2020版高考数学一轮复习第八章立体几何第6讲空间向量的运算及应用教案理新人教A版.docx

第6讲空间向量的运算及应用基础知识整合1空间向量的有关定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab.(2)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.其中，a，b，c叫做空间的一个基底推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使xyz.2数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积ab|a|b|cosa，babab0(a，b为非零向量)|a|2a2，|a|.(2)空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)；aba1b1a2b2a3b3；设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)；cosa，b .点共线和点共面问题(1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A，B，C三个点共线，即证明与共线(或A与B共线；或A与B共线)(2)点共面问题：点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明xy，或对空间任一点O，有xy，或xyz(xyz1)即可1已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与 的值可以是()A2， B，C3,2 D2,2答案A解析ab，bka，即(6,21,2)k(1,0,2)，解得或故选A.2已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为()A2 B C. D2答案D解析由题意知a(ab)0，即a2ab0，又a214，ab7，1470，2.故选D.3在长方体ABCDA1B1C1D1中，()A. B.C. D.答案D解析，故选D.4若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则()Al BlCl Dl与斜交答案B解析a(1,0,2)，n(2,0，4)，n2a，即an，l.故选B.5已知a(1,2，2)，b(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为_答案解析cosa，b.6(2018江苏启东中学期中)已知向量a(2，1,2)，b(1,3，3)，c(13,6，)，若向量a，b，c共面，则_.答案3解析因为a(2，1,2)，b(1,3，3)，c(13,6，)，且a，b，c共面，所以存在实数x，y使得cxayb，所以(13,6，)(2xy，x3y,2x3y)，即解得核心考向突破考向一空间向量的线性运算例1如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解(1)P是C1D1的中点，aacacb.(2)N是BC的中点，abababc.(3)M是AA1的中点，aabc.又ca，abc.触类旁通用已知向量表示某一向量的方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来即时训练1.在三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量，表示，.解().考向二共线向量与共面向量定理的应用例2如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，G为A1BD的重心，设a，b，c，试用a，b，c表示，并证明A，G，C1三点共线解abc.()()()abc.因为3，所以A，G，C1三点共线触类旁通证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面且同过点Pxy对空间任一点O，t对空间任一点O，xy对空间任一点O，x(1x)对空间任一点O，xy(1xy)即时训练2.如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k(0k1)(1)向量是否与向量，共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解(1)k，k，kkk()k()kkk()(1k)k，由共面向量定理知向量与向量，共面(2)当k0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内当0k1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知与，共面，所以MN平面ABB1A1.考向三空间向量的数量积角度坐标法例3已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求c；(2)求a和b的夹角的余弦值；(3)若kab与ka2b互相垂直，求k的值解(1)c，cmm(2，1,2)(2m，m,2m)|c|3|m|3.m1.c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1，又|a|，|b|，cosa，b.a和b夹角的余弦值为.(3)kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280.k2或k.即当kab与ka2b互相垂直时，k2或k.角度基向量法例4已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD120.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；(3)证明：AA1BD.解(1) 如图所示，设a，b，c，则|a|b|1，|c|2.ab0，acbc21cos1201.abc，|2(abc)2a2b2c22ab2ac2bc1122222.|.即AC1长为.(2)abc，bc，(abc)(bc)abacb2bcbcc2112222.又|2(bc)2b2c22bc1427，|.cos，.异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.(3)证明：c，ba，c(ba)cbca1(1)0.，即AA1BD.触类旁通(2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题a0，b0，abab0.|a|.cosa，b.即时训练3.已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹角为()A30 B60 C120 D150答案C解析由于ab(1，2，3)a，故(ab)cac7，即ac7.又|a|，所以cosa，c，所以a，c120.4如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，