2017建平中学自招数学答案.pdf

尹 充 1 2017 建平建平中学自招数学中学自招数学真题剖析真题剖析 代数部分：代数部分：1-71-7 题题几何部分几何部分 8-128-12 题题解答题解答题 13-1413-14 题题 1.1. 进制进制是人们规定的一种进位方法是人们规定的一种进位方法。计算机计算机中中常用十六进制是逢常用十六进制是逢 1616 进进 1 1 的的计数制计数制，而而十五十五进制是进制是 1515 为为基数进位基数进位 的的计数制计数制，该数制很少使用，但在度量衡中，我国的旧面积单位却与国际公制面积单位存在着十五进制，该数制很少使用，但在度量衡中，我国的旧面积单位却与国际公制面积单位存在着十五进制关系关系， 现现采用数字采用数字 0 09 9 和和字母字母 A AE E 共共 1515 个个计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表：计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表： 1515 进制进制0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 9A AB BC CD DE E 1010 进制进制0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111121213131414 例如例如，用十五进制表示：，用十五进制表示：5+9=E5+9=E，3 3+D=11+D=11，E+D=1CE+D=1C，则则A C_ 【考点梳理】【考点梳理】定义新运算，一般辅导书里“2 进制”较为常见，此处考“15 进制”是考察学生“举一反三、现 学现用”的能力。 【课本链接】【课本链接】暂无。但“定义新运算”是小学奥数的重要专题。 【解法分析【解法分析】 “10 进制” 里 9+1=10， “2 进制” 里， 1+1=10， “15 进制” 里 14+1=10.1012=120,1201510=80. 【自招真题类比】（【自招真题类比】（20122012 进才）进才）电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示： 观察二进制位 1 位数、2 位数、3 位数时，对应的十进制的数，当二进制为 6 位数时，能表示十进制 中的最大数是（）（答案：（答案：C C） A.61B.62C.63D.64 （20122012 华二）华二）定义：；11*111*n1*1n,求 n*1=( (答案：答案：n)n) （20152015 交大附中交大附中）观察下列各式：， 10 1 - 7 1 3 1 107 1 7 1 - 4 1 3 1 74 1 4 1 -1 3 1 41 1 ，根据 观察计算： 1323 1 107 1 74 1 41 1 nn （n为正整数）；（答案：（答案： 13 n n ） 【教辅同类题型原题对比】【教辅同类题型原题对比】奥数精讲与测试奥数精讲与测试七年级七年级 P58P58，整式的运算练习部分 B 卷第 2 题原题为：将十进 制下的四位数abcd写成按 10 的降幂排列的形式为（答案： 32 101010abcd ） 【原题难度】【原题难度】 【原题一流初中常见性】【原题一流初中常见性】 【自招重要性】【自招重要性】 【点评】【点评】此题不涉及初中知识点，放在四五年级奥数考察亦可。主要看学生的积累和应变能力。 【补充延伸【补充延伸】定义新运算本质就是考察学生定义新运算本质就是考察学生“具体具体到抽象到抽象再回到具体再回到具体”的能力的能力。自招中此类题型较为常见自招中此类题型较为常见， 但考察的知识点各有不同但考察的知识点各有不同，较为常见的是较为常见的是“进制换算进制换算”和和“高斯函数高斯函数”。尤其高斯函数尤其高斯函数、高斯方程也是自招考高斯方程也是自招考 常见重点。常见重点。 尹 充 2 2.2. 如果如果 4 11 x x 成立成立，那么满足它的所有，那么满足它的所有整数整数x的的值是值是_ 【考点梳理】【考点梳理】幂的运算、方程。 【课本链接【课本链接】七年级上第九章七年级上第九章-整式整式，有三个小节涉及幂的运算有三个小节涉及幂的运算，分别是幂的乘方和同底数幂的乘除法分别是幂的乘方和同底数幂的乘除法。尤尤其其 9.179.17 同底数幂的除法里规定同底数幂的除法里规定“任何不为任何不为 0 0 的数的的数的 0 0 次幂为次幂为 1 1”，此类题目应在此小节进行拓展此类题目应在此小节进行拓展。不少质量较高不少质量较高 且适合较好程度的教辅书里看到过此类问题，一流初中学到此处时周测卷通常也会有此类考题。