2020版高考数学总复习第六章数列第4节数列求和教案文（含解析）北师大版.docx

第4节数列求和最新考纲1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.知 识 梳 理1.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.微点提醒1.1234n.2.1222n2.3.裂项求和常用的三种变形(1).(2).(3).基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，().()(3)求Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.()(4)若数列a1，a2a1，anan1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列an的通项公式是an.()解析(3)要分a0或a1或a0且a1讨论求解.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修5P38A9引申改编)数列an中，an，若an的前n项和为，则项数n为()A.2 018 B.2 019C.2 020 D.2 021解析an，Sn11，所以n2019.答案B3.(必修5P28练习1T1改编)等比数列an中，若a127，a9，q0，Sn是其前n项和，则S6_.解析由a127，a9知，27q8，又由q0，解得q，所以S6.答案4.(2018东北三省四校二模)已知数列an满足an1an2，a15，则|a1|a2|a6|()A.9 B.15 C.18 D.30解析由题意知an是以2为公差的等差数列，又a15，所以|a1|a2|a6|5|3|1答案C5.(2019榆林调研)已知数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，bnan2n1，且SnTn2n1n22，则2Tn_.解析由题意知TnSnb1a1b2a2bnann2n12，又SnTn2n1n22，所以2TnTnSnSnTn2n2n(n1)4.答案2n2n(n1)46.(2019河北“五个一”名校质检)若f(x)f(1x)4，anf(0)fff(1)(nN+)，则数列an的通项公式为_.解析由f(x)f(1x)4，可得f(0)f(1)4，ff4，所以2anf(0)f(1)f(1)f(0)4(n1)，即an2(n1).答案an2(n1)考点一分组转化法求和【例1】 (2019郴州质检)已知在等比数列an中，a11，且a1，a2，a31成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn2n1an(nN+)，数列bn的前n项和为Sn，试比较Sn与n22n的大小.解(1)设等比数列an的公比为q，a1，a2，a31成等差数列，2a2a1(a31)a3，q2，ana1qn12n1(nN+).(2)由(1)知bn2n1an2n12n1，Sn(11)(32)(522)(2n12n1)135(2n1)(12222n1)nn22n1.Sn(n22n)10，Sn0，解得所以an2n.(2)由题意知：S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，则cn，因此Tnc1c2cn，又Tn，两式相减得Tn，所以Tn5.规律方法1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.【训练3】 (2019太原调研)已知数列an的前n项和为Sn，数列bn满足bnanan1(nN+)(1)求数列bn的通项公式；(2)若cn2an(bn1)(nN+)，求数列cn的前n项和Tn.解(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n，又a11符合上式，ann(nN+)，bnanan12n1.(2)由(1)得cn2an(bn1)n2n1，Tn122223324(n1)2nn2n1，2Tn123224325(n1)2n1n2n2，得，Tn2223242n1n2n2n2n2(1n)2n24，Tn(n1)2n24.思维升华非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想1.转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；2.不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.易错防范1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号.3.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A.24 B.3 C.3 D.8解析设an的公差为d，根据题意得aa2a6，即(a12d)2(a1d)(a15d)，解得d2，所以数列an的前6项和为S66a1d16(2)24.答案A2数列an的前n项和为Sn，已知Sn1234(1)n1n，则S17()A9 B8C17 D16解析S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.答案A3(2019株洲联考)数列的前2 019项的和为()A.1 B.1C.1 D.1解析因为an，S2 019()()(1)1.答案B4.(2019合肥调研)已知Tn为数列的前n项和，若mT101 013恒成立，则整数m的最小值为()A.1 026 B.1 025C.1 024 D.1 023解析1，Tnn1，T101 013111 0131 024，又mT101 013恒成立，整数m的最小值为1 024.答案C5.(2019厦门质检)已知数列an满足an1(1)n1an2，则其前100项和为()A.250 B.200 C.150 D.100解析当n2k(kN+)时，a2k1a2k2，当n2k1(kN+)时，a2ka2k12，当n2k1(kN+)时，a2k2a2k12，a2k1a2k14，a2k2a2k0，an的前100项和(a1a3)(a97a99)(a2a4)(a98a100)254250100.答案D二、填空题6.已知正项数列an满足a6aan1an.若a12，则数列an的前n项和Sn_.解析由a6aan1an，得(an13an)(an12an)0，又an0，所以an13an，又a12，所以an是首项为2，公比为3的等比数列，故Sn3n1.答案3n17(2019九江联考)若an，bn满足anbn1，ann23n2，则bn的前2 018项和为_解析anbn1，且ann23n2，bn，bn的前2 018项和为.答案8.(2019九江调研)已知数列nan的前n项和为Sn，且an2n，且使得Snnan1500的最小正整数n的值为_.解析Sn121222n2n，则2Sn122223n2n1，两式相减得Sn2222nn2n1n2n1，故Sn2(n1)2n1.又an2n，Snnan1502(n1)2n1n2n150522n1，依题意522n10，故最小正整数n的值为5.答案5三、解答题9.已知数列an的前n项和Sn，nN+.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和.解(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.a1也满足ann，故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n).记A212222n，B12342n，则A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.10.设数列an的前n项和为Sn，a12，an12Sn(nN+).(1)求数列an的通项公式；(2)设bn1log2(an)2，求证：数列的前n项和Tn.(1)解因为an12Sn(nN+)，所以an2Sn1(n2)，