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Chap5 数字滤波器,本章主要内容 引言 数字滤波器的结构 无限长单位脉冲响应数字滤波器的设计 有限长单位脉冲响应数字滤波器的设计 FIR数字滤波器与IIR数字滤波器的比较,5.1 引言,数字滤波器的概念 .滤波器：指对输入信号起滤波作用的装置。 2.当输入、输出是离散信号，滤波器的冲激响应是单位抽样响应 h（n）时， 这样的滤波器称作数字滤波器。,对其进行傅氏变换得:,5.1 引言,一、DF按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通， 其特点为： （1）频率变量以数字频率 表示， ， 为模拟角频率，T为抽样时间间隔； （2）以数字抽样频率 为周期； （3）频率特性只限于 范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。,5.1 引言 (续),二、数字滤波器的性能要求,这里， 为通带截止频率 为阻带起始频率,通带,阻带,过渡带,平滑过渡,5.1 引言 (续),三、DF频响的三个参量 1、幅度平方响应 2、相位响应,3、群延迟,它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时， 就是表示每个频率分量的延迟相同。,5.1 引言 (续),四、DF设计内容 按任务要求确定Filter的性能指标； 数字逼近用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求；IIR滤波器的系统函数是 的有理函数，FIR滤波器的系统函数是 的多项式 选择适当的运算结构实现这个系统函数； 通过模拟，验证所设计的系统是否符合给定性能要求；,5.2 数字滤波器的结构,数字滤波器的表示方法： 系统函数： 差分方程：对上式进行z反变换，得到：,5.2 数字滤波器的结构（续）,滤波器的功能与实现 滤波就是对输入序列 x(n)进行一定的运算操作,从而得到输出序列. 实现滤波从运算上看,只需三种运算：加法、单位延迟、 乘常数。 数字滤波器的结构表示法 1.方框图法： 方框图法简明且直观，其三种基本运算，如下图所示：,单位延迟,乘系数,相加,5.2 数字滤波器的结构（续）,5.2 数字滤波器的结构（续）,2.信号流图法 三种基本的运算： 单位延时：,乘系数：,求和：,5.2 数字滤波器的结构（续）,5.2 数字滤波器的结构（续）,一、无限长冲击响应数字滤波器结构 IIR滤波器特点： 单位冲激响应h（n）是无限长的。 系统函数H（z）在有限Z平面（ ）上有极点存在。 结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。 基本结构 1.直接I型 （1）系统函数 （2）差分方程,5.2 数字滤波器的结构（续）,（3）结构流程图,按差分方程可以写出,5.2 数字滤波器的结构（续）,（4）特点 第一个网络实现零点，即实现x(n)加权延时: 第二个网络实现极点，即实现y(n)加权延时:,可见，第二网络是输出延时，即反馈网络。 *共需（M+N）个存储延时单元。,5.2 数字滤波器的结构（续）,2.直接型,5.2 数字滤波器的结构（续）,对以上两式进行z变换，,则：,令：,则:,5.2 数字滤波器的结构（续）,3.级联型 先将系统函数按零、极点进行因式分解,其中，pk为实零点，ck为实极点；qk，qk*表示复共轭 零点，dk ，dk*表示复共轭极点，M=M1+2M2，N=N1+2N2,5.2 数字滤波器的结构（续）,再将共轭因子展开，构成实系数二阶因子， 则得,为了方便，分子取正号，分母取负号；这样，流图上的系数均为正。,最后，将两个一阶因子组合成二阶因子（或将一阶因子看成 是二阶因子的退化形式），则有,5.2 数字滤波器的结构（续）,当（M=N=6）时,Z-1,Z-1,5.2 数字滤波器的结构（续）,特点：,仅影响第k对零点，同样,仅影响第k对极点，便于调节滤波器的频率特性。,所用的存储器的个数最少。,注意：*如果有奇数个实零点，则有一个,同样，如果有奇数个实极点，则有一个,*通常M=N时，共有（N+1）/2节，符号(N+1)/2 表示取（N+1)/2的整数。,5.2 数字滤波器的结构（续）,4.并联型,将H（Z）展成部分分式形式:,其中，,均为实数，,与,复共轭,当MN时，不包含,项；M=N时，该项为G。,5.2 数字滤波器的结构（续）,当M=N时，将两个一阶实极点合为一项，将共轭极点化成实系数二阶多项式，H（Z）可表为,当N为奇数时，包含一个一阶节，即,5.2 数字滤波器的结构（续）,例：M=N=3时，为奇数，故,所以：,5.2 数字滤波器的结构（续）,5. 转置定理,如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将输入 和输出交换其系统函数仍不改变。,（原网络）,5.2 数字滤波器的结构（续）,（转置后的网络）,5.2 数字滤波器的结构（续）,二、有限长冲击响应数字滤波器结构,h(n)为一个N点序列，Z=0处为（N-1）阶极点，,特点： 1）h（n）在有限个n值处不为零。 2）H（z）在,3）非递归结构，,处收敛，极点全部在Z=0处。,5.2 数字滤波器的结构（续）,基本结构 1. 横截型（卷积型、直接型）,它就是线性移不变系统的卷积和公式,5.2 数字滤波器的结构（续）,用转置定理可得另一种结构,2.