且适合较好程度的教辅书里看到过此类问题，一流初中学到此处时周测卷通常也会有此类考题。 【解法分析【解法分析】初中范围内指数为整数时幂为 1 可分三类讨论： （1）11n（n 为任意整数）； （2）11 n （n 为偶数）；（3）01 0 aa 【自招真题类比】（【自招真题类比】（20132013 进才）进才） 1516 2 41 2 1212 2 nn nnnn且 n 为实数，则 n 的个数为？ （答案：（答案：8 8） （20152015 复附）复附） 2 815 2 31 xx x x 的解有_个。（答案：（答案：2） （20142014 复附）复附）方程 11 22 11 1xx xx 的解为_.（答案：（答案： 2 51 ） （2016 七宝七宝）方程：3456 xxxx 的解有_ 个（答案：（答案：1） （20112011 华二）华二）关于x、y的方程组 1 x yxy xy y x 有_组解.（答案：（答案：2 2） （2013 上中）解方程组上中）解方程组 2 2 2 2 2 2 1 2 3 xyz yzx zxy （答案：（答案： 5 6 12 2 6 3 3 6 4 x y z 或或 5 6 12 2 6 3 3 6 4 x y z ） 【教辅同类题型原题对比】【教辅同类题型原题对比】辅导与训练辅导与训练七年级第一学期七年级第一学期 P78P78（17 年下半年此书将全套改版，此页码依据此 之前版本），拓展训练最后一题原题为：12x 1x ，求整数 x 的值。（答案：（答案：x=3x=3 或或 1 1） 【原题难度】【原题难度】 【原题一流初中常见性】【原题一流初中常见性】 【自招重要性】【自招重要性】 【点评】【点评】解方程作为数学的重要模块，一定是自招的重点，本题结合的幂为 1 的运算常考不过难度不大，但自 招出现的其他方程及方程组问题通常难度不小。 【补充延伸【补充延伸】自招题的方程和方程组中除了解法分析中总结还需要注意的要点有自招题的方程和方程组中除了解法分析中总结还需要注意的要点有：“数形结合思想数形结合思想”、“轮换轮换 对称式对称式”、“因式分解及乘法公式的拓展（尤其立方和立方差）因式分解及乘法公式的拓展（尤其立方和立方差）”、“幂的单调性幂的单调性” 尹 充 3 3.3. 设设实数实数, x y分别分别满足满足 22 99201910;2019990xxyy ，并且并且1xy ，则则 101xyx y _ 【考点梳理】【考点梳理】一元二次方程、根与系数的关系（以下简称“韦达定理”）。 【课本链接】【课本链接】八年级上第十七章一元二次方程。拓展八年级上第十七章一元二次方程。拓展课本第一章第一小节。各初中学到八年级上本章节时课本第一章第一小节。各初中学到八年级上本章节时， 韦达定理的讲与不讲，练与不练甚至考察的难度通常能看出学校对学生数学学科上的拓展要求。韦达定理的讲与不讲，练与不练甚至考察的难度通常能看出学校对学生数学学科上的拓展要求。 【解法分析】【解法分析】结合条件及所求来分析，显然0y ，可将含 y 的方程两边同时除以 2 y得到01 2019 y 99 2 y . 因此 y 1 x、是方程012019t99 2 t的根，又1xy ，则为不同根。由韦达定理可得： 99 20191 x y 、 99 11 x y ，则 1011102019102009 999999 xyxx x yyy 。 【自招真题类比【自招真题类比】（2012016 6复旦附中复旦附中） 已知实数m， n （其中m n1） 分别满足，01999n019919 22 nm ._ 14 n mmn 则（答案：（答案：5） （20142014 复附复附）已知,37,37 22 babbaa且则._ 22 b a a b （答案答案： 49 90 ） （2016曹二曹二）若 2 210 aa， 42 210 bb，且 2 10ab，求 2016 22 1 abb a （答案答案：1） （20152015 上中上中） 已知x、y、z为实数， 且5xyz，3xyyzzx则z的取值范围为_. （答案答案： 13 1 3 z ） 【教辅同类题型原题对比【教辅同类题型原题对比】 市北初级中学资优生培养教材市北初级中学资优生培养教材八年级八年级（非练习册非练习册）P27P27 练习 19.6 第 2 题原题为： 已知0325 , 05m2m3 22 nn，期中 m、n 是实数，求 n m 1 。（答案：（答案：0 0 或或 3 8 ） 【原题难度】【原题难度】 【原题一流初中常见性】【原题一流初中常见性】 【自招重要性】【自招重要性】 【点评】【点评】作为中考不作要求，许多“普通”初中不讲，高中一般也不讲却常用的最重要知识点之一，“韦达定 理”是自招最重要考点，没有“之一”。 