2020版高考数学第三章三角函数、解三角形第六节解三角形学案文（含解析）新人教A版.docx

第六节解三角形2019考纲考题考情1正弦定理2R其中2R为ABC外接圆直径。变式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC。abcsinAsinBsinC。2余弦定理a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC。变式：cosA；cosB；cosC。sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA。3解三角形(1)已知三边a，b，c。运用余弦定理可求三角A，B，C。(2)已知两边a，b及夹角C。运用余弦定理可求第三边c。(3)已知两边a，b及一边对角A。先用正弦定理，求sinB，sinB。A为锐角时，若absinA，无解；若absinA，一解；若bsinAab，一解。(4)已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边。4三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高)。(2)SabsinCacsinBbcsinA。(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)。在ABC中，常有以下结论：1ABC。2任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。3sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；tan(AB)tanC；sincos；cossin。4三角形中的射影定理在ABC中，abcosCccosB；bacosCccosA；cbcosAacosB。一、走进教材1(必修5P10A组T4改编)在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC()ABCD解析因为在ABC中，设ABc5，ACb3，BCa7，所以由余弦定理得cosBAC，因为BAC为ABC的内角，所以BAC。故选C。答案C2(必修5P24A组T6改编)如图，设点A，B在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出A，C两点间的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点间的距离为()A mB25 mC50 mD50 m解析在ABC中，ABC30，由正弦定理得，即，所以AB50(m)，故选C。答案C二、走近高考3(2018全国卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB()A4BCD2解析因为cosC2cos21221，所以c2a2b22abcosC12521532，所以c4。故选A。答案A4(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知sinBsinA(sinCcosC)0，a2，c，则C()ABCD解析因为sinBsinA(sinCcosC)0，所以sin(AC)sinAsinCsinAcosC0，所以sinAcosCcosAsinCsinAsinCsinAcosC0，整理得sinC(sinAcosA)0，因为sinC0，所以sinAcosA0，所以tanA1，因为A(0，)，所以A，由正弦定理得sinC，因为0Cb，则AB，所以B为锐角，故B45。答案456在ABC中，a2，b3，C60，则c_，ABC的面积等于_。解析易知c，ABC的面积等于23。答案7在ABC中，角A，B，C满足sinAcosCsinBcosC0，则三角形的形状为_。解析由已知有cosC(sinAsinB)0，所以有cosC0或sinAsinB，解得C90，或AB。答案直角三角形或等腰三角形第1课时正弦定理和余弦定理考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】(2018天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知bsinAacos。(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值。解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB，又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，可得tanB。又因为B(0，)，可得B。(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accosB7，故b。由bsinAacos，可得sinA。因为ab，则B()ABCD(2)(2019河南郑州质量预测)在ABC中，ABC90，延长AC到D，使得CDAB1，若CBD30，则AC_。解析(1)由正弦定理得，sinAsinBcosCsinCsinBcosAsinB，因为sinB0，所以sinAcosCsinCcosA，即sin(AC)，所以sinB。已知ab，所以B不是最大角，所以B。(2)设ACx(x0)，在BCD中，由正弦定理得，所以BD2sinBCD，又sinBCDsinACB，所以BD。在ABD中，(x1)2122cos(9030)，化简得x22x，即x32，故x，故AC。答案(1)A(2)考点二判断三角形形状【例2】(1)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状是()A直角三角形B等腰非等边三角形C等边三角形D钝角三角形(2)已知ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2c，则ABC的形状是()A等边三角形B锐角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形解析(1)因为，所以。所以bc。又(bca)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cosA。因为A(0，)，所以A。所以ABC是等边三角形。(2)因为2c，所以由正弦定理可得2sinC，而22，当且仅当sinAsinB时取等号。所以2sinC2，即sinC1。又sinC1，故可得sinC1，所以C90。又因为sinAsinB，所以AB。故三角形为等腰直角三角形。故选C。答案(1)C(2)C判断三角形形状的两种思路1化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。2化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状。此时要注意应用ABC这个结论。