2020届高考数学一轮复习考点39数学归纳法必刷题理（含解析）.docx

考点39 数学归纳法1（甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第三次模拟考试数学理）用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A BC D【答案】C【解析】当n=k时，等式左端=1+2+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+k2+k2+1+k2+2+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2故选：C2（河南省豫南九校2017-2018学年下学期高二第二次联考理）用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到，不等式的左边增加的项为（ ）A BC D【答案】C【解析】当时，不等式为；当时，不等式为，即，比较可得增加的项为故选C3（安徽省马鞍山市2019届高三高考一模理）已知正项数列的前项和为，数列的前项积为，若，则数列中最接近2019的是第_项【答案】45【解析】，可得，且；则，即，即，两式相除得：，则，由，解得；由，解得；猜想，用数学归纳法证明，当时，满足，假设当时，猜想成立，即，则当时，满足，故猜想成立，即.，时，当，不满足，故，由，当时，当时，当时，综上可得数列中最接近2019的是第45项故答案为：454（湖北省武汉市2019届高中毕业生二月调研测试理）已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为_【答案】【解析】当时，；当时，；当时，；当时，猜想得，故，下面用数学归纳法证明：，满足，假设时，结论成立，即，可得，则，也满足，结合可知，故答案为5（吉林省长春市2019届高三质量监测（四)数学理）已知数列满足：，点在直线上.（1）求，的值，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.【答案】（）;.（）见解析.【解析】解：（）因为点在直线上所以，因为， 故，由上述结果，猜想：.（），当时，成立， ，假设当时，成立， 那么，当时，成立，由，可得.6（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知数列，且对任意n恒成立（1）求证：(n)；（2）求证：(n)【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）当时，满足成立.假设当时，结论成立.即：成立下证：当时，成立。因为即：当时，成立由、可知，(n)成立。（2）（）当时，成立，当时，成立，（）假设时（），结论正确，即：成立下证：当时，成立.因为要证，只需证只需证：，只需证：即证：（）记当时，所以在上递增，又所以，当时，恒成立。即：当时，成立。即：当时，恒成立.所以当，恒成立.由（）（）可得：对任意的正整数，不等式恒成立，命题得证.7（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知数列是各项都不为0的无穷数列，对任意的n3，n，恒成立（1）如果，成等差数列，求实数的值；（2）已知1求证：数列是等差数列；已知数列中，数列是公比为q的等比数列，满足，(i)求证：q是整数，且数列中的任意一项都是数列中的项【答案】（1）（2）见解析见解析【解析】（1）由题可得：当时，两边同除以，可得：因为，成等差数列，所以所以，解得：（2）由题可得：当时， （）用代上式中的，可得： （）（）（）得：上式两边同除以可得：整理得：整理得：（）由（1）得，当时，成等差数列，结论正确.（）假设时，结论正确。即：成等差数列，且公差为下证时， 成等差数列.即证又.所以成立.由（）（）可得：对任意的，数列是等差数列.由得：数列是等差数列，公差为所以，（）又，成等比数列，所以，即：整理得：所以，所以是整数数列中的任意一项令，则整理得：，整理得：又所以解得：即：存在，使得：成立所以数列中的任意一项都是数列中的项8（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）已知函数，（）若在上存在极大值点，求实数的取值范围；（）求证：，其中【答案】（） （）见证明【解析】解：（）由于，则当时，即当时，单调递增；当时，单调递减；故在处取得极大值，则，解得：； 当时，恒成立，无极值，不合题意舍去； 当时，即当时，单调递减； 当时， ，单调递增；故在处取得极小值，不合题意舍去；因此当时，在上存在极大值点； （）法一：令，由（）得：在处取得极大值1，且该极值是唯一的，则，即，当且仅当时取“=”， 故当时， 因此 法二：下面用数学归纳法证明：，对恒成立（1）当时，左边，右边，左边右边，结论成立；（2）假设当时，结论成立，即，当时，左边，而 ，令，由（）得：在处取得极大值1，且该极值是唯一的，则，即，当且仅当时取“=”， 则对恒成立，即成立故当时，结论成立，因此，综合（1）（2）得，对恒成立9（广东省江门市2018年普通高中高三调研测试理）已知数列的前项和为，.（1）求；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法给予证明.【答案】（1），（2）【解析】（1）分别取得，解得，.（2）猜想时，由（1）知，猜想成立，假设时，则所以因为，所以所以，时成立，综上所述，任意，.10（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）已知函数，记为的导数，。（1）求；（2）猜想的表达式，并证明你的猜想。【答案】（1），（2）见解析【解析】 (1， (2)猜想：.下面用数学归纳法证明：当时，结论成立；假设（且）时，结论成立，即.当时，.所以当时，结论成立.所以由可知对任意的结论成立.11（浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟考试数学试题（一）(1)证明： ；(2)证明：()；(3)证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）（用数学归纳法证明） 当时，所以结论成立； 假设当时结论成立，即则当时所以时，结论成立由可知，当时，成立 （2）由题意得所以 所以，以上各式两边分别相加可得，又所以 （3）由题意得，由累加法得，所以，所以，故，所以12（浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷二）()证明： ；()证明：()；()证明：.