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利用频率估计概率,第25章 概率初步,2、等可能事件概率公式:,(1)所有可能结果是有限个;,3、求等可能事件概率的条件:,(2)每种结果的可能性都相等。,1.概率的定义,事件的分类,一、回顾,思考,有三枚硬币,硬币1的一面涂有红 色,另一面涂有黄色;硬币2的一面涂 有黄色,另一面涂有蓝色;硬币3的一 面涂有蓝色,另一面涂有红色。现将 这三枚硬币随意抛出,求两枚的颜色 相同的概率。,用什么方法求概率?,列举的方法:,(1)直接列举法:,事件结果显而易见,可能性较少;,(2)“列表”法:,事件结果较复杂,可能性较多;,(3)“树形图”法:,事件结果较复杂,步骤较多。,画树形图如下:,硬币1,硬币2,硬币3,红,黄,黄,蓝,黄,蓝,蓝,红,蓝,红,蓝,红,蓝,红,P(两种颜色相同)=,画树形图如下:,硬币1,用列举法求概率的条件是什么?,(1)实验的所有结果是有限个(n) (2)各种结果的可能性相等.,思考:当实验的所有结果不是有限个;或各种可能结果发生的可能性不相等时.又该如何求事件发生的概率呢?,如图,有一枚质地均匀的硬币,将 它抛出后,你知道正面朝上的概率吗?,正,(1)是不是等可能事件?,(2)用什么方法求概率?,反,所有可能结果是有限个;,每种结果的可能性都相等。,用列举法求概率。,投掷一枚硬币,“正面向上”,的概率为1/2,能否理解为: “投掷2次,1次正面向上”; “投掷100次,50次正面向上”; “投掷n次,n/2次正面向上”,1.思考:,投掷一枚硬币,“正面向上”的频率,2. 历史数据,例如,历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验,结果如下表 :,当重复抛掷一枚硬币时,“正面向上”的频率在0.5左右摆动。随着抛掷次数的增加,一般地频率呈现出一定的稳定性:在0.5左右摆动的幅度会越来越小。我们称“正面向上”的概率是0.5,用列举法可以求一些事件概率,还可以利用多次重复试验,通过统计实验结果去估计概率,新课,材料,“正面向下”的概率哪,材料2:,则估计油菜籽发芽的概率为,0.9,导入,如图,有一枚图钉,将它抛出后, 要考察钉尖的朝向上的概率。,(1)钉尖的朝向有几种可能的结果?,钉尖朝上,钉尖朝上,(2)这两种结果可能性相等吗?,这两种结果可能性不相等。,数学史实,在长期的实践中,人们观察到,对一般的随机试验,由于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同,但在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的频率,总在一个固定数的附近摆动,显示出一定的稳定性.这称为大数法则,亦称大数定律.即:在相同的条件下,做大量的重复实验时,根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定的常数,可以估计这个事件发生的概率。,由频率可以估计概率是由瑞士数学家雅各布伯努利(16541705)最早阐明的,因而他被公认为是概率论的先驱之一,雅各布伯努利(瑞士) 1654-1705,对一般的随机事件,在做大量重复试验时,一个事件出现的频率,总是在某个常数附近摆动,显示出一定的稳定性.,一般地,在大量重复试验中, 如果事件发生的频率(m/n) 会稳定在某个常数 p 附近, 那么,事件发生的概率为 p.,概率的统计定义:,定义,需要注意的是:概率是针对大量重复的试验而言的,大量试验反映的规律并非在每一次试验中出现.,更一般地,即使试验的所有可能的结果不是有限个,或各种可能的结果发生的可能性不相等,也可以通过试验的方法去估计一个随机事件发生的概率.只要试验次数是足够大的,频率 就可以作为概率p的估计值.,结 论:,频率与概率的关系,区别:1频率反映事件发生的频繁程度; 概率反映事件发生的可能性大小. 2 频率是不能脱离具体的n次试验的结果,具有随机性;概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值. 联系:频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.,用频率估计概率的基本步骤:,1 大量重复试验 2 检验频率是否已表现出稳定性 3 频率的稳定值即为概率,注: (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验; (2)只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常数才叫做事件A的概率; (3)概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似值; (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小; (5)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0因此0P(A)1,1 天气预报的概率解释,(1)天气预报是气象专家依据观察到的气象资料和专家们的实际经验,经过分析推断得到的。它是主观概率的一种,而不是本书上定义的概率。,(2)降水概率 的大小只能说明降水可能性的大小,概率值越大只能表示在一次试验中发生可能性越大,并不能保证本次一定发生。,天气预报说下星期一降水概率是90%,下星期三降水概率是10%,于是有位同学说:下星期一肯定下雨,下星期三肯定不下雨。你认为他说的对吗?,不对。所谓降水概率90%、10%是在大量的统计记录的条件下,那么它是符合大多数同等天气条件下的实际情况的,但某些例外也还是可能的。,2 某射手进行射击,结果如下表所示:,(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率是多少?,.,(3)这射手射击1600次,击中靶心的次数约是 。