y3的最大值是()A2 B3 C. D.解析：因为xxx1，yyy2，所以(x1y1x2y2x3y3)2(xxx)(yyy)122，所以x1y1x2y2x3y3.当时，取“”，故选C.答案：C9已知x，y，z0，且1，则x的最小值是()A5 B6 C8 D9解析：x9.所以9.故应选D.答案：D10设a1，a2，a3为正数，则与a1a2a3大小为()A B C D解析：不妨设a1a2a30，于是，a2a3a3a1a1a2，由排序不等式：顺序和乱序和，得a2a3a3a1a1a2a3a1a2.即a1a2a3.答案：B11已知x，y，a，b为正数，且ab10，1，xy的最小值为18，则a，b的值分别为()Aa2，b8Ba8，b2Ca2，b8或a8，b2Da2，b2或a8，b8解析：因为xy(xy)()2ab218.又ab10，所以ab16.所以a2，b8或a8，b2.答案：C12设c1，c2，cn是a1，a2，an的某一排列(a1，a2，an均为正数)，则的最小值是()An B.C. D2n解析：不妨设0a1a2an，则，是，的一个排列再利用排序不等式的反序和乱序和求解，所以n，当且仅当a1a2an时等号成立故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已知a，b，c为非零实数，则(a2b2c2)的最小值为_解析：由(a2b2c2)9，所以所求最小值为9.答案：914设a，b0，若a2b25，则a2b的最大值为_解析：(1222)(a2b2)(a2b)2，即25(a2b)2.所以(a2b)max5.答案：515已知x，y，z(0，)，xyz9，则的最大值是_解析：()2(121212)(xyz)3927.所以3.答案：3 16设x，y，zR，若x2y2z24，则x2y2z的最小值为_解析：由柯西不等式，得(x2y2z2)12(2)222(x2y2z)2，故(x2y2z)24936.当且仅当k，k时，上式取得等号当k时，x2y2z取得最小值6.答案：6三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在ABC中，ha，hb，hc为边a，b，c上的高，求证：asin Absin Bcsin Chahbhc.证明：不妨设abc，则对应的角ABC，A，B，C(0，)，所以sin Asin Bsin C.由排序原理得asin Absin Bcsin Casin Bbsin Ccsin A.在ABC中，asin Bhc，bsin Cha，csin Ahb，所以asin Absin Bcsin Chahbhc.18(本小题满分12分)已知a，b，c，dR，且abc1，求证：3.证明：根据柯西不等式，有()2(111)(3a13b13c1)18，所以3.19(本小题满分12分)设a，b，c都是正实数，求证：aabbcc(abc).证明：不妨设abc0，则lg alg blg c，据排序不等式，有alg ablg bclg c blg aclg balg c，alg ablg bclg cclg aalg bblg c，且alg ablg bclg calg ablg bclg c，以上三式相加整理，得3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)，即lg(aabbcc)lg(abc)故aabbcc(abc).20(本小题满分12分)试求函数f(x)3cos x4的最大值解：设m(3，4)，n(cos x, )，则f(x)3cos x4|mn|m|n|5，当且仅当mn时，上式取“”此时，34cos x0.解得sin x，cos x.故当sin x，cos x时f(x)3cos x4取最大值5.21(本小题满分12分)(1)已知：a，bR，ab4，证明：1；(2)已知：a，b，cR，abc9，证明：1；并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论(不需证明)证明：(1)根据柯西不等式：(ab)4，因为ab4，所以1.(2)根据柯西不等式：(abc)()29，因为abc9，所以1.可以推广：若a1a2ann2，则1.22(本小题满分12分)已知a，b，c为实数，且abc22m0，a2b2c2m10.(1)求证：a2b2c2；(2)