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高等代数（上）学习提纲 （第一章第四章节1）,任课老师:周毅,一基本概念,1预备知识 数域 （含两数且对四则运算封闭） 映射/变换及其运算 （单射、满射、双射、乘积映射、可逆映射、逆映射） 2矩阵及其相关概念 矩阵的初等变换与等价关系 矩阵的秩 矩阵的运算：初等变换 加、减法 数乘 乘法 方幂 转置 共轭 求逆 行列式 初等矩阵 一些特殊矩阵：对称阵 、反对称矩阵、 三角阵 、幂零阵 方阵的迹 分块矩阵 行列式及它的余子式与代数余子式,3向量空间 向量及其线性运算 （8条运算公理） 向量组的表示、等价与相关性 向量组的极大无关组与秩 4线性空间 线性空间及线性运算公理 线性空间的表示、等价、相关性、极大无关组及秩 线性空间的基与维数 线性空间中的元素在基下的坐标 5线性方程组理论 线性方程组 （齐次、非齐次、系数矩阵、增广矩阵） 齐次线性方程组的基础解系 非齐次线性方程组的特解,二基本性质, 预备知识 矩阵及其相关概念 向量空间 线性空间 线性方程组理论,预备知识,1 单射 ： ，使得： 满射 ： ，使得： 可逆 ： ， 使得： ， 记 为 2代数学基本定理,矩阵及其相关概念,1矩阵秩的性质 矩阵的行/列秩在行/列初等变换下保持不变 矩阵的行/列秩在列/行初等变换下保持不变 即：初等变换不改变矩阵的秩 2矩阵运算的性质 交换律、结合律、分配律、不同运算次序的交换 3矩阵秩的相关性质 当 ， 满秩时取等号 4 的性质 且,矩阵及其相关概念,5“左行右列”法则 6 满秩 为初等阵的乘积 均为满秩、可逆矩阵，使得： 可逆 满秩 为初等阵的乘积 ，使得： 或者 7初等矩阵均可逆且其逆矩阵仍为初等阵 8求逆运算与其它运算的关系 9分块矩阵的运算 10行列式的基本性质 11行列式按行（按列）展开法 12,向量空间,1向量组的相/无关性 相关 中至少有一个可以由其余 个表示 无关 ， 相关 可以由 表示且表示唯一 相关 ； 相关 或者 部分相关 整体相关 部分分量无关 该向量组无关 个 维向量相关 相关 相关 或者 2 无关且可以由 表示 （由此导出向量组“秩”的概念）,线性空间,1设 ，若 可以由 表示，则 ， 若 ，则 2设 为 的基， （其中 ）， 则 无关 无关 3设 为 的基， ， 则 为 的基 可逆 4坐标变换公式 线性方程组解理论 1 （其中 为 阶矩阵） 当 时，有非零解 2 解的结构 当 时，方程组只有零解 当 时，方程组由 个解构成基础解系 3 解的结构,三基本方法,由初等变换法解线性方程组 由初等变换法求矩阵的秩、向量组的秩、判别
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