通信原理及SystemView仿真测试第3章随机过程.ppt

3.1 随机过程的基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程 3.6 正弦波加窄带高斯过程 3.7 高斯白噪声和带限白噪声,第3章 随机过程,3.1.1 随机过程 从数学的角度，随机过程(t)的定义如下：设随机实验E的可能结果为(t)，实验的样本空间S为x1(t), x2(t), , xi(t), ，i为正整数，xi(t)为第i个样本函数(又称为实现)，每次实验之后，(t)取空间S中的某一样本函数，于是称此(t)为随机函数。当t代表时间量时，称此(t)为随机过程，如图3-1所示。,3.1 随机过程的基本概念,图3-1 随机过程的样本函数,3.1.2 随机过程的统计特性 随机过程的统计特性是通过它的概率分布或数字特征加以表述的。 1. 随机过程的概率分布 设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T，其取值(t1)是一个一维随机变量。这个随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数描述。我们称 F1(x1, t1)=P(t1)x1 (3-1) 为随机过程(t)的一维分布函数。如果F1(x1, t1)对x1的偏导数存在，即 (3-2),对于任意时刻t1, t2, , tnT， (t)的n维分布函数定义为 Fn(x1, x2, , xn；t1, t2, , tn)=P(t1)x1, (t2) x2, , (tn)xn (3-3) 同理，如果存在 (3-4),2. 随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性，但在某些场合，还需关心随机过程的数字特征，比如随机过程的数学期望、 方差和相关函数等。在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的 统计特性，更简单、 直观。 1) 数学期望 随机过程(t)的数学期望定义为 (3-5),2) 方差 随机过程(t)的方差定义为 (3-6) 可见，方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻 t 对于均值a(t)的偏离程度。,3) 相关函数 衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的统计相关特性时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。 协方差函数定义为 (3-7),式中： t1与t2是任取的两个时刻；a(t1)与a(t2)是在t1与t2时刻得到的数学期望；f2(x1, x2；t1, t2)是二维概率密度函数。 相关函数定义为 (3-8),由式(3-7)和式(3-8)可得B(t1, t2)和R(t1, t2)之间的关系： B(t1, t2)=R(t1, t2)E(t1)E(t2) =R(t1, t2)a(t1)a(t2) (3-9) 若a(t1)或a(t2)为零，则B(t1, t2)=R(t1, t2)。 由以上分析可见，相关函数与选择时刻t1与t2有关，如果t2t1，且t2=t1+，即t2与t1之间的时间间隔为，则R(t1, t2)可以表示为R(t1, t1+)。这说明相关函数依赖于起始时刻t1及时间间隔，即相关函数是t1和的函数。,上述B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一随机过程的相关程度的，因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差函数及互相关函数。设(t)和(t)分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为 B(t1, t2)=E(t1)a(t1)(t2)a(t2) (3-10) 而互相关函数定义为 R(t1, t2)=E(t1)(t2) (3-11),3.2.1 平稳随机过程的定义 平稳随机过程是通信系统中占重要地位的一种特殊类型的随机过程。所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移而变化，即对于任意选定时刻t1, t2, , tnT和任意正整数n，以及任意值，且x1, x2, , xnR，随机过程(t)的n维概率密度函数满足： fn(x1, x2, , xn；t1, t2, , tn) =fn(x1, x2, , xn；t1+, t2+, , tn+) (3-12),3.2 平稳随机过程,则称(t)为平稳随机过程。该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的，具体到它的一维分布，则与时间 t 无关，而二维分布只与时间间隔有关，即 f1(x1, t1)=f1(x1) (3-13) f2(x1, x2；t1, t2)=f2(x1, x2；) (3-14) 因此，平稳随机过程的数字特征也变得更加简明。