【变式训练】(2019山西太原五中模拟)在ABC中，sin2(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则ABC的形状为()A直角三角形B等边三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析由cosB12sin2得sin2，所以，即cosB。由余弦定理得，即a2c2b22a2，所以a2b2c2。所以ABC为直角三角形，又无法判断两直角边是否相等。故选A。解析：由正弦定理得cosB，又sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，所以cosBsinCsinBcosCcosBsinC，即sinBcosC0，又sinB0，所以cosC0，又角C为三角形的内角，所以C，所以ABC为直角三角形，又无法判断两直角边是否相等。故选A。答案A考点三三角形的面积问题【例3】(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知sinAcosA0，a2，b2。(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积。解(1)由已知条件可得tan A，A(0，)，所以A，在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240，解得c6(舍去)，或c4。(2)如图，由题设可得CAD，所以BADBACCAD，故ABD面积与ACD面积的比值为1，又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为。解法一：由余弦定理得cosC，在RtACD中，cosC，所以CD，所以AD，DBCD，所以SABDSACD2sinC。解法二：BAD，由余弦定理得cosC，所以CD，所以AD，所以SABD4sinDAB。解法三：过B作BE垂直AD，交AD的延长线于E，在ABE中，EAB，AB4，所以BE2，所以BECA，从而可得ADCEDB，所以BDDC，即D为BC中点，所以SABDSABC24sinCAB。三角形面积公式的应用原则1对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式。2与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化。【变式训练】(1)(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知bsinCcsinB4asinBsinC，b2c2a28，则ABC的面积为_。(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanBbtanA2ctanB，且a5，ABC的面积为2，则bc的值为_。解析(1)因为bsinCcsinB4asinBsinC，由正弦定理得2R，可得sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC，因为B，C(0，)，所以sinBsinC0，即4sinA2，sinA，又b2c2a282bccosA0，所以A且bc，则SABCbcsinA。(2)由正弦定理及btanBbtanA2ctanB，得sinBsinB2sinC，因为B(0，)，所以sinB0，即cosAsinBsinAcosB2sinCcosA，亦即sin(AB)2sinCcosA，故sinC2sinCcosA。因为sinC0，所以cosA，A(0，)，所以A。由面积公式，知SABCbcsinA2，所以bc8。由余弦定理，知a2b2c22bccosA(bc)23bc，代入可得bc7。答案(1)(2)71(配合例1使用)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sincos。(1)求cosB的值；(2)若b2a2ac，求的值。解将sincos两边同时平方得，1sinB，得sinB，故cosB，又sincos0，所以sincos，所以，所以B，故cosB。(2)由余弦定理得b2a2c22accosBa2ac，所以ac2acosBca，所以ca，故。2(配合例1使用)如图所示，在ABC中，B，D为边BC上的点，E为AD上的点，且AE8，AC4，CED。(1)求CE的长；(2)若CD5，求cosDAB的值。解(1)因为AEC，所以在AEC中，由余弦定理得AC2AE2CE22AECEcosAEC，所以16064CE28CE，所以CE28CE960，所以CE4(负值舍去)。(2)在CDE中，由正弦定理得，所以5sinCDE4，所以sinCDE，因为点D在边BC上，所以CDEB，而ADC，且ADC45，所以ACB150，在ABC中，由余弦定理得AB21236226cos15084，所以AB2。(2)在ACD中，因为ACB150，ADC45，所以CAD105，由正弦定理得，所以CD3，又ACD18015030，所以SACDACCDsinACD2(3)。第2课时解三角形的综合应用考点一三角形的实际应用【例1】如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到：CD2，CE2，D45，ACD105，ACB48.19，BCE75，E60，则A，B两点之间的距离为_。解析依题意知，在ACD中，CAD30，由正弦定理得AC2，在BCE中，CBE45，由正弦定理得BC3。因为在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB10，所以AB。答案利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤1分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图。2建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型。3求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解。4检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。【变式训练】如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角ABC120；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角ADC150；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为_米。解析在ABD中，BD400米，ABD120。因为ADC150，所以ADB30。所以DAB1801203030。由正弦定理，可得，所以，得AD400(米)。在ADC中，DC800米，ADC150，由余弦定理得AC2AD2CD22ADCDcosADC(400)280022400800cos150400213，解得AC400(米)。