【补充延伸】【补充延伸】原题和补充类比真题里原题和补充类比真题里 1 1、2 2、3 3 题几乎是一模一样，然而此处我想延伸一下题几乎是一模一样，然而此处我想延伸一下 20152015 上中的解法，上中的解法， 此题考察根的判别式。思路如下：由此题考察根的判别式。思路如下：由式消去式消去 x x 代入代入得，得，3y-z-5yy-z-5zyz, ,整整 理得理得035y5y 22 zzz， 要是关于要是关于 y y 的方程存在解的方程存在解， 则则03545z 2 2 zz 解之得：解之得： 13 1 3 z . 尹 充 4 4.4. 计算计算： 14262139 14262139 _ 【考点梳理】【考点梳理】因式分解、分母有理化。 【课本链接【课本链接】此类题型常会在七年级下第十二章此类题型常会在七年级下第十二章-实数实数、八年级上第十六章八年级上第十六章-二次根式进行拓展二次根式进行拓展。“普通普通”初初 中平时讲解与测试大多不会涉及。据参与了十年中考命题的某老师说，后期初中课改中可能会将中平时讲解与测试大多不会涉及。据参与了十年中考命题的某老师说，后期初中课改中可能会将“二次根式二次根式” 章节删除，与实数合并为一个章节，淡化在根式运算中字母的相关运算。自招中的根式也以数的运算为主。章节删除，与实数合并为一个章节，淡化在根式运算中字母的相关运算。自招中的根式也以数的运算为主。 【解法分析】【解法分析】首先观察分子分母第一、三项可以提出7，第二、四项可以提出13，则 7132323 14262139 52 6 142621397132323 【自招真题类比】【自招真题类比】（2013 上中）计算：上中）计算： 20132012 1 32 1 21 1 _。 （答案：（答案：12013 ） （2013 交附）交附）有理化 135 1 =。（答案：（答案： 3 372 155 11 ） （2013 华二）华二）已知：, x y为有理数，且满足 21 3 3 4 xy，求, x y=。 （答案：（答案： 3 ,3 2 ） （2014 上中）上中）有个实数x，可以使得x120为整数。 （答案：（答案：11） 【教辅同类题型原题对比】【教辅同类题型原题对比】奥数精讲与测试奥数精讲与测试八年级八年级 P33P33，二次根式及其运算练习部分 B 卷第 6 题原题为： 21151410 32 _（答案：（答案： 2 57 ） 【原题难度】【原题难度】 【原题一流初中常见性】【原题一流初中常见性】 【自招重要性】【自招重要性】 【点评】【点评】根式的内容几乎是自招卷必考的，拓展考点及题型也较多。常考的有：（1）重根式化简；（2）分母 有理化；（3）与绝对值及平方结合的非负性。14 年交附考察证明2不是有理数算是较为创新冷门的考法，但 出过一次后近年应该不会再出。 【补充延伸】【补充延伸】重根式的化简一定要掌握，要点是待定系数法。重根式的化简一定要掌握，要点是待定系数法。 尹 充 5 5.5. 建平中学建平中学社团活动丰富多彩社团活动丰富多彩，有有 JTVJTV 社社（金苹果电视台金苹果电视台）、0404 辩论社辩论社、智能机器人智能机器人社社、健美操社健美操社，在在一次一次 社团文化节上，中国社团文化节上，中国象棋象棋社开展了社员社开展了社员 PKPK 活动，每个选手和其他选手比赛一局，每局赢者得活动，每个选手和其他选手比赛一局，每局赢者得 2 2 分分，输者得，输者得 0 0 分分，平平各记各记 1 1 分分，现有四位同学统计，现有四位同学统计了了比赛中全部选手比赛中全部选手得分得分总数总数，总分总分分别是分别是 10541054、10561056、10601060、1066.1066.经经核核 实，上述四位同学只有一位同学统计实，上述四位同学只有一位同学统计正确正确，则这次比赛中有，则这次比赛中有_名名选手参加比赛。选手参加比赛。 【考点梳理】【考点梳理】估算，一元二次方程的整数解、素因数分解。 【课本链接【课本链接】此类题型初中会有两次机会遇到此类题型初中会有两次机会遇到，一次是六上第一章数的整除一次是六上第一章数的整除，一次是初二上第十七章学习一元一次是初二上第十七章学习一元 二次方程的应用二次方程的应用。但实际上此类题型适合的年龄段非常广但实际上此类题型适合的年龄段非常广，四五年级奥数可以从奇偶性四五年级奥数可以从奇偶性、相邻两自然数相乘的相邻两自然数相乘的 个位数个位数、素因数分解等去考察素因数分解等去考察，初中可以作为常规题型从素因数分解和一元二次方程的整数解来考察初中可以作为常规题型从素因数分解和一元二次方程的整数解来考察。但实际但实际 上上，本题在不同考试中也极为常见本题在不同考试中也极为常见，如早年的全国数学联赛如早年的全国数学联赛、0808 年年“国际数学邀请赛国际数学邀请赛”新加坡初赛新加坡初赛，公务员考公务员考 试等。