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第一节 大数定律,一、问题的引入,二、基本定理,三、典型例题,四、小结,一、问题的引入,实例 频率的稳定性,随着试验次数的增加,启示:从实践,单击图形播放/暂停 ESC键退出,定于某个常数.,值有稳定性.,的算术平均,大量测量值,中人们发现,事件发生的频率逐渐稳,二 、基本定理,1. 弱大数定理（辛钦大数定理 ）,辛钦资料,证,由契比雪夫不等式得,即得,说明,几乎变成一个常数.,（这个接近是概率意义下的接近）,即在定理条件下,n个随机变量的算术平均,当n无限增加时,弱大数定理（辛钦大数定理）还可表述为：,定理一的另一种叙述:,依概率收敛序列的性质:,证明,证毕,2. 伯努利大数定理,伯努力资料,证,说明,因而当 n 很大时,事件发生的频率与概率有较,大偏差的可能性很小.,在实际应用中,当试验次数,很大时,便可以用事件发生的频率来代替事件的概,率.,三、典型例题,解,独立性依题意可知,检验是否具有数学期望？,例1,说明每一个随机变量都有数学期望,检验是否具有有限方差？,说明离散型随机变量有有限方差,故满足契比雪夫定理的条件.,解,由辛钦定理知,例2,四、小结,三个大数定理,契比雪夫定理的特殊情况,伯努利大数定理,辛钦定理,频率的稳定性是概率定义的客观基础,定性.,努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳,而伯,契比雪夫资料,Pafnuty Chebyshev,Born: 16 May. 1821 in Okatovo, Russia Died: 8 Dec. 1894 In St Petersburg, Russia,返回,伯努利资料,Jacob Bernoulli,Born: 27 Dec. 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug. 1705 in Basel, Switzerland,返回,辛钦资料,Aleksandr Yakovlevich Khinchin,Born: 19 Jul. 1894 in Kondrovo, Kaluzhskaya guberniya,
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