,800,0.65,0.58,0.52,0.51,0.55,3:有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的为0.5,那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,一定是一次正面朝上,一次反面朝上,你认为这种想法正确吗?,答:这种说法是错误的,抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5,它是大量试验得出的一种规律性结果,对具体的几次试验来讲不一定能体现出这种规律性,在连续抛掷一枚硬币两次的试验中,可能两次均正面向上,也可能两次均反面向上,也可能一次正面向上,一次反面向上,问题1 某厂打算生产一种中学生使用的笔袋,但无法确定各种颜色的产量.你认为该如何制定生产计划?,活动1,针对中学生喜欢的颜色的问题,小凯调查了九年级某班50位同学,结果如下:,你认为小凯的调查能反映所有九年级同学对文具颜色的喜好吗?,不能.,为了更为准确地为文具厂商提供信息,你认为抽样调查应注意什么?,抽样调查应更广泛、更有代表性、更有随意性.,问题2 该文具厂就该笔袋的颜色随机调查了5000名中学生,并在调查到1000名、2000名、3000名、4000名、5000名时分别计算了各种颜色的频率,绘制折线图如下:,某厂打算生产一种中学生使用的笔袋,但无法确定各种颜色的产量,于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5 000名中学生,并在调查到1 000名、2 000名、3 000名、4 000名、5 000名时分别计算了各种颜色的频率,绘制折线图如下:,(1)随着调查次数的增加,红色的频率如何变化?,(2)你能估计调查到10 000名同学时,红色的频率是多少吗?,估计调查到10 000名同学时,红色的频率大约仍是40%左右.,随着调查次数的增加,红色的频率基本稳定在40%左右.,(3)若你是该厂的负责人,你将如何安排生产各种颜色的产量?,红、黄、蓝、绿及其它颜色的生产比例大约为4:2:1:1:2 .,(1)试验的次数越多,所得的频率越能反映概率的大小; (2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况,我们可以利用它们所提供的信息估计概率,(3)当试验次数很大时,一个事件发生频率也稳定在相应的概率附近.因此,我们可以通过多次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.,(4) 在相同情况下随机的抽取若干个体进行实验,进行实验统计.并计算事件发生的频率 根据频率估计该事件发生的概率.,小结:,1. 概率的获取有 和 两种。,2. 本节课的事件概率无法用理论计算来解决,只能通过概率实验,用 来估算。,理论计算,实验估算,频率,本节课主要学习了用频率估计概率,记住:只要试验次数是足够大的,频率就可以作为概率的估计值.,3 升华提高,了解了一种方法-用多次试验频率去估计概率,体会了一种思想:,用样本去估计总体 用频率去估计概率,弄清了一种关系-频率与概率的关系,当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,一件事件发生的频率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以用一件事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.,结束寄语: 概率是对随机现象的一种数学描述,它可以帮助我们更好地认识随机现象,并对生活中的一些不确定情况作出自己的决策. 从表面上看,随机现象的每一次观察结果都是偶然的,但多次观察某个随机现象,立即可以发现:在大量的偶然之中存在着必然的规律.,试一试,1.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾,一渔民通过多次捕获实验后发现:鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%,则这个水塘里有鲤鱼_尾,鲢鱼_尾.,310,270,2.动物学家通过大量的调查估计出,某种动物活到20岁,的概率为0.8,活到25岁的概率是0.5,活到30岁的概率,是0.3.现年20岁的这种动物活到25岁的概率为多少?现,年25岁的这种动物活到30岁的概率为多少?,3.在有一个10万人的小镇,随机调查了2000人,其中有250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个人,他看早间新闻的概率大约是多少?该镇看中央电视台早间新闻的大约是多少人?,解: 根据概率的意义,可以认为其概率大约等于250/2000=0.125. 该镇约有1000000.125=12500人看中央电视台的早间新闻.,4.一个口袋中放有20个球,其中红球6个,白球和黑球各若干个,每个球出了颜色外没有任何区别. (1)小王通过大量反复实验(每次取一个球,放回搅匀后再取)发现,取出黑球的概率稳定在1/4左右,请你估计袋中黑球的个数. (2)若小王取出的第一个是白球,将它放在桌上,从袋中余下的球中在再任意取一个球,取出红球的概率是多少?,5 从一定的高度落下的图钉,落地后可能图钉尖着地,也可能图钉尖不找地,估计一下哪种事件的概率更大,与同学合作,通过做实验来验证 一下你事先估计是否正确?,你能估计图钉尖朝上的概率吗?,6 如图,长方形内有一不规则区域,现在玩投掷游戏,如果随机掷中长方形的300次中,有100次是落在不规则图形内.,(1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗?,(2)若该长方形的面

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