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第21讲 正弦定理和余弦定理课时达标一、选择题1(2019武汉中学期中)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a1，b，A30，若B为锐角，则ABC()A113 B123C132 D141B解析 因为a1，b，A30，B为锐角，所以由正弦定理可得sin B，则B60，所以C90，则ABC123.2在ABC中，A45，C105，BC，则边长AC为()A.1 B1C2 D.1B解析 根据题意有B1801054530，根据正弦定理，得AC1.故选B.3在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于()A. B.C. D.B解析 设ACb，BCa，ABc，由余弦定理b2a2c22accos B得74c22c，解得c3或c1，因为2，所以三角形仅有一解，所以c3.设BC边上的高为h，则hcsin B.4在ABC中，若AB2，AC2BC28，则ABC面积的最大值为()A. B2C. D3C解析 因为AC2BC22ACBC，所以ACBC4.因为cos C，所以cos C，所以00，所以sin A，因为tan A0，所以A为锐角，所以A.(2)因为a2b2c22bccos A11247，所以a.又Sbcsin A，所以.11(2019河南重点高中期中)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2.(1)判断ABC的形状并加以证明；(2)当c1时，求ABC周长的最大值解析 (1)因为，即cos A，所以bccos Ac，即c2b2a2，所以ABC为直角三角形(2)因为c为直角ABC的斜边，当c1时，周长L1sin Acos A1sin.因为0A，所以sin1，所以当sin1，即A时，周长L最大，且最大值为1.12已知在平面四边形ABCD中，ABC，ABAD，AB1，ABC的面积为.(1)求sinCAB的值；(2)若ADC，求CD的长解析 (1)ABC的面积SABBCsinABC1BC，得BC.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC，即AC212215，得AC.在ABC中，由正弦定理得，即，所以sinCAB.(2)由题设知CAB，则cosCAB，因为ABAD，所以DACCAB.所以sinDACcosCAB.在ACD中，由正弦定理得，即，解得CD4.13选做题(2019重庆二中期中)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2c2a2bc，0，a，则bc的取值范围是()A. B.C. D.B解析 在ABC中，b2c2a2bc，由余弦定理可得cos A，因为A是ABC的内角，所以A60.因为a，所以由正弦定理得1，所以bcsin Bsin(120B)sinBcos Bsin(B30)因为|cos(
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