电磁学第二版习题答案第四章.pdf

习 题 4.1.1 很定电流场 J=Ji（其中 J 为常数，i 为沿 x 轴正向的单位矢量）中有一半径为 R 的球面（见附 图） 。 （1）用球坐标表示出球面的任一面元的 J 通量 dI； （2）用积分的方法求出由 x0 确定的半球面的 J 通量 I； 解： （1）cosdIj dsji rdsjds= ? 而方向余弦： cossincos cos xrR RRR = 2 sincosdsR= 22 sincosdIjRd d = （2）因被yoz平面所截， 22 22 00 4cossinIdIjRdd = 2 2 22 0 0 11 4sinsin2 24 jRj R = 通过前面半球的 j ? 线数与通过过 O 圆平面的 j ? 线数相等。 4.2.1 如图所示的电路中，求： （1） 开关 S 打开时 A、B 间的总电阻； （2） 开关 S 闭合时 A、B 间的总电阻。 解： （1）当 K 断开时，电路图如下（1） ，由图可得知： 225 ab R= （2）当 K 闭合时，电路图如下（2） ，由图可得知： 208 ab R= 4.2.2 求附图所示各电路图中 A、B 间的总电阻。 解：等效电路图（a）（g）如下： （a）1 ab RK=， （b）4.5 ab R= （c）1.2 ab R= （d）7.4 ab R= （e）5 ab R= （f）1.5 ab R=（g）14 ab R= 4.2.3 当附图中的 R1为何值时 A、B 间的总电阻恰等于 R0？ 解：由 110 10 110 () () R RR RRR RRR + =+= + 总 解得： 0 1 3 R R = 4.3.1 用电阻率为的金属制成一根长度为l、内外半径分别为 R1和 R2的导体管，求下列三种情况 通过管子的电阻： （1）电流沿长度方向流过； （2）电流沿径向流过； （3）把管子切去一半（如附图） ，电流沿图示方向流过。 解： （1）电流沿长度方向流过，则各截面面积相等，有 22 21 () l R RR = （2）电流沿径向方向流过，各截面面积不相等，有 2 1 2 1 ln 22 R R Rdr RdR rllR = （3）把管子切去一半，电流沿图示方向流过，考虑离轴线为 r，厚度为 dr 的薄半圆片，则其电阻 为： r dR ldr = 又因为各电阻不一样，各电阻上的电流分布也不一样，各段电阻相当于并联，则有 2 1 2 1 11 ln R R Rldrl RdRrR = ， 即有： 2 1 1 ln R R l R = 4.3.2 用电阻率为（常量）的金属制成一根长度为 L、底面半径分别为 a 和 b 的锥台形导体（见 附图） ， （1）求它的电阻； （2）试证明当 a=b 时，答案简化为L/S（其中 S 为柱体的横截面积） 解：假定 I 沿轴线流过任意横截面的j ? 是均匀的，建立坐标如图所示 则有： 2 dx dR r = 积分得： 2 dx RdR r = 其中x，r为变量，若将统一为x的变量，x的变化范围 为： 00 xxl+ 由 0 ax tg=， 0 ()bxl tg=+ 解出： 0 La x ba = ， ba tg l = 又 ()x ba rxtg l = 22 2 2 ()x ba sr l = 0 0 22 22222 ()() xl x dxldxldx R rx babax + = 2 2 00 11 () ll baxxlab = + 若将变量统一为r，则r的变化范围为：0()ba，或由ab 由 badr tg ldx = 得： ldr dx ba = 222 ()() b a dxl drldr R rrbabar = 11 () ll baabab = 当ab=时： 2 ll R as = 4.3.3 球形电容器内外半径为 a 和 b，两极板间充满电阻率为的均匀物质，试计算该电容器的漏 电电阻。 解：对漏电电阻，其内部电极电位差，电流沿径向从高电位向低电位流过，则有： 2 4 dx dR r = 积分得： 2 11() () 444 b a dxba RdR rabab = 4.3.4 直径为 2mm 的导线由电阻率为 8 3.14 10m 的材料制成，当 20A 的电流均匀地流过该导 体时，求导体内部的场强。 解：根据jE= ? ，得 8 232 3.14 1020 0.2 3.14 (10 ) jI V E m R = 4.3.5 铜的电阻温度系数为 30 /4.3 10C ，在 0 0 C时的电阻率为 8 1.6 10m ，求直径为 5mm、长 为 160km 的铜制电话线在 0 25 C时的电阻。 解： 3 83 0 232 160 10 (1)1.6 10(14.3 1025)144 3.14 (2.5 10 ) l Rt r =+=+= 4.3.6 将同样粗细的碳棒和铁棒串联起来，适当地选取两棒的长度能使两棒的总电阻不随温度而变， 求这时两棒的长度比。 解：当两者串联起来时，其总阻值为： 00 (1)(1) CF CFCCFF ll RRRtt ss =+=+ 总 .（*） 其总阻值不随温度变化而变化，即 0 dR dt = 总 将（*）式对温度t求导并另其等于 0，即 00 0 CF CCFF ll ss += 得到： 0 0 8.71 35040 FF C FCC l l = = 4.3.7 某仪器中要一个“200 ,2W”的电阻，手头有标明“50，1W”的电阻及“150，1W”的电 阻各一个，是否可以代用？ 