平稳随机过程(t)的数学期望 (3-15),为一常数，这表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。同样，可以证明平稳随机过程的方差2(t)=2也是一常数，表示它的起伏偏离数学期望的程度也是常数。而平稳随机过程(t)的自相关函数(如式(3-16)所示)仅与时间间隔=t2t1有关，不再是t1与t2的二维函数，即 (3-16),3.2.2 平稳随机过程的各态历经性 平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性，称为各态历经性。这种平稳随机过程的数字特征(均为统计平均)完全可由随机过程中的任一实现的数字特征(均为时间平均)来决定，即随机过程的数学期望可由任一实现的时间平均值来替代，随机过程的自相关函数也可由任一实现的时间相关函数来替代。也就是说，假设x(t)是平稳随机过程(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为,(3-17) (3-18) 若平稳随机过程使下式成立：,3.2.3 平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度 1. 自相关函数的性质 设(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数R()=E(t)(t+)具有下列主要性质： (1) R(0)=E2(t)=S(t)的平均功率 (3-19) 因为平稳随机过程的总能量往往是无穷的，而其平均功率却是有限的。 (2) |R()|R(0)R()的上界 (3-20) 这一点可由非负式E(t)(t+)20推演得到。,(3) R()=R()R()是偶函数 (3-21) 这一点可由式(3-8)直接得证。 (4) R()=E2(t)(t)的直流功率 (3-22) 因为,(5) R(0)R()=2方差，(t)的交流功率(3-23) 这一点可由定义式(3-6)直接得证。由式(3-19)、 (3-22)和式(3-23)可知，当均值为0时，R(0)=2，即(t)的平均功率等于方差。 综上所述，用相关函数可以表述随机过程(t)的主要数字特征，以上自相关函数的性质具有很大的实用意义。,2. 频谱特性 随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。我们知道，确知信号的自相关函数与其功率谱密度之间有确定的傅里叶变换关系。那么，对于平稳随机过程，其自相关函数是否也与功率谱密度存在这种变换关系呢？ 我们知道，功率型的平稳随机过程中的任一实现都是一个确定的功率型信号。而对于任意的确知功率信号f(t)，设f(t)的截短函数fT(t)(如图3-2所示)的频谱函数为FT()，则它的功率谱密度为 (3-24),图3-2 功率信号f(t)及其截短函数fT(t),设随机过程(t)的某一实现之截短函数T(t)的频谱函数为FT()，则(t)的功率谱密度P()为 (3-25) (t)的平均功率S即可表示为 (3-26),下面我们来推导功率谱密度与相关函数之间的关系，因为,利用二重积分换元法， 令=tt， 则上式可化简为 因此 (3-27) 可见，平稳随机过程(t)的自相关函数R()与其功率谱密度P()之间互为傅里叶变换关系， 即 (3-28),简记为 (3-29) 式(3-28)在平稳随机过程的理论和应用中非常重要，它是联系时域和频域分析方法的基本关系式。 根据平稳随机过程的自相关函数R()的性质，很容易推出它的功率谱密度P()有如下性质： (1) 非负性 P()0 (2) 偶函数 P()=P() 因此，可以定义单边功率谱密度P1()为 (3-30),3.3.1 高斯随机过程的定义 所谓高斯随机过程(t)，是指它的任意n维分布都是正态分布，因此又称之为正态随机过程，其n维概率密度函数为 (3-31),3.3 高斯随机过程,式中: ak=E(tk); 2k=E(tk)ak2; |B|为归一化协方差矩阵的行列式，即 |B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余子式，bjk为归一化协方差函数，且 (3-32),3.3.2 高斯随机过程的重要性质及一维分布 1. 高斯随机过程的性质 (1) 高斯随机过程若是宽平稳的，则也是严平稳的。 由式(3-30)可以看出，高斯随机过程的 n 维分布仅由各随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，如果高斯过程是宽平稳的，即它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的 n 维分布也与时间起点无关，所以，宽平稳的高斯过程也是严平稳的。