试等。 【解法分析】【解法分析】解法一：设有 n 名选手，则有 2 1nn 场比赛，每场比赛不论胜负平都共产生 2 分积分，则总分 为 1nn2 2 1nn ，又总分在 1054-1066 之间，估算出 n 取 33. 解法二：总分为 1nn2 2 1nn ，将 1054、1056、1060、1066 素因数分解得到只有 1056 能分解成两个相邻自然数的乘积，1056=3233。 【自招真题类比】【自招真题类比】（2013 华二华二）1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5.第 2013 个数是_（答案：（答案：6363）（简略解 析：最后一个 1,2,3,4.n 分别在第 1,3,6,10. 2 1nn 位，又2016 2 6463 ，1953 2 6362 ，则取 63） （2016 交大附中交大附中）六位数 123123 含有质因数的个数是_。（答案：（答案：5） 【教辅同类题型原题对比】【教辅同类题型原题对比】辅导与训练辅导与训练八年级第一学期八年级第一学期 P65P65（17 年下半年此书将全套改版，此页码依据此 之前版本），基础训练第 6 题原题为：若连续两个偶数的积是 48，则这两个数是_。（答案答案：6 6 和和 8 8 或或-6-6 和和-8-8） 【原题难度】【原题难度】 【原题一流初中常见性】【原题一流初中常见性】 【自招重要性】【自招重要性】 【点评】【点评】各种估算也是数学基本功，此处总结一个“小技巧”供学生参考： 【补充延伸】【补充延伸】 条件：个位数是条件：个位数是 5 5 的两位数平方的两位数平方“速算速算”： 举例：举例：2251515，后两位2555，百位之前2111 6252525，后两位2555，百位之前6122 12253535，后两位2555，百位之前12133 论证：论证：令5a表示个位是 5 的自然数，其中a是任意自然数，即5105 aa，则： 25100) 1(25100100 25502100)510()510(55 aaaaa aaaaaaa 推广推广 1 1：5a中的a可以是个位数也可以是多位数。 尹 充 6 推广推广 2 2：若十位数相同，个位数只要和为：若十位数相同，个位数只要和为 1010 即可，如：即可，如： 2211713，后两位2173，百位之前2111 6242624，后两位2464，百位之前6122 12163832，后两位1682，百位之前12133 6.6. 二次二次函数函数 2 2yxaxa在在03x上上有最小值有最小值-2-2，则则a的的值值为为_ 【考点梳理】【考点梳理】配方、含参问题的分类讨论，二次函数的对称性与单调性。 【课本链接【课本链接】此类题型可能会在七年级上第第九章整式此类题型可能会在七年级上第第九章整式、八年级下第十六章一元二次方程八年级下第十六章一元二次方程、九年级上第二十六九年级上第二十六 章二次函数进行拓展章二次函数进行拓展。但此类方程但此类方程、代数式代数式、函数等含参问题也是一流名办初中练习更多函数等含参问题也是一流名办初中练习更多，最早在六下就可以最早在六下就可以 方程与不等式的含参专项讲解和练习。方程与不等式的含参专项讲解和练习。 【解法分析【解法分析】 2 22 2= xyxaxaaaa，（1）0a时，在03x上最小为 x 取 0 时，得2a； （2）03a时，在03x上最小为 x 取a时，则2 2 aa，得12 21 aa，（舍）； （3）3a时，在03x上最小为 x 取 3 时，则269aa，得 5 11 a（舍）；综上，2a 【自招真题类比】【自招真题类比】（2011 华二）华二）已知二次函数52 2 pxxy，当2x时，y的值随x的值增加而增加， 那么px 对应的y值得取值范围是。（答案：（答案：69y ） （2016 复旦附中）复旦附中）在同一个直角坐标系中，已知直线kxy 与函数 342 332 382 xx x xx y ， ， ， 图像恰有三个公共点，则 k 的取值范围是_.（答案：（答案：2k 3 2 ） 【教辅同类题型原题对比】【教辅同类题型原题对比】奥数精讲与测试奥数精讲与测试九年级九年级 P50P50，二次函数练习部分 C 卷第 6 题原题为：对二次函 数7-x6xy 2 ，当 x 取值2txt时，次函数的最大值为23t 2 ，则 t 的取值范围是_（答答 案：案：3t） 【原题难度】【原题难度】 【原题一流初中常见性】【原题一流初中常见性】 【自招重要性】【自招重要性】 【点评】【点评】这是一个高一的常规题。数形结合和单调性分析是解题关键。这是一个高一的常规题。数形结合和单调性分析是解题关键。 【补充延伸】【补充延伸】二次函数在自招中有不小占比，尤其常考察解答题。