级联型,将H（Z）分解为实系数二阶因子的乘积形式,5.2 数字滤波器的结构（续）,注：N/2表示取N/2的整数部分，如,*N为偶数时，N-1为奇数，这时因为有奇数个根， 所以,*当N为奇数时的结构如下：,中有一个为零。,5.2 数字滤波器的结构（续）,特点：每节结构可控制一对零点。 所需系数,5.2 数字滤波器的结构（续）,3.线性相位的FIR系统网络结构 线性相位特性：滤波器对不同频率的正弦波所产生的相 移和正弦波的频率成直线关系。 线性相位单位取样响应具有如下特性（后面将会看到）,N为偶数时,5.2 数字滤波器的结构（续）,N为奇数时：,线性相位FIR 系统的非递归型实现结构如图所示,5.2 数字滤波器的结构（续）,偶数阶,奇数阶,5.2 数字滤波器的结构（续）,注：当,且N为奇数时,5.2 数字滤波器的结构（续）,4.频率取样型 直接型 由频域取样定理得,FIR系统,IIR系统,FIR DF频率取样结构图,5.2 数字滤波器的结构（续）,5.2 数字滤波器的结构（续）,频率取样结构特点 的零点： 构成一个梳状滤波器。 的极点： 该系统在极点处的频率响应为 ，可看作是一个谐振频率为 的无耗谐振器。 在 处，零极点互消，响应只为 ，故可直接控制滤波器的响应。,5.2 数字滤波器的结构（续）,改进的频率取样结构 1）极点位于单位圆上，系统稳定的允余度为0 2）均为复数，需大量的复数运算，故实际运算复杂 改进方法： 1）在半径 且接近于1的圆上取样，则：,5.2 数字滤波器的结构（续）,2)将每对共轭对称的复根合并为一个二阶网络，使系数均为实数 利用,5.2 数字滤波器的结构（续）,结构图如下：,5.2 数字滤波器的结构（续）,特点： 优点：1）每个二阶节都与频率取样值 相乘，若 ，可省掉一部分二阶节，简化结构。 2）每一部分结构都很规范，设计方便,改进后的系统结构图：,5.2 数字滤波器的结构（续）,5.2 数字滤波器的结构（续）,5.快速卷积,如果， 的长为N1 ，h（n）的长为N2。将 补L-N1个零值点，h（n）补L-N2零值点，只要L N1+ N2-1,就有 由卷积定理得Y（k）=X（k）H（k） 所以有,这样，就可以得到FIRDF的快速卷积结构,5.2 数字滤波器的结构（续）,h(n),L点 DFT,L点 DFT,X(k),H(k),Y(k),L点 IDFT,这里的DFT和IDFT均可以利用FFT算法。,快速卷积型结构的特点时可进行高速处理，适合宽带 雷达信号的实时数字滤波,5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计,一、 IIR数字filter的设计方法 1、借助模拟filter的设计方法 （1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标； （2）按转换后技术指标,设计模拟低通filter的 ； （3）将 （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通AF的技术指标 2、计算机辅助设计法（最优化设计法） 先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，最大误差最 小准则等，然后在此准则下 ， 确定系统函数的系数。但 这种方法需要大量的迭代运算。,5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计,二、 将DF的技术指标转换为ALF的技术指标 1.意义 AF的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；设计图表； 有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。,2.转换举例 例如，一低通DF的指标：在 的通带范围，幅度特性 下降小于1dB；在 的阻带范围，衰减大于15dB； 抽样频率 ；试将这一指标转换成ALF的技术指标。 解：按照衰减的定义和给定指标，则有,假定 处幅度频响的归一化值为1， 即,5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）,这样，上面两式变为,由于 ，所以当没有混叠时，根据关系式 模拟filter的指标为,三、 ALF的设计 ALF的设计就是求出filter的系统函数 Ha(S) ，使其逼近理 想LF的特性，逼近的形式（filter的类型）有巴特沃斯型， 切比雪夫型和考尔型等。而且逼近依据是幅度平方函数， 即由幅度平方函数确定系统函数。 由幅度平方函数确定系统函数 1）幅度平方函数,5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）,由于 所以,其中， 是AF的系统函数， 是AF的频响， 是AF的幅频特性。,5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）,2) Ha（S）Ha（-S）的零极点分布特点 （1）如果S1是Ha（S）的极点，那麽- S1就是Ha（-S） 的极点；同样，如果S0是Ha（S）的零点，那麽- S0就是 Ha（-S）的零点。