故索道AC的长为400米。答案400考点二解三角形与三角函数的综合应用【例2】(2019辽宁五校联考)已知函数f(x)cos2xsin(x)cos(x)。(1)求函数f(x)在0，上的单调递减区间；(2)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)1，a2，bsinCasinA，求ABC的面积。解(1)f(x)cos2xsinxcosxsin2xsin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，又x0，所以函数f(x)在0，上的单调递减区间为和。(2)由(1)知f(x)sin，所以f(A)sin1，因为ABC为锐角三角形，所以0A，所以2A，所以2A，即A。又bsinCasinA，所以bca24，所以SABCbcsinA。解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：(1)利用三角恒等变形化简三角函数式进行解三角形。(2)解三角形与三角函数图象与性质的综合应用。【变式训练】(2019湖南湘东五校联考)已知函数f(x)sin2xcos2x。(1)求f(x)的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合；(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c，f(C)0，若sinB2sinA，求a，b的值。解(1)f(x)sin2xsin2x1sin1。当2x2k，即xk(kZ)时，f(x)的最小值为2，此时自变量x的集合为。 (2)因为f(C)0，所以sin10，又0C0，所以A。于是sinAsinCsinAsinsinAcos2A2sin2AsinA122。因为0A，所以0sinA，因此0，c0，所以1，则4ac(4ac)552 9，当且仅当c2a时取等号，故4ac的最小值为9。(2)因为，所以(2cb)，由正弦定理得sinBsinAcosB(2sinCsinB)sinBcosA，又sinB0，所以sinAcosB(2sinCsinB)cosA，所以sinAcosBsinBcosA2sinCcosA，sin(AB)2sinCcosA，即sinC2sinCcosA，又sinC0，所以cosA，sinA。设外接圆的半径为r，则r1，由余弦定理得bcb2c2a2b2c2(2rsinA)2b2c232bc3(当且仅当bc时，等号成立)，所以bc3，所以SABCbcsinAbc。答案(1)9(2)1.(配合例3使用)如图，在ABC中，B，AB8，点D在边BC上，且CD2，cosADC。(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长。解(1)在ADC中，因为cosADC，所以sinADC，则sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB。(2)在ABD中，由正弦定理得BD3。在ABC中，由余弦定理得AC2AB2CB22ABBCcosB825228549，即AC7。2(配合例4使用)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosCccosAbsinB，A，如图，若点D是ABC外一点，DC2，DA3，则当四边形ABCD面积最大时，sinD_。解析由acosCccosAbsinB及余弦定理得acbsinB，即bbsinBsinB1B，又CAB，所以ACB。BCa，则ABa，AC2a，则SABCaaa2。在ACD中，cosD，所以a2。又SACDADCDsinD3sinD，所以S四边形ABCDSABCSACDa23sinD3sinD3sinDcosDsin(D)，所以当D，即D时，S四边形ABCD最大，此时sinDsincos。答案纵观近几年的高考试题和高考模拟试题，不难发现在三角函数和三角形中求最值问题成为其中一个亮点，本文从求三角函数的最值、三角形中的最值两个方面举例说明，希望对高考备考有所帮助。类型一三角函数的最值1.可化为“yAsin(x)B”型的最值问题【例1】(2018北京高考)已知函数f(x)sin2xsinxcosx。(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值。解(1)f(x)cos2xsin2xsin。所以f(x)的最小正周期为T。(2)由(1)知f(x)sin。由题意知xm。所以2x2m。要使得f(x)在上的最大值为，即sin在上的最大值为1。所以2m，即m。所以m的最小值为。化为yAsin(x)B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值。【变式训练】函数f(x)3sinx4cosx，x0，的值域为_。解析f(x)3sinx4cosx55sin(x)，其中cos，sin，00时，t1时，y取最小值，ymina；当a0时，t1时，y取最小值，ymina。可化为yf(sinx)(或yf(cosx)型三角函数的最值或值域可通过换元法转为其他函数的最值或值域。【变式训练】(1)若函数f(x)cos2xasinx在区间上的最小值大于零，则a的取值范围是_。(2)求函数y的值域。(1)解析因为f(x)12sin2xasinx，令sinxt，因为x，故t，则函数f(t)2t2at1是开口向下，对称轴为t的抛物线，由于f(1)a1，f(a1)，结合图象可知，a1。答案(1，)(2)解因为y2cos2x2cosx22，于是当且仅当cosx1时，ymax4。但cosx1，所以y4。且ymin，当且仅当cosx时取得。故函数值域为。类型二三角形中的最值1.求角的三角函数值的最值【例3】在ABC中，a2c2b2ac。(1)求B的大小；(2)求cosAcosC的最大值。解(1)由余弦定理和已知条件可得cosB，又因为0B，所以B。(2)由(1)知AC，所以cosAcosCcosAcoscosAcosAsinAcosAsinAcos。因为0A，所以，当A时，cosAcosC取得最大值1。本题主要考查了余弦定理、三角形内角和定理、辅助角公式以及三角函数的最值；解此类问题的关键是熟练地运用余弦定理、两角差的正余弦公式以及辅助角公式。【变式训练】若ABC的内角满足sinAsinB2sinC，则cosC的最小值是_。解析由sinAsinB2sinC，结合正弦定理可得ab2c，所以cosC(ab时取等号)，故cosC的最小值是。答案2求边的最值【例4】(2019石家庄市模拟)如图，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，ABBC1，ACCD，ACCD，当ABC变化时，BD的最大值为_。解析设ACB，则ABC2，DCB，由余弦定理可知，AC2AB2BC22ABBCcosABC，即ACDC2cos，由余弦定理知，BD2BC2DC22BCDCcosDCB，即BD24cos21212coscos2cos22sin232sin3。由0，可得2，则(BD2)max23，此时，