此处补充两个相关常考知识点：二次函数在自招中有不小占比，尤其常考察解答题。此处补充两个相关常考知识点： 1 1、若二次函数与、若二次函数与 x x 轴有两交点，则两交点之间距离为：轴有两交点，则两交点之间距离为： a acb4 2 2 2、若若ba 、)(xf为连续函数且为连续函数且0)()(bfaf，则方程则方程)(xf=0=0 在在ba x之间至少有一解之间至少有一解。 尹 充 7 7.7. 已知实数已知实数x满足满足147xx，则则x的的值是值是_ 【考点梳理】【考点梳理】绝对值的几何意义，绝对值方程。 【课本链接【课本链接】此类题型在六年级下有理数章节学习绝对值时大多见过此类题型在六年级下有理数章节学习绝对值时大多见过，“普通普通”初中也会在本章节练习卷最后初中也会在本章节练习卷最后 一题中出现一题中出现。属于本卷中最为常见的题型。属于本卷中最为常见的题型。 【解法分析【解法分析】解法一：代数式14xx的几何意义是表示 x 的数在数轴上的点到-1 和 4 两点距离之和。又 -1 到 4 的距离为 5，又125-7，口算得 x 可取-2 或 5. 解法二：零点分段法分类讨论，以-1 和 4 为分界点将 x 分三类讨论后去绝对值，得到同样答案。 【自招真题类比】【自招真题类比】（2016 交附）交附）若x是实数，则554433221xxxxxy的最小值为 _.（答案：（答案：1515） （2013 华二冬令营）华二冬令营）方程21xa有三个整数解，求a的值.（答案：（答案：1） （ 2015上中上中） 127 ,a aa是1,2,3,7的一个排列，则 12233471 aaaaaaaa+的最 大值为_.（答案：（答案：24） 【教辅同类题型原题对比】【教辅同类题型原题对比】市北初级中学资优生培养教材六年级市北初级中学资优生培养教材六年级（非练习册）（非练习册）P83P83 绝对值小节练习 5.3 原 题：求5x4x3x2x1x的最小值。（答案：（答案：6 6） 【原题难度】【原题难度】 【原题一流初中常见性】【原题一流初中常见性】 【自招重要性】【自招重要性】 【点评】【点评】绝对值的几何意义通常是比零点分段后的分类讨论更重要的解题方法。 【补充延伸】【补充延伸】作三点补充：（如有意自招此处又有不懂的，一定要问老师）作三点补充：（如有意自招此处又有不懂的，一定要问老师） 1 1、ba 的几何意义大家都知道。原题问题较为简单。上面市北的题目本质也是在数轴上的几何意义大家都知道。原题问题较为简单。上面市北的题目本质也是在数轴上 标出五个点，分别为标出五个点，分别为-1-1，-2-2，-3-3，-4-4，-5.-5.当当 x x 取取-3-3 时距离之和最小。由此可总结如下：时距离之和最小。由此可总结如下： n aaaa. 321 设，若，若 n n 为奇数则为奇数则 2 1 x a a时时 n aaaax.xxx 321 取最小值。若取最小值。若 n n 为偶数则为偶数则 1 22 x nn aa时时 n aaaax.xxx 321 最小。最小。 简单说就是中间一个数或中间两数之间。简单说就是中间一个数或中间两数之间。 因此，当面对因此，当面对 1616 年交附此类有系数的题型时，将年交附此类有系数的题型时，将axn拆成拆成 n n 个个ax更容易理解和分析更容易理解和分析。 2 2、)(yxf的图像可视为将的图像可视为将)(xf图像与图像与 x x 轴交点及轴交点及 x x 轴上方部分保留，轴上方部分保留，x x 轴下方部分沿轴下方部分沿 x x 轴轴 翻折后得到的翻折后得到的。则则y21x可视为可视为 y=x-2 图像如上方式翻折后向下平移图像如上方式翻折后向下平移 1 个单位个单位 后再按如上方式翻折。后再按如上方式翻折。 3、绝对值不等式：、绝对值不等式：bababa 尹 充 8 8. 已知ABCV中，满足 115 ,10 tantantan 222 AB ABC ，则ACBC_ 【考点梳理】【考点梳理】角平分线性质，正切定义，三角形的内心、内切圆，切线长定理。 【课本链接【课本链接】如果从中考大纲内找联系如果从中考大纲内找联系，本题可看成八上角平分线性质和九上锐角三角比的结合本题可看成八上角平分线性质和九上锐角三角比的结合。但本题牵涉但本题牵涉 的图形、思想、辅助线与拓展的图形、思想、辅助线与拓展圆的有关拓展结合更紧密。圆的有关拓展结合更紧密。 【解法分析】【解法分析】如图，圆 O 是三角形内切圆，O 是三角角平分线的交点，设内切圆半径为 r。 由切线长定理（或证三角形全等）得，AD=AE，BD=BF，CE=CF， 则 AD rA 2 tan， BD rB 2 tan， CE rC 2 tan，则 原式可转化为 r 5CE r BD r AD ，从而得出 CE=CF=2， 又 AE+BF=AD+BD=10，则 AB+AC=AE+BF+CE+CF=14. 