解：标有“220 ,2W”的电阻： 21( )URWV= 额 ， 0.01( ) W IA R = 额 标有“50 ,1W”的电阻：7.07( )URWV=，0.14( ) W IA R = 标有“150 ,1W”的电阻：12.25( )URWV=， 0.08( ) W IA R = 将“50 ,1W”与“150 ,1W”的电阻串联起来，可得： 7.07 12.2519.3321( )V+= 所以不能代替。 4.3.8 有 100 欧、 1 千欧、 10 千欧三个电阻， 手头有表明 “50 欧， 1 瓦” 的电阻及解：（1） 由 1 4 WW= 额 ， 得 42 min 1 1 4 ( ) 102 10 W IA R = 额 所以 ab 两端的电压为： min 2 1 2 10 ab UIR= 34 总额 （100+10 +10 ）=0.5 111=55.5(V) （2）由 2 WI R=，得到：0.01( )IA= 3 0.01 1010( )UV=， 3 1 1015.8( ) 4 URWV= 额 2 100 0.011000.01()PW= 0.01 1001UV=， 1 1005( ) 4 URWV= 额 没有超过 24 104 0.01101()PW= 4 0.01 10100( )UV=， 4 1 1025( ) 4 URWV= 额 已超过 4.4.2 在如图所示的电路中，当滑动变阻器的滑动触头在某一位置时，安培计（内阻可忽略）的 读数为0.2A，伏特计（内阻无限大）的读数为1.8V。当滑动触头在另一位置时，安培计和伏特计的 读数分别为0.4A和1.6V，求电池的电动势和内阻。 解：由 11 UI r=+和 22 UI r=+ 可解出： 21 12 1.8 1.6 1 0.40.2 UU r II = 1.80.2 12( )V=+ = 4.4.3 用电动势为， 内阻R内的电池给阻值为R的电阻供电， 在保持和R内不变的情况下改变R， 试证当R=R内时，求： （1）电阻R吸收的功率最大； （2）R所吸收的最大功率为： 22 44 m P RR = 内 。 解：由功率可得： 2 ()PR Rr = + 当其最大值时，则有0 dP dR = 即： 222 4 ()2() 0 () RrRRr Rr + = + 222 ()2()0RrRRr+= 2 ()2 ()RrR Rr+=+ 解得：Rr= 所以最大功率为： 22 2 max 22 () 44 Pr rrrR = + 4.4.4 附图中 1 40R =， 3 20R =， 4 R =30，通过电源的电流I=0.4A，UAB=20V，求R 4 R =302 及电源电动势。 解：因为 4AB UIR= +， 4 0.4 302032( ) AB IRUV=+= 12 43 12 () R R I RR RR =+ + 143 2 143 () 120 RIRIR R IRIRIR = + 4.4.5 附图中 1 6V=， 2 10V=， 1 3R = ， 2 1R = ，R=4，求UAB、UAC、UCB。 解： 12 12 6 10 2( ) 3 14 IA Rrr + = + + 11 2 360( ) ab UIrV= = 1122 8( ) ac UIrIrV=+= 22 8( ) ab UIrV= += 4.4.6 如果流过附图中的8欧电阻的电流是0.5A，方向向右，求UAC。 解：由图可知 8 0.5IA=，则 16 0.25IA= 20 0.50.250.251IA=+= 由于分流作用： 20 6 9 18 6 1 9 18 4202 I I + + = + 620 22IIA= 6 9 18 12( ) 9 18 ac UIV = + 4.4.7 求附图中A、B、D、E各点的电势。 解：因在 3 R所在的支路上有电容器 则 3 R上无电流， 3b U= 又因在 1 R所在的支路被短接， 则 1 R上无电流， 1d U= 又 2c U= 2 2444 23 aBa UI RRU RR = + 4.4.8 附图中100 A R=， 0 200R=，R=50，若开关S1和S2同时断开与同时闭合时通过RA的电 流相等，求RB解： 12 KK、同时打开， 0 A A I RRR = + .（1） 12 KK、同时闭合： 0 1 AB A AB AAB AB R R I R R R RR R RR = + + + （2） 由题意，此两种状态下是相等的， 则（1）=（2） ， 可解出： 0A B R R R R = 4.4.9 附图中O点接地。 （1）求A点和B点的电势； （2）若三个电容器起始时不带电，求它们与A、 B、O相接的各极奥博内上的电荷。 解：电容器对直流断路，由闭合电路的欧姆定律可得： 102024 0.1 2 1023 1728 I + = + （1）0.1 2 100.1 287 AoA UU= += 0.1 324 0.1 1726 BoB UU= += （2）三个电容器开始时是不带电，则有 ()()0 ABC QQQ+ + = 而 AACA QUC=， BBCB QUC=， COCC QUC= ()()()0 ACABCBOCC UUCUUCUUC+ + = 代入数据得： 55 51066 10 C U =， 即 13.2( ) C UV= 6 13.2 10 10132() CCC QU CmC = 4.4.10 附图中的用电势差计测电池的电路图， 实际的电势差计在标准电阻RAB上直接刻度的不是电 阻值，也不是长度，而是各长度所对应的电势差的值。