所以Ha（S） Ha（-S）的零极点是呈 象限对称的,例如： （2）虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为ha（t） 是实数时的Ha（S）的零极点以共轭对存在； （3）虚轴上没有极点（稳定系统）； （4）由于filter是稳定的，所以Ha（S）的极点一定在 左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无此 要求，可取任一半对称零点为Ha（S）的零点。,5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）,3) 由 确定 的方法 （1）求 （2）分解 得到各零极点，将左半面的 极点 归于 ，对称的零点任一半归 。若要求 最小相位延时，左半面的零点归 （全部零极点 位于单位圆内）。 （3）按频率特性确定增益常数。,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）,例6-1 由,确定系统函数 。,解：,所以，极点为 零点为,均为二阶的。我们选极点-6，-7，一对虚轴零点,为 的零极点，这样,由 ，可确定出，,所以 。,因此,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）,2.巴特沃斯低通滤波器 1)幅度平方函数,其中，N为整数，是filter的阶数； 为截止频率。 当 时，则,即,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）,（1）通带内有最大平坦的幅度特性； （2）不管N为多少，都通过 点。,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）,3) 巴特沃斯filter的系统函数,由于 所以其零点全部在 处; 即所谓全极点型，它的极点为,也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布 在巴特沃斯圆上（半径为 ），共有2N点。,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）,取 左半平面的极点为 的极点，这样极点仅有N个，即 其中，常数 由 的低频特性决定。,低阶巴特沃斯滤波器的系统函数已作出表格，见p179-表51,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),3.切比雪夫滤波器 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线：通带和阻带中都是频率 的单调函数。 希望将精度均匀的分布在整个通带或阻带内,切比雪夫滤波器,切比雪夫滤波器：振幅是具有等波纹特性的逼近函数。,分类,切比雪夫型滤波器：幅频特性在通带内是等波纹的， 阻带内是单调的,切比雪夫型滤波器：幅频特性在通带内是单调的， 阻带内是等波纹的,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),切比雪夫型滤波器振幅特性 （a）N=3 (b) N=4,切比雪夫型滤波器振幅特性 （a）N为奇数 (b) N为偶数,切比雪夫型 （a）幅度平方响应,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),：小于1的正数，表示通带内振幅波动的幅度,：截止频率（带宽）（非3dB带宽！通常 ）,：N阶切比雪夫多项式，表达式如下,N为滤波器阶数，极点分布轨迹为椭圆,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),（b）滤波器参数 的确定 的确定 定义通带波纹 ：,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),N的确定 将 代入切比雪夫 型幅度平方响应表达式，得：,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),的确定：,（c）切比雪夫滤波器得极点 共有2N个极点，分布在以 为长轴， 为短轴得椭圆上， N为奇数时，有极点落在实轴上，N为偶数时，无极点落在实轴 上，这里，,切比雪夫滤波器的系统函数,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),4.椭圆滤波器 通带和阻带内都具有“等波纹”振幅特性的滤波器。由于 其振幅特性是由雅可比椭圆函数决定的，故称“椭圆滤波 器”。 5.各种模拟滤波器的比较 1）过渡带陡峭要求： 椭圆滤波器 切比雪夫滤波器 巴特沃斯滤波器,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),最陡,平缓,2）设计的复杂性和对灵敏度的要求：,椭圆滤波器 切比雪夫滤波器 巴特沃斯滤波器,高,低,四、由模拟滤波器设计数字滤波器的方法,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续),AF设计完毕以后，还应将 变换成H(z)，也就是将s平面映射到z平面，通常有三种方法： （1）脉冲响应不变法； （2）阶跃响应不变法； （3）双线性变换法。 需要考虑的两个基本问题 （1）H(z)的频响要模仿 的频响，即s平面的虚轴 应映射到z平面的单位圆上。 （2） 的因果稳定性经过映射后在数字滤波器中应得到保持，即s平面的左半平面映射到z平面单位圆以内。