角函数及三角恒等变换.ppt

三角函数及三角恒等变换,人民教育出版社 龙正武,2,B 版： 第一章 基本初等函数（） 第三章 三角恒等变换,为什么叫基本初等函数（II）？ 为什么要分成两章？,3,三角函数的地位与作用,传统：测量。 课标：三角函数是描述周期现象的重要的数学模型。 电磁波 Fourier级数,4,第一章 基本初等函数（）,1.1 任意角的概念及弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3 三角函数的图象与性质,5,1.1 任意角的概念及弧度制,1.1.1 角的概念的推广,6,各角和的旋转量等于各角旋转量的和。,7,例 1 射线 OA 绕端点 O 顺时针旋转 80 到 OB 的位置，接着逆时针旋转 250 到 OC 的位置，然后再顺时针旋转 270 到 OD 位置，求 AOD 的大小。,转角运算的几何意义。,8,为什么要这样做？,角运算的几何意义，有助于帮助学生理解，为用对称变换等证明诱导公式打下伏笔。,a,9,思考与讨论,如果 a 是第一象限的角，那么 a 的取值范围可以表示为怎样的不等式？ 如果 a 分别是第一、第二、第三和第四象限的角，那么 分别是第几象限角？,10,可能存在的困难,为什么要对 k 这样分类讨论？,11,练习A 1. 判断：（2）终边相等的角一定相等。 如果角a 和角b 的终边相同，则它们之间的大小有何关系？ 答：存在一个整数 k，使得a -b =k360。,12,1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算,旋转时，射线上的点形成圆弧。,为什么不用单位圆定义？,13,角的集合与实数集 R 之间的一一对应。,角度制是60进制，弧度制是十进制。,角度值换算为弧度值的算法。 建议讲解：机械，但步骤清楚。,角度数 n 与角度 n 的区别。,例 3 可以不讲，例 4 要求学生掌握。,14,1.2 任意角的三角函数,1.2.1 三角函数的定义 锐角三角函数,15,任意角三角函数的定义: 相似三角形 为什么不用单位圆定义？,16,三角函数的自变量,如果点 P(x，y) 是角 a 终边上一点，那么定义 称为余弦函数。 问题：余弦函数中的自变量是谁？,17,教材： 叫做角a 的余弦，记作cos a ，即,对于每一个确定的角a ，有唯一的余弦值与之对应，因此这个对应法则是以 a 为自变量的函数，叫做 a 的余弦函数。,18,例 2 求下列各角的六个三角函数值： （1）0； （2）p； （3） 。 练习A 3. 填表：特殊角的三角函数。 探索与研究： 算任意角的三角函数值的算法。,19,1.2.2 单位圆与三角函数线,用到了轴上向量及其数量的知识。 建议先讲点轴上向量的知识（数学二2.1.1 或 数学四 2.1.5）。 可以用有向线段来解释。,20,为什么要用单位圆？ 正切线为什么在 x = 1 这条线上？,21,思考与讨论： 时， 的大小关系。,22,1.2.3 同角三角函数的基本关系式,例3. 已知 求 tan a 的值。,23,奇变偶不变，符号看象限。,诱导公式传统的处理方式：,1.2.4 诱导公式,24,A(cos a，sin a),B(cos(-a)，sin(-a),C(cos(a+p)，sin(a+p),25,B,26,1.3 三角函数的图象和性质,27,设 t = sin x，则有 y = (t -1)2 + 2，t-1，1。 转化为二次函数的问题。 y = (sin x - 0.5)2 + 2 y = -(sin x - 3)2 + 2,求 y = (sin x -1)2 + 2 的值域,1.3.1 正弦函数的图象与性质,28,在闭区间-1，1上，当 t = -1 时，| t -1| 最大，函数 y = (t -1)2 + 2 取得最大值，最大值为 6。 在闭区间-1，1上，当 t = 1 时，| t -1| 最小，函数 y = (t -1)2 + 2 取得最小值，最小值为 2。,29,y = (sin x - 1)2 + 2 y = (sin x - 0.5)2 + 2 y = -(sin x - 3)2 + 2,30,“我们可以把 2x 当成一个新的变量 u，即u=2x。函数 y=sin u 的周期为 2p，这就是说，当 u 增加到且至少要增加到 u + 2p时，函数的值才重复取得，而 u+2p = 2x+2p = 2(x+p)。 因此，当自变量 x 增加到且必须增加到x+p 时，函数的值才重复取得。 因此函数y = sin 2x 的周期为 p。”,已知 f(x) 的周期为 T，则 f(3x) 的周期为？,求周期： y = sin 2x,31,余弦函数 正切函数 先图象还是先性质？,1.3.2 余弦函数、正切函数的图象和性质,32,注意细节,数学四第52页例2： 判断 y = cos x + 2 的奇偶性。 因为 f(- x) = cos(- x) + 2 = cos x + 2 ，所以是偶函数。,33,解：把函数 y = cos x + 2 记为 f(x) = cos x + 2。 因为 f(- x) = cos(- x) + 2 = cos x + 2 = f(x)，所以是偶函数。 平移 y = sin x + 2,34,1.3.3 已知三角函数值求角,重点在于特殊值，其余的了解即可。,课标上没有要求。,35,第三章 三角恒等变换,3.1 和角公式 3.2 倍角公式和半角公式 3.3 三角函数的积化和差与和差化积 课标：经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。,36,3.1 和角公式,3.1.1 两角和与差的余弦 共有四种证明方法：,B,E,C,A,D,F,37,38,39,存在整数 k，使得,40,探索与研究,N,R,Q,a,41,练习A 1. 下式成立吗？,上式一定不成立吗？,恒等问题是学生的一个难点。,42,3.1.2 两角和与差的正弦,例：已知点 P(x，y)，与原点距离保持不变，逆时针旋转角到点 P(x，y)。求证：,43,例 4 求函数 y=asin x+bcos x的最大值、最小值和周期，其中 a，b 是不同时为零的实数。 角 j 的存在性和唯一性。,44,3.1.1 两角和与差的正切,45,3.2 倍角公式,3.2.1 倍角公式,46,3.2.2 半角的正弦、余弦和正切公式,47,3.3 三角函数的积化和差与和差化积,48,49,探索与研究,50,函数 的周期和奇偶性。,2007 广东,函数 的图象经过点 （0，1），求周期和初相。,51,函数 的最小正周期 和最大值分别为 ， 。,2007山东卷,由函数 的图象怎样才能得到 函数 的图象？,52,函数 的图象。,2007 海南、宁夏,若 ，求 的值。,53,函数 的周期和奇偶性。,2008 广东,函数 的最大值为 1，图象经过点 。 （1）求解析式。 （2）已知 ，且 求 的值。,函数 的最小正周期。,54,已知 ，则 的 值为 。,2008山东卷,函数 为偶函数，且图象的两相邻对称轴的距离为 。 （1）求 的值。 （2）平移后求单调区间。,55,已知函数 的图象，求 w 的值。,2008 海南、宁夏,求 的值。,函数 的最值。,56,如图，在平面直角坐标系中，以 Ox 轴为始