2020版高考数学一轮总复习数列、不等式专题02等差数列及其性质文（含解析）.docx

专题02等差数列及其性质一、本专题要特别小心：1.等差数列通项公式的推广2.等差中项的应用3.等差数列性质的应用4.构造成等差数列求解5.差后等差数列的求解方法6.数学文化二【学习目标】1掌握等差数列的定义与性质、通项公式等2掌握等差数列的判断方法3掌握等差数列性质的灵活运用三【方法总结】1.等差数列的五个基本量a1，an，n，d(q)，Sn.一般地“知三求二”，通过构建方程(组)求出特征量a1，d(q)，则其余问题可解.2.等差、等比计算型问题注意函数思想、方程思想的渗透；消元法和整体代入法的灵活运用.3.等差数列an的单调性由公差d确定.若d0，则等差数列an递增；若d0，则等差数列an递减.四【题型方法总结】（一）等差数列通项公式的应用例1. 数列an是等差数列，a11，公差d1，2，且a4+a10+a1615，则实数的最大值为（）ABCD【答案】D【解析】数列an是等差数列，a11，公差d1，2，且a4+a10+a1615，1+3d+（1+9d）+1+15d15，解得，d1，2，2是减函数，d1时，实数取最大值为故选：D练习1. 在等差数列中，若，则的值为（ ）A24B36C48D60【答案】C【解析】设等差数列的公差为，因为，由等差数列的性质得，所以.故选C练习2. 已知在等差数列中， 则项数为ABCD【答案】D【解析】由等差数列的性质可得S918，解得a52，故a5+an432，而Sn16n240，解得n15，故选：D练习3. 已知，并且，成等差数列，则的最小值为A16B9C5D4【答案】A【解析】解：根据题意，a0，b0，且，成等差数列，则21；则a+9b（a+9b）（）1010+216；当且仅当，即=时取到等号，a+9b的最小值为16；故选：A（二）等差数列的性质例2. 在等差数列中，则（ ）A72B60C48D36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知：，故本题选B.练习1. 已知1，9四个实数成等差数列，1，9五个数成等比数列，则（ ）A8B-8C8D【答案】A【解析】由1，9成等差数列得公差，由1，9成等比数列得当时1，-3成等比数列，此时无解，所以，.故选A.练习2. 在各项不为零的等差数列中，数列是等比数列，且，则的值为（ ）A1B2C4D8【答案】C【解析】因为等差数列中，所以，因为各项不为零，所以，因为数列是等比数列，所以所以，故选C.练习3. 已知an为递增的等差数列，a4+a7=2，a5a6=-8，则公差d=（）A6BCD4【答案】A【解析】an为递增的等差数列，且a4+a7=2，a5a6=-8， a5+a6=2， a5，a6是方程的两个根，且a5a6， a5=2，a6=4， d=a6-a5=6， 故选：A（三）数组中的等差数列例3由正整数组成的数对按规律排列如下：， ， ， ，若数对 满足，其中，则数对排在（）A第351位B第353位C第378位D第380位【答案】B【解析】（673为质数），故或者，得，在所有数对中，两数之和不超过27的有个，在两数之和为28的数对中，为第二个（第一个是）,故数对排在第位，故选：B练习1. 计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应.现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第个0和第个0之间有个1（），即，则该数的所有数字之和为（ ）A1973B1974C1975D1976【答案】C【解析】将数字从左只有以为分界进行分组第一组为，数字和为；第二组为，数字之和为；第三组为，数字之和为；以此类推数字共位，则，前组共有位则前位数字之和为：剩余数位为：则所有数字之和为：本题正确选项：（四）数阵例4. 已知从2开始的连续偶数构成以下数表，如图所示，在该数表中位于第行、第列的数记为，如，.若，则（ ）24 612 10 814 16 18 2030 28 26 24 22 A20B21C29D30【答案】A【解析】前行有个数，因为，所以从2开始算起，是第124个偶数，时，前15行，共有120个偶数，故第124个偶数，是在第16行，第4列，故20，故本题选A.（五）含的解题方法例5. 已知在数列中，且，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】解：由递推公式，可得：当n为奇数时，数列的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列；当n为偶数时，数列的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列，故选C. （六）构造等差数列例6. 已知数列中，（且），则数列的最大项的值是（ ）A225B226C75D76【答案】B【解析】【分析】首先将题中所给式子变形得到，从而确定数列是公差为的等差数列，且求得，得到数列是单调递减数列，且，从而得到数列的最大项是第16项，利用累加，应用等差数列求和公式求得结果.【详解】，数列是公差为的等差数列，又数列是单调递减数列，数列的前项和最大，即最大，数列的最大项是第16项，又，数列的最大项的值是，故选B练习1. 定义：在数列中，若满足为常数），称为“等差比数列”已知在“等差比数列”中，则（）ABCD【答案】A【解析】，是以1为首项，2为公差的等差数列，故选：A练习2. 设数列是首项为1，公比为的等比数列，若是等差数列，则A4036 B4038 C4030 D4032【答案】D【解析】数列是首项为1，公比为的等比数列，可得，则为公比为的等比数列，又因为是等差数列，所以是常数列，可得，故，共4032项，故答案为4032 ,故选D练习3. 已知数列满足，则 A2n B C D【答案】D【解析】数列满足，可得：，所以数列是等差数列，可得：，可得，故选：D练习4. 设数列的前项和为，已知，且对任意正整数都有，则_.【答案】.【解析】因为所以，即等式两边同时除以，可得，因为，所以是以1为首项，以为公差的等差数列所以，所以，则根据可得所以（七）数学文化与等差数列例7. 孙子算经是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在数书九章大衍求一术中将此问题系统解决.“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.后传入西方，被称为