,),S,(,H,a,),S,(,H,a,1.脉冲响应不变法,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续),(1) 变换原理 为DF的单位取样响应序列， 为AF的单位脉冲响应。脉冲响应不变法就是使 正好等于 的抽样值，即 如果 则有 上式表明，先对 沿虚轴作周期延拓，再经过 的映射关系映射到z平面(s平面与z平面的映射关系),),n,(,h,Z,),z,(,H,),t,(,h,L,),s,(,H,a,a,=,=,(2) 混迭失真 DF的频响并不是简单的重复AF的频响，而是AF的频响的周期延拓，即,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续),根据取样定理，只有当AF的频响带限于折叠频率以内时，即 才能使DF在折叠频率 内重现AF的频响，而不产生混叠失真。但是，任何一个实际AF的频响却不是严格带限的，就会产生混迭失真，如下图所示,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续),0,0,注：当滤波器的指标用数字域频率 给定时，不能用减 小T的办法解决混叠问题。 因为：T减小，带域 加宽 但 不变，即 同倍增大,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续),（3）模拟滤波器的数字化,一般方法 ：先 ，再对 抽样，使 方法的简化 设 只有单阶极点，而且分母的阶次大于分子的阶次，,则可展成如下的部分公式：,最后 ，一般说来过程复杂。,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续),因此，,（1）,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续),几点结论 脉冲响应不变法的设计步骤可直接将 写成许多单极 点的部分分式和的形式，然后将各个部分分式用（1）式 代替即可。 s平面的单极点 变为z平面单极点就可求得 。 与 的系数相同，均为 。 AF是稳定的，DF也是稳定的。 s平面的极点与z平面的极点一一对应，但两平面并不一一对应。例如，零点就没有这种对应关系。,修正的H(z) 由于DF的频响与T成反比，当T很小时，DF的增益过高，为此做如下修正：,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续),DF频率响应,例 AF的系统函数为 ，试用脉冲响应不变法，设计IIRDF，T=1 解： 设T=1,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续),（4）逼近情况 稳定性 AF： 极点在s平面的左半平面， DF: 极点在z平面的单位圆内,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续),故：由稳定的AF设计出的DF也是稳定的。,频率特性转换关系 对于稳定系统，根据,通常：在T很小时， 增益很高，可作以下处理： 令：,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续),则：,此时：,（5）优缺点 优点：频率坐标的变换是线性的 ，因此，如果模拟滤波器的频响是限带于折叠频率以内的话，则通过变换后所得到的数字滤波器的频响可以不失真的反映原响应与频率的关系。 缺点：频谱的周期延拓效应，因此，只能用于限带的频响特性。,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续),（6）应用场合： 适用于涉及某些要求在时域上能模仿模拟滤波器功能的DF，这样，可把模拟滤波器时域特性的许多优点在相应的数字滤波器中保留下来。 2 阶跃响应不变变换法(略),5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计(续),数字滤波器的单位阶跃响应等于模拟滤波器的单位阶跃响应的等间隔取样值。,3.转换举例 用脉冲响应不变法设计数字巴特沃斯滤波器， 要求其性能指标为：在 的通带范围，幅度特性 下降小于1dB；在 的阻带范围，衰减大于15dB； 解：A.设计指标的转换 按照衰减的定义和给定指标，则有,假定 处幅度频响的归一化值为1，即,5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）,5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）,这样，上面两式变为,由于 ，所以当没有混叠时，根据关系式 为简便计，假设参数T为1，则 模拟filter的指标为,5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）,B.计算滤波器所需的阶数N和截止频率,巴特沃斯滤波器的形式为,用dB表示则得：,5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）,解方程得,为满足或超过给定指标 取,5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）,C.由求得的 确定s平面上滤波器的极点分布。,可得左半平面的三对极点，其坐标分别为：,D.