【答案】()见解析（）见解析（）见解析【解析】（）数学归纳法证明时， 当时，成立； 当时，假设成立，则时所以时，成立综上可知，时， （）由得所以； ； 故，又所以 () 由累加法得： 所以故13（陕西省西安市西北工业大学附属中学2017届高三下学期第七次模拟考试理）已知函数.（1）当时，求函数的最值；（2）当时，对任意都有恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，设函数，数列满足， ，求证： ， .【答案】（1），无最大值.（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定单调性，进而确定最值（2）当时,利用导数易得为单调递增函数，且 ，因此（3）先证明为单调递增函数，再利用数学归纳法证明试题解析：（1）， ，令，得，则随变化如下：所以，无最大值.（2）设，则，当时，且， ，函数在上是增加的， 成立；当时，令，得，当， ，函数在上是减小的，而，所以，当时， ，所以不恒成立，综上，对任意都有恒成立时， .（3），又，当时， ，在上是增加的，所以，当时，而，成立.，假设时， 成立，那么当时， ，而，成立.综合， 得： ， 成立.14（江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试）（1）用数学归纳法证明：当时， （，且， ）；（2）求 的值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）当时，等式右边 等式左边，等式成立.假设当时等式成立，即 .那么，当时，有这就是说，当时等式也成立.根据和可知，对任何等式都成立.（2）由（2）可知， ，两边同时求导，得所以 所以 .15（江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考）设，正项数列的前项的积为，且，当时， 都成立.（1）若， ， ，求数列的前项和；（2）若， ，求数列的通项公式.【答案】(1) (2) 【解析】（1）当n2时，因为M=1，所以=TnT1，可得an+1=ana1，故=a1=3（n2）又a1=，a2=3，则an是公比为3的等比数列，故an的前n项和为=3n（2）当nk时，因为=TnTk，所以=Tn+1Tk，所以=，即=an+1，因为M=3，4，所以取k=3，当n3时，有an+4an2=an+12；取k=4，当n4时，有an+5an3=an+12由an+5an3=an+12 知，数列a2，a6，a10，a14，a18，a22，a4n2，是等比数列，设公比为q由an+4an2=an+1 知，数列a2，a5，a8，a11，a14，a17，a3n1，是等比数列，设公比为q1，数列a3，a6，a9，a12，a15，a18，a3n，成等比数列，设公比为q2，数列a4，a7，a10，a13，a16，a19，a22，a3n+1，成等比数列，设公比为q3，由得， =q3，且=q14，所以q1=；由得， =q3，且=q24，所以q2=；由得， =q3，且=q34，所以q3=；所以q1=q2=q3=由得，a6=a2q，a6=a3q2，所以=，由得，a10=a2q2，a10=a4q32，所以=，所以a2，a3，a4是公比为q的等比数列，所以an（n2）是公比为q的等比数列因为当n=4，k=3时，T7T1=T42T32；当n=5，k=4时，T9T1=T52T42，所以（）7=2a24，且（）10=2a26，所以=2，a2=2又a1=，所以an（nN*）是公比为的等比数列故数列an的通项公式是an=2n116（江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考）已知数列满足（1）求， ， 的值；（2）猜想数列的通项公式，并证明【答案】(1) (2)见解析【解析】（1）， ， （2）猜想： 证明：当，2，3时，由上知结论成立； 假设时结论成立，则有则时， 由得 ， 又，于是所以， 故时结论也成立由得， 17（2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试）已知数列满足： .证明：当时，（1）；（2）；（3）.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】分析：（1）用数学归纳法和反证法证明即可；（2）由数列的递推式以及作差法可得，构造函数，利用导数求出函数函数的单调性，从而可以证明；（3）由数列的递推式，以及（2）的结论可得，根据等比数列的通项公式即可证明，再结合已知可得，即可证明不等式成立.详解：（1）数学归纳法证明： 当时， 成立假设时，成立，那么时，假设，则，矛盾所以，故得证所以，故（2）由得 设则 由于与在上单调递增，所以故在上单调递增，所以所以即（3）由（2）得，则 所以又，所以，所以，故所以，所以18（江苏省苏锡常镇2018届高三3月教学情况调研一）在含有个元素的集合中，若这个元素的一个排列（，）满足，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：对于集合，排列是的一个错位排列；排列不是的一个错位排列）.记集合的所有错位排列的个数为.（1）直接写出，的值；（2）当时，试用，表示，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：为奇数.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】（1），（2），理由如下：对的元素的一个错位排列（，），若，分以下两类：若，这种排列是个元素的错位排列，共有个；若，这种错位排列就是将，排列到第到第个位置上，不在第个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于个元素的错位排列，共有个；根据的不同的取值，由加法原理得到；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，均为自然数；当，且为奇数时，为偶数，从而为偶数，又也是偶数，故对任意正奇数，有均为偶数.下面用数学归纳法证明（其中）为奇数.当时，为奇数；假设当时，结论成立，即是奇数，则当时，注意到为偶数，又是奇数，所以为奇数，又为奇数，所以，即结论对也成立；根据前面所述，对任意，都有为奇数.19（江苏省