,(2) 如果高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的。 如果高斯过程中的各随机变量两两之间互不相关，则式(3-32)中，对所有jk，有bjk=0， 故式(3-31)变换为 (3-33),2. 高斯随机过程的一维分布 1) 正态分布的概率密度函数 高斯随机过程在任一时刻的样值是一个一维高斯随机变量，其一维概率密度函数为 (3-34) 式中: a为高斯随机变量的数学期望; 2为方差。f(x)曲线如图3-3所示，称随机过程服从正态分布。,图3-3 高斯过程的一维概率密度函数,由式(3-34)和图3-3可知f(x)具有如下特性： (1) 对称性。f(x)关于直线x=a对称，即有f(a+x)=f(ax)。 (2) 单调性。f(x)在区间(, a)内单调上升，在区间(a, )内单调下降，而且在x=a处，达到最大值 。当x或x+时，f(x)0。,(3) 曲线下的面积为1。f(x)在整个区间(, +)内积分值为1，也就是说，曲线下的面积为1， 即 (4) 分布中心与集中程度。a表示分布中心，表示集中程度，f(x)曲线将随a的变化沿x轴左右平移(分布中心平移)，并随的减小而变高和变窄(更加集中)。当a=0，=1时，称这种正态分布为标准化的，这时有 (3-35),2) 正态分布函数 当需要求高斯随机变量小于或等于任意取值x的概率P(x)时，还要用到正态分布函数。正态分布函数是对其概率密度函数的积分，即 (3-36) 这个积分可以借助一些可在数学手册上查出积分值的特殊函数来表示，一般常用的有以下几种函数：,(1) 概率积分函数和q函数。 概率积分函数定义为 (3-37) q函数定义为 (3-38),对式(3-36)进行变量代换，令新积分变量 ，则 ，利用式(3-37)的概率积分函数，可得 (3-39) 作同样的变量代换，并利用概率密度函数曲线下面积为1的特性，以及式(3-38)的q函数，可得 (3-40),综上可得, 用概率积分函数和q函数表示正态分布函数的关系式为 (3-41),(2) 误差函数和互补误差函数。 误差函数定义为 (3-42) 互补误差函数定义为 (3-43),当xa时，对式(3-35)进行变量代换，令新积分变量 ，则 ，利用式(3-42)的误差函数，可得 (3-44),当xa时，作同样的变量代换，并利用概率密度函数曲线下面积为1的特性，以及式(3-43)的互补误差函数，可得 (3-45),综上可得, 用误差函数和互补误差函数表示正态分布函数的关系式为 (3-46) 由式(3-49)和式(3-46)可以很容易得到这些特殊函数之间的关系： (3-47),误差函数和互补误差函数在以后分析通信系统抗噪声性能时也经常用到，为了方便以后分析， 下面给出它们的主要性质。 误差函数是递增函数，它具有如下性质： erf(x)=erf(x)。 erf(0)=0，erf()=1。 互补误差函数是递减函数，它具有如下性质： erfc(x)=2erfc(x)。 erfc(0)=1，erfc()=0。 当x1时，erfc(x) 。,随机过程通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。众所周知，线性系统响应vo(t)等于输入信号vi(t)与系统单位冲激响应h(t)的卷积，即 (3-48),3.4 平稳随机过程通过线性系统,如果 ， ， ，则有 Vo()=Vi()H() (3-49) 如果线性系统是物理可实现的，则 (3-50) 或者 (3-51),如果把vi(t)看做输入随机过程的一个实现，通过线性系统后，必将获得一个系统响应vo(t)，则vo(t)可看做输出随机过程的一个实现。因此，只要输入有界且系统是物理可实现的，则输入随机过程i(t)与输出随机过程o(t)之间必然满足 (3-52),1. 输出过程o(t)的数学期望Eo(t) 对式(3-52)两边取均值，有 根据平稳性假设，Ei(t)=Ei(t)=a为常数，因此，上式变换为,又因为 令=0，可得 因此，可得 Eo(t)=aH(0) (3-53),2. 输出过程o(t)的自相关函数Ro(t1, t1+) 根据自相关函数的定义，有 根据平稳性假设，Ei(t1)i(t1+)=Ri(+)，则上式变换为 (3-54),3. 输出过程o(t)的功率谱密度 根据随机过程的功率谱密度与其自相关函数之间的关系，即式(3-2)可得,令=+，则上式变换为 (3-55),4. 输出过程o(t)的分布 理论上，在已知输入过程的分布的情况下，通过式(3-52)总可以确定输出过程的分布。 从积分原理来看，式(3-52)可以表示成一个和式的极限，即 (3-56),3.5.1 窄带随机过程的定义 根据上述窄带随机过程的定义，可以得到窄带信号的频谱如图3-4(a)所示，信号的频带宽度为f，中心频率为fc，而且ffc。用示波器观察窄带随机过程的一个实现的波形如图3-4(b)所示，它是一个频率近似为fc，包络和相位缓慢变化的正弦波。