模拟滤波器的系统函数,5.3 无线长单位脉冲响应数字滤波器设计（续）,E.应用脉冲响应不变法，求得数字滤波器系统函数,4.双线性变换法,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),通常，信号大都为时限的，据信号理论可知，时限信号变换到,频域， 将变成非带限信号，系统也遵循这一原则。这样当用冲激响应不变法设计DF时，不可避免的产生混叠失真。为了克服混叠失真，可采用双变换法。这种方法的基本思想是，先将 S 平面中所设计的非带限的系统函数变换到 平面，并使其为带限的，然后再转换到Z平面。,1）变换原理 在S平面与Z平面的映射关系中,我们知道，S平面中一条宽为 （如 到 ）的横带就可以变换到整个Z平面. 因此，可先将整个S平面压缩到一个中介的 平面的一条横带里，再通过 将此横带变换到整个Z平面上。这样就使S平面和Z平面是一一映射关系。如下图所示：,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),时， 将由 经过0变到,由上图可知，将 S平面进行压缩，实际上，就是将其 轴 压缩到 平面的 轴上的 到 的范围内。这可通过正切变换实现：,其中C为任意常数。由上式可知，当 由 经过0变到,通过欧拉公式，可得：,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),上式表示两个线性函数之比，称作线性分式变换，若用S表示Z，可得：,将上式关系延拓到整个S和 平面，则有：,借助于 平面和Z平面的映射关系： ，可以得到：,可见，也是线性分式变换（函数），这样( )间的变换是双向的，故称作双线性变换,2） S平面与Z平面的映射关系,由于,可得：,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),当 时， ；这就是说，S平面的 轴映射Z平 面的单位圆上。,当 时，上式的分母大于分子，则有 ；这表明S左半平面映射到Z平面的单位圆内。两者均是稳定的。,3)变换常数C的选择,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),由于 ，所以只有当 很小（一般 ）， 和 之间才存在线性关系，即：,如果使AF和DF在低频处有较确切的对应关系，则选择,这时有 ，即,4）双线性变换的特点,b. S平面的虚轴（ ）映射到Z平面的单位圆上。这是因为 时，不管常数C为何值， 均为1,c.稳定的AF，经双线性变换后所得DF也一定是稳定的，这是,因为稳定的AF，其极点必全部位于S的左半平面上，经双线性变 换后，这些极点全部落在单位圆内。,d.其突出的优点是避免了频响的混叠失真。说明如下：,将 代入双线性变换公式，且 则,a.模拟滤波器 中的最大和最小值将保留在数字滤波器 中，因此模拟滤波器的通带或阻带变换成数字滤波器的通带和阻带。,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),即,亦即,从 时，则 从 ；这就是说，S平面的正 虚轴被映射到Z平面的单位圆的上半部,从 时，则 从 ；这就是说，S平面的负 虚轴被映射到Z平面的单位圆的下半部,也就是说，从S平面到Z平面，频率轴是单位变换关系，而且当,为折叠频率，所以不会有高于折叠频率,的分量，因此不会产生混叠失真。,变。只有能容忍或补偿这种失真时，双线性变换法才是实用的。,e.频率的非线性失真,从 的关系曲线可以看出，在零频附近， 与 之 间的变换关系近似于线性，随着 的增加， 表现出严重 非 线性 。因此，DF的幅频响应 相对于AF的幅频响应会产生畸,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),5) 模拟滤波器的数字化,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),直接代入法,只需将 代入AF系统函数 就可 得到 DF的系统函数 ，即,频率响应也可用直接置换得到：,未变换前，可将模拟系统函数分解成并联或级联子系统函数， 然后在对每个子系统函数分解进行双线性变换，如：,并联形式与上述类似.,5.3 无限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),IIR数字滤波器的频率转换,由低通滤波器设计其他类型的数字滤波器如BF、HF、BS等。设计方法： 将归一化原型模拟低通 所需要的AF DF 由模拟低通原型 所需要的DF（不能用冲激响应不变法） 由模拟低通原型 数字LF 所需要的DF,冲激响应不变法,双线性变换法,频率转换,冲激响应不变法,双线性变换法,频率转换,IIR数字滤波器的频率转换（续）,一、由模拟低通原型 所需的AF 所需的DF （1）数字带通滤波器的设计 模拟低通（LF） 模拟带通（ABF） 数字带通（DBF） ALF ABF的转换 设ALF: ABF:,冲激响应不变法,双线性变换法,IIR数字滤波器的频率转换（续）,二者变量之间的转换关系： 二者频率之间的转换关系： : 带通滤波器的几何中心频率,映射关系：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,将上述映射关系代入,得：,BF带宽,带通模拟滤波器得几何中心角频率。