2020版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第4讲幂函数与二次函数教案理（含解析）新人教A版.docx

第4讲幂函数与二次函数基础知识整合1幂函数(1)定义：形如yx的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数常见的五类幂函数为yx，yx2，yx3，yx，yx1.(2)性质幂函数在(0，)上都有定义当0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增当0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0”(2)“ax2bxc0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0”1(2018武汉模拟)如果函数f(x)x2bxc对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，那么()Af(0)f(2)f(2) Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2) Df(2)f(0)f(2)f(0)故选A.2已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(x)为()A偶函数 B奇函数 C增函数 D减函数答案D解析设幂函数f(x)x，其图象过点，22，解得，f(x)x，f(x)为减函数故选D.3(2019河南安阳模拟)已知函数f(x)x24xa，x0,1，若f(x)有最小值2，则f(x)的最大值为()A1 B0 C1 D2答案A解析f(x)x24xa(x2)2a4，函数f(x)x24xa在0,1上单调递增，当x0时，f(x)取得最小值，当x1时，f(x)取得最大值，f(0)a2，f(1)3a321，故选A.4(2018上海高考)已知.若幂函数f(x)x为奇函数，且在(0，)上递减，则_.答案1解析幂函数f(x)x为奇函数，可取1,1,3，又f(x)x在(0，)上递减，0，故1.5若关于x的不等式x24xm对任意x(0,1恒成立，则m的取值范围为_答案(，3解析只需要在x(0,1时，(x24x)minm即可因为函数f(x)x24x在(0,1上为减函数，所以当x1时，(x24x)min143，所以m3.6(2019武汉模拟)方程x2ax20在区间1,5上有根，则实数a的取值范围为_答案解析解法一：由于方程x2ax20有解，设它的两个解分别为x1，x2，则x1x220，故方程x2ax20在区间1,5上有唯一解设f(x)x2ax2，则f(1)f(5)cb BabcCcab Dbca答案A解析01，指数函数yx在R上单调递减，故，即bca，故选A.触类旁通 幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx分的区域根据0,01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.即时训练1.已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A3 B1 C2 D1或2答案B解析由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只有n1符合题意故选B.2(2019昆明模拟)设a20.3，b30.2，c70.1，则a，b，c的大小关系为()Aacb BcabCabc Dcba答案B解析由已知得a80.1，b90.1，c70.1，构造幂函数yx0.1，x(0，)，根据幂函数的单调性，知cab.考向二求二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解解法一：(利用一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.解法二：(利用顶点式)设f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线的对称轴为x.m.又根据题意函数有最大值8，n8.yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.解法三：(利用两根式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值f(x)max8，即8.解得a4或a0(舍)所求函数的解析式为f(x)4x24x7.触类旁通 确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：即时训练3.已知二次函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且f(0)0，f(1)1，求f(x)的解析式解解法一：(一般式)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)x22x.解法二：(两根式)对称轴方程为x1，f(2)f(0)0，f(x)0的两根分别为0,2.可设其解析式为f(x)ax(x2)又f(1)1，可得a1，f(x)x(x2)x22x.解法三：(顶点式)由已知，可得顶点为(1,1)，可设其解析式为f(x)a(x1)21.又由f(0)0，可得a1，f(x)(x1)21x22x.考向三二次函数的图象与性质角度1二次函数的单调性例3(1)函数f(x)ax22x3在区间1,3上为增函数的充要条件是()Aa0 Ba0C0f(2)f(4) Bf(4)f(5)f(2)Cf(4)f(2)f(5) Df(2)f(4)f(5)答案B解析因为对任意的实数t都有f(4t)f(4t)，所以函数f(x)2x2bx的图象关于直线x4对称，所以f(2)f(10)，又函数f(x)2x2bx的图象开口向下，所以函数f(x)在4，)上是减函数，因为45f(5)f(10)，即f(4)f(5)f(2)触类旁通 (1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解.(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较.即时训练4.已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；(2)当a1时，求f(|x|)的单调区间解(1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.(2)当a1时，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x4,6，且f(x)f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是4,0角度2二次函数的最值问题例4(1)(2017浙江高考)若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关 B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关 D与a无关，但与b有关答案B解析设x1，x2分别是函数f(x)在0,1上的最小值点与最大值点，则mxax1b，Mxax2b.Mmxxa(x2x1)，显然此值与a有关，与b无关故选B.由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为Mk，mk，而(Mk)(mk)Mm，故与b无关随着a的变动，相当于图象左右移动，则Mm的值在变化，故与a有关故选B.(2)(2019南昌模拟)如果函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，那么实数a_.答案1解析因为函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得因为f(0)a，f(2)43a，所以或解得a1.触类旁通 二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.即时训练5.已知函数f(x)x22x3，xt，t2(1)求f(x)的最值；(2)当f(x)的最大值为5时，求t的值解f(x)x22x3(x1)24的对称轴为直线x1.(1)若t1，则当xt时，f(x)minf(t)t22t3；当xt2时，f(x)maxf(t2)t22t3.若t1t1，即0t1，则当x1时，f(x)minf(1)4；当xt2时，f(x)maxf(t2)t22t3.若t11t2，即10时，f(x)maxt22t3，设f(x)的最大值为g(t)，则g(t)因为g(t)5，所以t2；t2.故当f(x)的最大值为5时，t2或t2.角度3二次函数中的恒成立问题例5(1)(2019合肥模拟)设函数f(x)mx2mx1，若对于x1,3，f(x)m4恒成立，则实数m的取值范围为()A(，0 B.C(，0) D.答案D解析由题意，f(x)m4对于x1,3恒成立即m(x2x1)5对于x1,3恒成立当x1,3时，x2x11,7，不等式f(x)m4等价于m.当x3时，取最小值，若要不等式m对于x1,3恒成立，则必须满足mxk在区间3，1上恒成立，试求k的取值范围解由题意知，解得所以f(x)x22x1.由f(x)(x1)2知，函数f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1由题知，x22x1xk在区间3，1上恒成立，即kx2x1在区间3，1上恒成立，令g(x)x2x1，x3，1，由g(x)2知g(x)在区间3，1上是减函数，则g(x)ming(1)1，所以k1，故k的取值范围是(，1)触类旁通 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.即时训练6.(2018沧州七校联考)已知两函数f(x)8x216xk，g(x)2x24x4，其中k为实数(1)对任意x3,3，都有f(x)g(x)成立，求k的取值范围；(2)存在x3,3，使f(x)g(x)成立，求k的取值范围；(3)对任意x1，x23,3，都有f(x1)g(x2)，求k的取值范围解(1)设h(x)f(x)g(x)6x212x4k，问题转化为x3,3时，h(x)0恒成立，故h(x)max0.由二次函数的性质可知h(x)maxh(3)86k，有86