,3.5 窄带随机过程,图3-4 窄带信号频谱与波形,因此窄带随机过程可用下式表示： (3-57) 将式(3-57)按三角函数和差化积展开，可得 (t)=a(t)cos(t)coscta(t)sin(t)sinct,故窄带随机过程也可以用下式表示： (t)=c(t)coscts(t)sinct (3-58) 其中 c(t)=a(t)cos(t) (3-59) s(t)=a(t)sin(t) (3-60),3.5.2 同相分量和正交分量的统计特性 1. 数学期望 对式(3-58)两边求均值，可得 E(t)=Ec(t)cosctEs(t)sinct 由于已知(t)平稳且均值为0，则对于任意时间t，都有E(t)=0，因此，可得 (3-61) 可见，零均值平稳高斯窄带随机过程的同相分量和正交分量的均值也为0。,2. 自相关函数 由式(3-56)可得 (3-62),式中 因为(t)是平稳的，所以 R(t, t+)=R(),如果取t=0，则sinct=0，cosct=1，式(3-62)变换为 (3-63) 这时，显然要求 (3-64),此时，式(3-63)变换为 (3-65) 同理，如果取ct=/2，则sinct=1，cosct=0，式(3-62)变换为 (3-66),这时，要求 (3-67) 此时，式(3-66)变换为 (3-68),另外，我们从式(3-65)和式(3-68)可以看到，要使两式同时成立，则应有 (3-69) 但是，根据互相关函数的性质，应有 (3-70) 综合式(3-69)和式(3-70)可得 (3-71),同理，可得 (3-72) 由此可见，同相分量c(t)和正交分量s(t)具有相同的自相关函数 ，其互相关函数 和 都是的奇函数。因此，可得 (3-73),将式(3-73)分别代入式(3-65)和式(3-68)，可得 (3-74) 即(t)、 c(t)、 s(t)具有相同的平均功率，又因它们的均值都为0，故可知它们的方差也都相同，即 (3-75),另外，因为(t)是平稳高斯随机过程，所以(t)在任意时刻的取值都是服从正态分布的高斯随机变量，因此，由式(3-56)可得,3.5.3 随机包络和相位的统计特性 下面来分析随机包络a(t)和随机相位(t)的有关统计特性，即一维分布函数。 由上节关于c(t)和s(t)的统计特性的分析可知，c和s的联合概率密度函数为 (3-76),如果a和的联合概率密度函数为f(a, )，则根据概率论知识，有 根据式(3-59)和式(3-60)随机变量之间的关系，可得,于是，可得 因此，可得 (3-77),根据概率论中边际分布知识，可求得包络a的一维概率密度函数为 (3-78) 可见，包络a服从瑞利分布。,同理，可求得相位的一维概率密度函数为 (3-79) 上式利用了瑞利分布的性质，方括号内的积分值为1。可见，相位服从均匀分布。由式(3-77)、 式(3-78)和式(3-79)还可得 f(a, )=f(a)f() (3-80),正弦信号加窄带高斯噪声的合成信号可以表示为 (3-81),3.6 正弦波加窄带高斯过程,令zc(t)=A cos+nc(t)，zs(t)=A sin+ns(t)，则式(3-81)变换为 r(t)=zc(t)cosctzs(t)sinct=z(t)cosct+(t)(3-82) 式中 (3-83),根据3.5节的结果，如果值已给定，则zc和zs是相互独立的高斯随机变量，而且 (3-84) 式中: 2c、 2s、 2n分别为zc(t)、 zs(t)和n(t)的方差。因此，以给定相位为条件的zc与zs的联合概率密度函数为 (3-85),根据式(3-82)可得合成信号r(t)的包络随机变量z和相位随机变量分别为 (3-86) 于是 (3-87),利用与3.5节相似的方法，根据式(3-86)可以求得以给定相位为条件的z与的联合概率密度函数为 (3-88),根据式(3-87)，式(3-88)变换为 (3-89),根据条件边际分布知识，可求得以相位为条件的包络z的概率密度函数为 根据零阶修正贝塞尔函数的定义：,于是 因此，可得 (3-90),由上式可见，f(z/)与无关，因此正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为 (3-91) 称包络z服从广义瑞利分布，也称莱斯(Rice)分布。当信噪比很小，即A0时，此时合成波中只有窄带高斯噪声，根据3.5节的知识可知，此时包络z服从瑞利分布。 关于正弦波加窄带高斯噪声的合成波的相位分布f(/)比较复杂，这里就不再演算了。可以推想小信噪比，即A0时，合成波中只有窄带高斯噪声，根据3.5节的知识可知，此时相位服从均匀分布。,图3-5给出了不同信噪比r=A2/(22n)(信号平均功率和窄带高斯噪声平均功率之比)时正弦波加窄带高斯噪声的f(z)和f(/)曲线。f(/)是在给出条件下画出的曲线，并不直接是f()的分布，但从f(/)可以看到合成波r(t)的相位变化的大致规律。,图3-5 正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位分布,3.7.1 白噪声 在通信系统中，经常存在这样一类噪声，它的