图中R内代表被测电阻的内阻，Rm=100欧为 被测电池的负载电阻。实验开始时，S2断开，S1拨在1处，调节Rn使流过RAB的电流准确地达到标 定值，然后将S1拨在2处，滑动C，当检流计G指零时，读得UAC=1.5025V，再逼和开关S2，滑动C， 当G指零时读得 AC U=1.4455V，试根据这些数据计算电池内阻R内。 解：当打开 2 K，将 1 K先后拨到1和2 处，此时0 G I=可得到： ACx U= .（1） 当闭合 2 K时: AC ACxx m U UIrr R =.（2） 联立（1） （2）可得： 4.0r = 4.5.1 附图中 1 12V=， 2 2V=， 1 1.5R =， 3 2R = ， 2 1IA=，求 2 R的阻值及电流 13 II、 。解： 因为 132 III+=， 13311 I RI R= + 23322 I RI R=+ 可解得： 2 4R = ， 13 43IIA= 4.5.2 求附图中两个未知电动势 12 、的数值和实际方向。 解：对节点a有：12 ab I=+ （1） 由回路得： 1 201 (1 6)(4 1) ab I+= + （2） 12 (4 1)2 (12) ab I+= + +（3） 联立（1）（3）得： 1 18V= ，1 ab I= 2 18( 1) (4 1)2 (12)7V= + += 18( 1) (4 1)13 ab UV=+ += 4.5.3 （1）求附图中A、B两点间的电势差。 （2）把A、B两点接上，求流过12V电池的电流。 解：当ab断开时： 1284 1222 1 19 I = + + 2 28210 9 ab UIIIV=+ += 当ab连接时： 123 III=+ 12 12 10(1 12)(1 3)II=+ + 23 108(1 3)(2 12)II= + + 解得： 1 0.464IA= 4.5.4 附图中24V=， 1 80R =， 2 240R =， 35 120RR=，问 4 R等于多大时才能使流过它的电 流 4 I为0.125A？ 解：蛇各支路的电流方向，各回路的绕行方向如图， 对节点A： 13 III=+ 对节点B： 125 III=+ 对节点C： 24 III=+ 对回路1： 115533 0I RI RI R+= 对回路2： 224455 0I RI RI R= 对回路3： 3344 I RI R+= 联立上面6个式子可解出： 4 48R = 4.5.5 已知附图中各电源内阻为零，A、B两点电势相等，求电阻R。 解： 123 III=+， （1） 13 (26)6I I R +=， （2） 23 (22)26I I R +=+（3） 12 620 AB UII= （4） 由（2）（3）得： 12 842II= （5） 由（4）得： 12 1 3 II= （6） 由（5） （6）得： 2 3 2 I = （7） 由（1） （6） （7）得： 3 2I = （8） 由（2） （6） （8）得：1R = 又 1111 36RR =+ 得：2R= 4.5.6 求附图所示二端网络的电阻RAB 。 解： 设电流 12345 IIIIII、 、 、 、 、的方向和 ab U，则 对节点A： 12 I II= + （1） 对节点B： 34 I II= + （2） 对节点C： 135 III= + （3） 对回路1： 1524 (2r IIII+）= （4） 对回路2： 345 (2rIII+ ）=0 （5） 又 13 2 ab UI rI r=+ （6） ab ab U R I = （7） （1） （2）代入（4）得： 13 420I rI rrI+= （8） （2） （3）代入（5）得： 31 40I rrIrI= （9） （7）代入（8）得： 1 91 20 22 ab rIrIU= （10） （7）代入（9）得： 1 230 ab UrIrI= （11） 9 (10) 3(11) 2 +得： 3 9960 2 abab UUrIrI+= 即：1.4 ab ab U Rr I = 4.6.2 用12根阻值为R的均匀电阻丝搭成一个立方体（见附图） ，从A、B两端引出导线成为一个 无源二端网络，求此二端网络的等效电阻Re。 （提示：用恒流源I供电，借对称性分析各边的电流 情况后求A、B之间的电压。 ） 解：设电流I的流向和电流分布如图，则有 abaccddb UUUU=+ 5 3636 III RRRIR=+= 5 6 ab ab U RR I = 4.6.3 求附图所示有源二端网络N的开路电压和除源电阻。 解：等效电路图如右，则有 0 12 48 24 UV= + 2 4 67.3 24 e R =+= + 4.6.4 附图中 12 40V=， 1 4R= ， 26 2RR= ， 3 5R= ， 4 10R=， 5 8R= ，用戴维宁定 理求通过 3 R的电流 3 I。 解：根据多次的电路等效，见变化图（a） （b