B定义为带通滤波 器的带宽，与相应的低通滤波器的带宽相等，而在频率 处的幅度响应相当于 处的低通响应。,IIR数字滤波器的频率转换（续）,小结：由ALF设计ABF的步骤： 1、根据实际要求定出 ，其中截止频率 2、变量替换得到ABF： ABF DBF的转换 利用双线性变换法将 代入 得：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,直接由ALF设计DBF： 利用双线性变换法中，模拟角频率与数字角频率的关系： 代入（c），（d）,（e）,IIR数字滤波器的频率转换（续）,分别将（e）、（f）、（g）代入p，整理后得 数字带通与模拟低通变量之间的转换关系： 注意：DBF的极点是ALF的两倍！,这里，,IIR数字滤波器的频率转换（续）,数字带通与模拟低通频率之间的转换关系： 令： 代入p得： 数字带通与模拟低通系统函数之间的转换关系：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,例：要求设计一个数字带通滤波器，取样频率为2kHz，技 术指标为：带通范围300Hz400Hz，在此两点处的衰减小于3dB，在200Hz和500Hz频率处的衰减大于18dB，采用巴特沃斯滤波器。,IIR数字滤波器的频率转换（续）,根据 （a）计算D、E,IIR数字滤波器的频率转换（续）,（b）确定模拟低通 设：模拟低通滤波器的阻带起始频率为 选择 使其截止特性更好。 数字频率400Hz处保证衰减小于3dB的模拟角频率为,IIR数字滤波器的频率转换（续）,模拟低通滤波器巴特沃斯幅度响应如下： 解得 故选择二阶巴特沃斯滤波器系统函数,IIR数字滤波器的频率转换（续）,（c）由模拟低通确定数字滤波器 根据 得 ：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,（2）数字带阻滤波器的设计 模拟低通（LF） 模拟带阻（ABRF） 数字带阻（DBRF） ALF ABRF的转换 二者变量之间的转换关系： 令： 二者频率之间的转换关系： ：带阻滤波器的几何中心频率,IIR数字滤波器的频率转换（续）,映射关系：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,将上述影射关系代入式 得,两式相加减得：,阻带宽度！,IIR数字滤波器的频率转换（续）,小结：由ALF设计ABRF的步骤： 1、根据实际要求定出 。其中截止频率 2、变量替换得到模拟带通滤波器ABRF ABF DBRF的转换 利用双线性变换法得 ，代入 得：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,直接由ALF设计DBRF 变量之间的转换关系： 将 代入，并利用中心频率与边界频率之间的 关系得：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,其中： ALF DBRF系统函数的转换关系： 可见：DBRF的极点是ALF的两倍！ ALF DBRF频率之间的转换关系：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,（3）数字高通滤波器的设计 模拟低通（LF） 模拟高通（AHF） 数字高通（DHF） ALF AHF的转换 二者 变量之间的转换关系： 令： 代入上式得 二者频率之间的转换关系： ：高通滤波器的通带起始频率,IIR数字滤波器的频率转换（续）,注意：若令 反向映射！,IIR数字滤波器的频率转换（续）,小结：由ALF设计AHF的步骤： 1、根据实际要求定出 ，其中截止频率 2、变量替换得到模拟高通滤波器AHF AHF DHF的转换 利用双线性变换法将 代入 得：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,直接由ALF 设计DHF 变量之间的转换关系： 其中： ALF DHF 系统函数的转换关系： 可见：DHF 的极点与ALF 个数相同！,IIR数字滤波器的频率转换（续）,令： ALF DHF频率之间的转换关系： 例题：设计一个二阶巴特沃斯数字高通滤波器，取样频率 ，3dB截止频率为 解：选择二阶巴特沃斯模拟原型（此时可设 ）,IIR数字滤波器的频率转换（续）,则： 注 ：本题在选用模拟巴特沃斯滤波器系统函数时，也可不用原型，计算是可带着 一起做，在变量替换过程中可消掉。,IIR数字滤波器的频率转换（续）,AF DF 的频率变换公式,IIR数字滤波器的频率转换（续）,二、直接由数字低通滤波器转换成其它类型的数字滤波器 已知数字滤波器 ，复变量：z 要求设计一个数字滤波器 ，复变量：Z 方法：直接在数字域内完成设计 设：从z平面到Z平面的映射关系： 则：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,在满足下述条件时，可以保证由一个因果、稳定和有理的系统经映射后仍然是因果、稳定和有理的。即： 是 的有理函数 z平面单位圆内映射到Z平面的单位圆内 设： 分别代表 z和Z平面的数字角频率 即 代入 得： 由上述条件得,IIR数字滤波器的频率转换（续）,满足上述关系的 一般表达式 当 时 ，系统稳定。 选择适当的 ，可以得到一系列的变换。 例：取 ，可以得到低通到低通的变换 变量映射关系 频率映射关系,IIR数字滤波器的频率转换（续）,由频率映射关系，得 不同的 ，得到不同的关系曲线 可由以下计算得到： 分别表示两个滤波器的截止频率。