【自招真题类比】【自招真题类比】（2014 华二）华二）如图所示，C在C上，ODBC，AD是切线，延长DC、AB交于点E。 （1）求证：DE是切线。 （2） 2 3 CE DE ，求cosABC的值。 （答案：（答案：（1 1）略（）略（2 2） 3 3 ） （2015 交大附中交大附中）边长为 1 的正八边形的内切圆的直径等于；（答案：（答案：12 ） （2014 华二华二）ABC外接圆，已知3R ，边长之比为3:4:5， ABC S_（答案答案： 25 216 ） （2015 上中上中） 正ABC 的内切圆半径为 1，P为圆上一点， 1 2 BPCP。（答案答案： 2 21 ） 【教辅同类题型原题对比】【教辅同类题型原题对比】奥数精讲与测试九年级奥数精讲与测试九年级 P127P127 三角形的“四心”A 卷第 3 题原题： 如图，ABC中，90C，A和B的 平分线相交于 P 点，又PEAB于 E 点， 若4BC ，6AC ，则AE EB=.(答案：答案：12) 【原题难度】【原题难度】 【原题一流初中常见性】【原题一流初中常见性】 【自招重要性】【自招重要性】 【点评】【点评】此题涉及两个拓展的方向，一个是三角形的此题涉及两个拓展的方向，一个是三角形的“四心四心”，一个是，一个是“切线长定理切线长定理”。 【补充延伸】【补充延伸】 三角形外心：三角形外接圆圆心。到三个顶点距离相等，是三边中垂线交点。三角形外心：三角形外接圆圆心。到三个顶点距离相等，是三边中垂线交点。 三角形内心：三角形内切圆圆心。到三边距离相等，是三个内角平分线的交点。三角形内心：三角形内切圆圆心。到三边距离相等，是三个内角平分线的交点。 三角形重心：三角形三条中线交点。到顶点距离是它到对边中点距离的三角形重心：三角形三条中线交点。到顶点距离是它到对边中点距离的 2 2 倍。倍。 三角形垂心：三角形三条高线交点。有六组四点公园及三组相似三角形。三角形垂心：三角形三条高线交点。有六组四点公园及三组相似三角形。 尹 充 9 9. 有一张矩形纸片 ABCD，其中6AD ，上面有一个以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，如图 （甲）， 将它沿着DE折叠，使A点落在BC上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是 _ 甲乙 【考点梳理】【考点梳理】组合图形面积，图形的运动-翻折，直角三角形性质。 【课本链接【课本链接】本题结合的知识点主要涉及六上圆和扇形本题结合的知识点主要涉及六上圆和扇形，七上图形的运动七上图形的运动，八上的直角三角形性质八上的直角三角形性质，但算是与但算是与 初中课内知识及中考相应知识点考察难度结合较为紧密的一题初中课内知识及中考相应知识点考察难度结合较为紧密的一题。 【解法分析】【解法分析】如右图，AD=2CD，90C，则FDODAC30 得120FOD，3 4 9 3 OFDOFD SSS 扇阴 【自招真题类比】【自招真题类比】（2012 华二）如图，在矩形 ABCD 中，2AE=BE， 将ABE，DEC分别沿 BE，EC 翻折， 15AED，求ECB=_ （答案：5 .37） 【教辅同类题型原题对比】【教辅同类题型原题对比】“领先一步领先一步 20152015 上海中考一模真题上海中考一模真题”2015 年上海市宝山区嘉定区中考模拟第 18 题：如图，在矩形ABCD中，AD15，点E在边DC上，联结AE，ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F 作FGAD，垂足为G如果AD3GD，那么DE_（答案：53） 【原题难度】【原题难度】 【原题一流初中常见性】【原题一流初中常见性】 【自招重要性】【自招重要性】 【点评】【点评】图形的平移、翻折、旋转都是上海中考图形的平移、翻折、旋转都是上海中考 1818 题命题的常见题型。此题一字题命题的常见题型。此题一字 不改作为二模或中考不改作为二模或中考 1818 题原题也未尝不可。但此类题目在一般同步的教辅书内教难找到，主要是因为七年级题原题也未尝不可。但此类题目在一般同步的教辅书内教难找到，主要是因为七年级 上学习上学习“图形的运动图形的运动”章节时章节时，尚未学习尚未学习“全等三角形全等三角形、四边形四边形、相似三角形相似三角形、锐角三角比锐角三角比”等等，然后学到后然后学到后 面四章时面四章时，练习的重点往往又是概念练习的重点往往又是概念、性质性质、判定的熟悉与巩固判定的熟悉与巩固。