03Westergaard复变函数方法

第三讲应力强度因子的求解 与Westergaard方法,坐标系转动 角的情形,由应力函数 计算应力强度因子 ，,不必先求得应力场,而只要复应力函数微商,由复应力函数求K的例子,情况I,情况II,情况III,叠加,添加了与刚体位移有关的无应力项,记,应力强度因子(SIF)的求解方法概述,人们已经发展了多种方法求解应力强度因子SIF(Stress Intensity Factor)， 解析方法、数值方法和实验方法。 在解析方法中，Westergaard方法、权函数法、积分变换法，这些方法一般只能求解某些简单构形的问题。 数值方法有有限元法、边界元法、边界配位法等。 实验方法有光弹性法、能量释放率法等。本节只简单介绍几种解析方法。,Westergaard方法,对于一般的二维平面问题，需要求解两个KolosovMuakhelishvili解析函数 和 。 而对于纯型和纯型问题，Westergaard发现只需要求解一个解析函数 ，称为Westergaard函数。,Westergaard方法的裂纹解,容易证明，双调和函数 可以用三个调和函数 ， 与 表示,对称的裂纹，westergaard假设,对于对称或反对称受载情况,可取,为一解析函数,称为westergaard复应力函数，,I型裂纹,平面应变,不难发现,反对称（剪切）载荷,平面应变,取,纵向剪切作用的裂纹,这里 作为 的解析函数,例子,一，单向均匀拉伸的Griffith裂纹,二，双向均匀拉伸,三，均匀内压,四，半无线裂纹在其一部分表面上受力,五，远处均匀剪切的Griffith裂纹,六，反平面裂纹问题,这些 是怎样确定的，Westergaard方法中并没有给出一定的步骤，不如Muskhelishvili方法系统和直接,Westergaard应力函数,I型,寻求满足所有边界条件的应力函数,（1）,（2）,（3）,轴上,（一）,典型的张开型问题,选取应力函数,坐标原点移到裂纹右尖端处，取,（二）在2a1内均匀分布的压力,利用叠加原理,（三）,(i) 当 ,它满足问题的全部边界条件,(ii) 在裂纹面上,全x轴上,(iii),(vi) 附近， 有奇异性,右端A,左端B,集中力 作用在裂纹中点，取,本例相当于裂纹面任一点作用单位载荷的基本解,表面上有任意的分布载荷 作用,Westergaard方法,考虑如图所示的型对称平面问题。沿轴 上有若干个直裂纹，且外载关于 轴对称。再对称轴 上的对称条件表示为：,利用了在实轴 上的 关系式,Westergaard方法,由于上式在整个实轴上都成立，根据柯西-黎曼关系，有： 因为 在除裂纹以外的整个平面上解析，而且在整个实轴上等于实常数A。由解析延拓可得：,若记为 型问题的Westergaard函数，则应力和位移分量由Westergaard函数表示为,建立了在对称问题中两个解析函数 和 之间的关系,Westergaard方法例子,在双轴拉伸下含中心裂纹的无限大板情况。自由裂纹表面的边界条件可表述为： 可得：,在无穷远处得边界条件： 从而得到该问题的Westergaard函数为：,为裂纹半长,通解为：,和 分别为无穷远处沿 和 方向上的均匀拉力,当 时，为等轴拉伸情况,Westergaard方法例子,应力场和位移场由此都可以得到。裂纹上下表面的张开位移为：,在裂纹尖端处的应力强度因子为： 得到：,即为前文求能量释放率时的表达式,说明横向应力并不影响裂纹张开位移和应力强度因子。,(表达式中没有横向应力 项),Westergaard方法例子,对于型问题，Westergaard函数定义为： 对应的应力、位移和SIF表示为：,对于含中心穿透裂纹无限大板受远场均匀剪应力 的情况，利用类似于型问题的求解步骤，可求出：,为待定的实常数,Westergaard方法小结,对于一般的二维裂纹问题，可以用KolosovMuakhelishvili的方法程序性地求解应力和位移场以及应力强度因子，但这种方法求解过程需要数学的技巧。 对于某些特殊情况，可以采