,IIR数字滤波器的频率转换（续）,可见，由数字低通到数字低通的设计公式为 其它类型的数字滤波器的设计公式见p210表5-4,完！,直接设计IIR数字滤波器（续）,直接设计IIR数字滤波器 IIR数字滤波器的频域直接设计 1、点阻滤波设计 采用零极点累试法。用于简单的、要求不高的一二阶数字滤波 器设计。 例：要求设计一点阻滤波器，指标如下：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,设计思想： 1、 的分子部分应有两个因式，分别为 2、要保证 在其他频率点处的幅频特性为1，应有两个极点在零点附近，可与零点抵消。 故：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,一个由三对共轭极点和三对共轭零点组成的点阻滤波系统， 零、极点分布如下：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,局部分布图 所配置的极点坐标,IIR数字滤波器的频率转换（续）,滤波器的系统函数： 其中：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,对应的差分方程 注： 选取对频率响应影响不是很大，通常取 对频率响应影响很大， 越小，越接近理想。 太小，有舍入误 差影响。 此方法用于设计简单的数字低通。将零极点位置互换，可设计数字高通。,IIR数字滤波器的频率转换（续）,2、幅度平方函数设计 设：数字滤波器系统函数 则：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,注： 而,IIR数字滤波器的频率转换（续）,将 写为如下形式 为有理三角式 当 时，对应的是巴特沃斯滤波器 当 时，对应的是切比雪夫滤波器 该方法的主要缺点： 需要找 需要因式分解得到零、极点，才能进行解析延拓,IIR数字滤波器的频率转换（续）,IIR数字滤波器的时域直接设计 1、帕德逼近法 设： 为要求设计的滤波器 实际设计出的滤波器为 设计思想： 所设计出的IIR DF 的冲激响应 在 内 逼近所希望的响应 即：能够找到一组 ，使得 最小。,IIR数字滤波器的频率转换（续）,其中， 为加权函数 选择 得到 个线性方程，求出 最小时的 求解 的方法： 设： 由 得： 将 代入得,IIR数字滤波器的频率转换（续）,利用上式左右同幂次系数相等的原则，得到 个方程 例如：设： 则：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,一般形式为 b 写成矩阵形式,IIR数字滤波器的频率转换（续）,我们希望 能充分逼近 ，因此令 1） 代入（b)式。 求解出 2）将 和 代入（a）式，解出 3）将解出的 代入 表达式中，即为所求。 上述过程可以通过矩阵求解。 由此可求解出,IIR数字滤波器的频率转换（续）,小结； 1） 帕德逼近法是用一个有理函数逼近一个幂级数 中的前 项逼近 ，对 以后的各项不予考虑。 2） 帕德逼近法是在时域内进行逼近设计，当希望阻带衰减特性为40db以上时，此方法不易达到要求。,IIR数字滤波器的频率转换（续）,2.波形形成滤波器 作用： 用来产生与输入波形相对应的输出波形。 例：一波形形成滤波器时域技术条件为所需的输出波形 输入波形取样 解：根据输入输出要求得：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,则系统的差分方程 可见：输入 ，输出 时，差分输出共有 。 现要求设计输出少于 项，但又能足够逼近所需输出波形的波形形成滤波器。 前提：在舍去某些项后，系统稳定性不变。,IIR数字滤波器的频率转换（续）,设计步骤： （1）求DF的 设： 输入波形的取样序列 项 实际输出波形的取样序列 项 希望的输出序列 即： 其中： 的长度 ： 应满足使输出 最佳逼近 ，使 最小。,IIR数字滤波器的频率转换（续）,令： 则： 解出 （2）根据 利用帕德逼近法，确定相应的滤波器系数 例：要求确定四项滤波器 系统函数,IIR数字滤波器的频率转换（续）,IIR数字滤波器的频率转换（续）,由帕德逼近法求解系数,IIR数字滤波器的频率转换（续）,极点： 稳定 实际输出与希望输出足够逼近。,IIR数字滤波器的计算机辅助设计,IIR数字滤波器的计算机辅助设计（优化技术设计） 当所设计的DF为任意频率响应时，不存在具体解析算法。通常在某种最小化误差准则下，用计算机解线性或非线性方程组来确定滤波器系数。 （1）最小均方误差法（频域内设计） 原理：设所要求的滤波器频率响应为 在 处的值已知，实际设计出的频率响应为 ，则二者在 的均方误差：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,设计准则：使E最小。 令 共有K个二阶节，每个二阶节有 四个未知数。 中共有（4K+1）个未知数。 令 则：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,令 解出（4K+1）个未知数，代入 即为所求。 注： 这种最小化算法对零、极点位置没有限制，对设计出的滤波器中每一个二阶因子进行检查，若有极点在单位圆外，可用其倒数代替，一方面保持滤波器的幅度形状不变，同时可继续进行优化处理，使E进一步最小化。