因此需要综合复习时针对性专题讲解因此需要综合复习时针对性专题讲解、练习练习。 【补充延伸】【补充延伸】关于自招的三角比与面积，有四个高一公式需要学会基本应用：关于自招的三角比与面积，有四个高一公式需要学会基本应用： 正弦定理： CB b A a sin c sinsin bc ac A 2 b cos 222 余弦定理： CabSsin 2 1 三角形面积： BA BA BA tantan1 tantan )(tan 两角和差正切公式： BA BA BA tantan1 tantan )(tan 尹 充 10 10. 如图边长为5的圆内接正方形ABCD中，P 为CD的中点，连接AP并延长交圆与点E，则DE的长为 _ 【考点梳理】【考点梳理】相似三角形、圆周角定理。 【课本链接】【课本链接】本题的初中切入点可以是在九上的相似三角形，也可以是拓展本题的初中切入点可以是在九上的相似三角形，也可以是拓展2.22.2 与圆有关的角。与圆有关的角。 【解法分析】【解法分析】解法一（圆周角定理）：解法一（圆周角定理）：联结 AC、DE，由圆周角定理得EDPCAP，则EDPCAP， 所以 DP DE AP AC 得出 DE=10 解法二（正弦定理）：解法二（正弦定理）：联结 AC、DE，由圆周角定理得45ACDAED，由 2 1 tanDAE 得 5 5 sinDAE，在ADE中，由正弦定理得 DAE DE AED AD sinsin 得出 DE=10 解法三（相似）解法三（相似）（此方法不超纲）：如左图，设x FPOO，又 OE=5、 2 5 OPFO，得 2 2 x 2 25 EO, 2 5 x 2 25 2 2 FE。由ADPEFP得， 2 DP AD PF EF ，即2 x 2 5 x 2 25 2 2 ，得 2 1 x （负舍）,则勾股定理得： 1013 222 2 EFPFDPDE 解法四解法四（解析法解析法）：以圆心 O 为坐标原点建立坐标系，圆的解析式为 2 25 x 22 y，直线 AP 解析 式为 4 5 x 2 1 y，则交点 P 为 2 1 2 7， ，又 D 为 2 5 , 2 5， ，则 DE=10 尹 充 11 【自招真题类比】【自招真题类比】（2015 复附）如图，ABC内接于圆O，ABBC，AOBC，垂足为D。 （1）求证：ABC是等边三角形； （2）若1AB ，P是劣弧上的动点（点P与B、C不重合），PA交BC于点E，设AEx，EPy，求y关于x 的函数关系式，并写出自变量x取值范围； （3）在（2）的前提下，令PAC，APC，当y取何值时， 22 sinsin1。 (答案：（答案：（1）略（）略（2） 2 13 1 2 x yx x （3） 3 6 y ) 【教辅同类题型原题对比【教辅同类题型原题对比】 奥数精讲与测试奥数精讲与测试九年级九年级 P104P104 和圆有关的比例线段 A 卷第 6 题原题：如图，AB 为O的直径，弦AC、BD相交于点 P，若3AB ，1CD ，则APD的正弦值为。 （答案：（答案： 3 22 ） 【原题难度】【原题难度】 【原题一流初中常见性】【原题一流初中常见性】 【自招重要性】【自招重要性】 【点评【点评】如果备考较好高中自招如果备考较好高中自招，圆周角定理圆周角定理、圆幂定理都是需要掌握的圆幂定理都是需要掌握的。另外本题中的正弦定理用途也较广另外本题中的正弦定理用途也较广， 尤其强调的是解法四尤其强调的是解法四“解析法解析法”，可能是了解圆的方程如何表达的同学首先能想到的可能是了解圆的方程如何表达的同学首先能想到的，在在“解析法解析法”蕴含的思蕴含的思 想中，大多规则又确定的位置关系里，点的坐标都是可以计算出的。想中，大多规则又确定的位置关系里，点的坐标都是可以计算出的。 【补充延伸】【补充延伸】关于自招圆的题型，有以下知识点需要补充：关于自招圆的题型，有以下知识点需要补充： 同弧所对的圆周角相等，且是其所对圆心角的一半。同弧所对的圆周角相等，且是其所对圆心角的一半。 切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理。切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理。 四点公园的两种证法及应用。四点公园的两种证法及应用。 尹 充 12 11. 如图，在梯形ABCD中，ABCD，ACBD、相交于点O，若6,8ACBD，中位线长为 5，AOBV的 面积为 1 S，CODV的面积为 2 S，则 12 SS_ 【考点梳理】【考点梳理】相似三角形、梯形。 【课本链接】本题结合了九上的相似三角形及八下的梯形【课本链接】本题结合了九上的相似三角形及八下的梯形。 