,IIR数字滤波器的频率转换（续）,（2）最小P误差法推广的最小均方误差法（频域内设计） 要求设计一个IIRDF，逼近所要求的幅频响应 ，则P误差准则公式如下： ：表示幅度加权函数 时，为最小均方误差函数 与前面方法相同，解出使误差最小的（4K+1）个未知数即可。可以证明： 当 且 时， 存在最小值，且所设计的滤波器稳定。,IIR数字滤波器的频率转换（续）,（3）最小平方逆设计（时域内设计） 原理：对所求滤波器的逆滤波器进行最小平方逼近 逆系统定义： 若 反之 称 为 的逆系统。,IIR数字滤波器的频率转换（续）,现要求设计一个滤波器 ，并且已知 的L个值。 假设实际设计出的滤波器为： 设计准则是使 最佳逼近 ， 方法： 将 则,IIR数字滤波器的频率转换（续）,要使 即： 当 时， 当 时，希望 即希望 最小。 将 代入上式得：,IIR数字滤波器的频率转换（续）,此时： 求解使E最小的 值即为所求。 令： 得到N个方程组，求出相应的 。,一、概述 1.,5.4 有限长单位脉冲响应数字滤波器设计,IIR DF的特点 1）DF的设计依托AF的设计，有图表可查，方便简单。 2）相位的非线性 H（Z）的频响： 其中， 是幅度函数， 是相位函数。 通常， 与 不是呈线性的，这是IIR filter （无限长响应滤波器）的一大缺点。因此限制了 它的应用，如图象处理，数据传输都要求信道 具有线性相位特性。 3）用全通网络进行相位校正，可以得线性特性。,2、FIR DF的特点 1) 单位抽样响应h（n）是有限长的，因此FIR DF一定 是稳定的。 2) 经延时，h（n）总可变成因果序列，所以FIR DF总 可以由因果系统实现。 3) h（n）为有限长，可以用FFT实现FIRDF。 4) FIR的系统函数是Z-1的多项式，故IIR的方法不适用。 5) FIR的相位特性可以是线性的，因此，它有更广泛的 应用，非线性的FIR一般不作研究。,5.4 有限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),5.4 有限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),二、线性相位FIR DF的特点 1、线性相位的条件 如果FIR DF的单位抽样响应h（n）为实数，而且 满足偶对称h（n）=h（N-1-n），或满足奇对称 h（n）=-h（N-1-n），其对称中心在 处，可证 明filter就具有准确的线性相位。 N又分为偶数和奇数两种情况，所以有4种线性相 位FIR DF，如下所述。,1) N为奇数的偶对称 例如 N=11，对称中心为,5.4 有限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),5.4 有限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),2) N为偶数时的偶对称 例如 N=10，对称中心为,n,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,3) N为奇数时的奇对称 例如，N=11，对称中心为,5,6,7,8,9,10,5.4 有限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),5.4 有限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),4) N为偶数时的奇对称 例如，N=10，对称中心为4.5，,n,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,2.线性相位特点,5.4 有限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),为幅度函数， ，是一个纯实数， 是相位函数，下面分为奇、偶对称两种情况讨论,5.4 有限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),1）h（n）为偶对称情况,也就是,上式两边同时加H（Z），再用2去除得：,5.4 有限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),5.4 有限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),5.4 有限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),所以，这时的幅度函数和相位函数如下所示: 幅度函数为 相位函数为,显然 与 呈正比，是严格的线性相位。,5.4 有限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),5.4 有限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),2） h（n）为奇对称的情况 当h（n）= -h（N-1-n）时，可以通过类似的推导， 得到,所以，其幅度函数和相位函数分别为,5.4 有限长单位脉冲响应数字滤波器设计（续),可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个 900相移，这样就使得通过filter的所有频率都