【解法分析】【解法分析】如右图作 BD/AC 交 DC 延长线于点 E，则 BE=AC=6,CE=AB, 得 DE=10，易证 ABDBCE SSDBE ，90， 则24 2 86 BDEABCD SS梯形，因为 OC AO OD BO 则 DOC AOD AOD ABO S S S S （此为梯形重要结论）,则 21 SSS AOD ， 又 BOCAOD SS ，则 2 212121 2SSSSSSS ABCD 梯形 ， 又24 ABCD S梯形，则 12 SS62。 【自招真题类比】【自招真题类比】（2016复附）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，CDAB，设 E、F 分别是 AC、BD 的 中点，AC 与 BD 交于点 O，已知OEF 是边长为 1 的正三角形，BOC 的面积为 15 3 4 ，则梯形 ABCD 的面 积为_. 316答案： 【教辅同类题型原题对比【教辅同类题型原题对比】 奥数精讲与测试奥数精讲与测试八年级八年级 P75P75 梯形 C 卷第 2 题原题：如图 112，在梯形 ABCD 中， ABCD。设 S梯形ABCD=S，SAOD= S1，SDOC= S2，则 12 SS S =_ （答案：（答案：1） 【原题难度】【原题难度】 【原题一流初中常见性】【原题一流初中常见性】 【自招重要性】【自招重要性】 【点评【点评】八年级学梯形的时候八年级学梯形的时候，由于没讲过相似由于没讲过相似，一般老师不会讲这个题型一般老师不会讲这个题型，九年级学完相似之后九年级学完相似之后，这个题型这个题型 也不是相似考察的重点，知识点穿插是大部分学生接触不到此类题目的重要原因，很多几何题型都是如此。也不是相似考察的重点，知识点穿插是大部分学生接触不到此类题目的重要原因，很多几何题型都是如此。 尹 充 13 12. 如图，梯形ABCD的面积为 2 43cm，,AEBF CE与DF相交于O，CODV的面积为 2 16cm，则阴影部分 面积是_ 【考点梳理】【考点梳理】代几综合（从不方法出发对应的考点不同） 【课本链接【课本链接】可以看成同上题一样结合了九上的相似三角形及八下的梯形可以看成同上题一样结合了九上的相似三角形及八下的梯形，也同上题一样如果八年级学梯形时也同上题一样如果八年级学梯形时 候练习却又可能没学相似候练习却又可能没学相似。但本题还可以从。但本题还可以从“割补法割补法”和和“特殊法特殊法”等思想出发。等思想出发。 【解法分析】解法一：【解法分析】解法一：首先推荐“特殊法” 由于此梯形并未说明和限制为何种梯形，而梯形可以无限接近于 正方形，且又不存在条件之间的矛盾，因此，将此题条件改为 正方形得出的答案理应相同。则易得：43 CDBC 又16 COD S，则 43 4332 OG，所以 CODCEDOED SSS 2 11 43 4311 43 2 1 22 OGCDBCCD ，所以112 OED SS阴 解法二：解法二：作DAEG 于 G，设梯形高为 H，EG 为 h，则 h BCAD SS BCFADE 2 hH BCAD SS BCEADF 2 两式相加得：43 2 H BCAD SSSS BCEADFBCFADE 则16 CODEOFBCFADE SSSS，所以1116243 阴 S 【自招真题类比【自招真题类比】（20142014 上中上中）如图，D、E 分别为ABC 的底边所在直线上的两点，DB=EC，过 A 作直线 l， 作 DMBA 交 l 于 M，作 ENCA 交 l 于 N.设ABM 面积为 1 S，ACN 面积为 2 S，则（） A. 1 S 2 SB. 1 S= 2 SC. 1 S 2 S （答案：（答案：B B）（此题亦可假定（此题亦可假定 MN/BCMN/BC） 尹 充 14 【教辅同类题型原题对比】【教辅同类题型原题对比】奥数精讲与测试八年级奥数精讲与测试八年级 P111P111 面积问题与面积方法 C 卷第 8 题原题： 如图 250，在四边形 ABCD 中，DE=EF=FC，AG=GH=HB，则 S四边形EFHG： S四边形ABCD=_。 （答案：1:3） 【原题难度】【原题难度】 【原题一流初中常见性】【原题一流初中常见性】 【自招重要性】【自招重要性】 【点评】【点评】抽象到具体的转化，用具体的情况来处理抽象的问题。高中压轴题常用思想。抽象到具体的转化，用具体的情况来处理抽象的问题。高中压轴题常用思想。 13. 每年“五一节”前三天，建平中学组织高一年级学生开展“南京社会实践考察”活动，其中在第二天生存体验 活动中，有三个班级购买“野生生存训练营”的门票。门票规定如下：个人票：每人 20 元；团体票（满 30 人） ： 每人 18 元，另每 30 人优惠 1 人免票（不足 30 人的余数不优惠）。若高一（1） （2）