（浙江专用）2020届高考数学一轮复习第十一章计数原理11.1排列、组合课件.pptx

第十一章 计数原理 11.1 排列、组合,高考数学 (浙江专用),考点 排列、组合,A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,1.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答),答案 1 260,解析 本题考查排列、组合及其运用,考查分类讨论思想. 含有数字0的没有重复数字的四位数共有 =540个,不含有数字0的没有重复数字的四 位数共有 =720个,故一共可以组成540+720=1 260个没有重复数字的四位数.,易错警示 数字排成数时,容易出错的地方: (1)数字是否可以重复; (2)数字0不能排首位.,2.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务 队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答),答案 660,解析 本题考查计数原理、排列、组合,排列数、组合数计算,利用间接法解决“至少”类的 组合问题,考查推理运算能力.从8人中选出4人,且至少有1名女学生的选法种数为 - =55.从 4人中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人的选法为 =12种.故总共有5512=660种选法.,考点 排列、组合,B组 统一命题、省（区、市）卷题组,1.(2017课标全国理,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完 成,则不同的安排方式共有 ( ) A.12种 B.18种 C.24种 D.36种,答案 D 本题主要考查排列、组合. 第一步:将4项工作分成3组,共有 种分法. 第二步:将3组工作分配给3名志愿者,共有 种分配方法,故共有 =36种安排方式,故选D.,方法总结 分组、分配问题. 分组、分配问题是排列组合的综合问题,解题思想是先分组后分配. (1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种: 完全均匀分组,每组元素的个数都相等; 部分均匀分组,应注意不要重复; 完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题,常见的分配方法有三种: 相同元素的分配问题,常用“挡板法”; 不同元素的分配问题,利用分步乘法计数原理,先分组,后分配; 有限制条件的分配问题,采用分类法求解.,2.(2016课标全国,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处 的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( ) A.24 B.18 C.12 D.9,答案 B 分两步,第一步,从EF,有6条可以选择的最短路径;第二步,从FG,有3条可以选择 的最短路径.由分步乘法计数原理可知有63=18条可以选择的最短路径.故选B.,3.(2016课标全国,12,5分)定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1, 且对任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有 ( ) A.18个 B.16个 C.14个 D.12个,答案 C 当m=4时,数列an共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k8,a1,a2,ak中0的 个数不少于1的个数,则必有a1=0,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:若a3=0, 则a4,a5,a6,a7中任意一个为0均可,则有 =4种情况;若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可, 有 =3种情况;若a3=1,a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有 =2种情况;(2)当a2=1时,必 有a3=0,分以下2种情况:若a4=0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,有 =3种情况;若a4=1,则a5必为 0,a6,a7中任一个为0均可,有 =2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14 个,故选C.,评析 本题是新定义问题,考查学生分析问题、解决问题的能力,理解“规范01数列”的定 义并分类讨论是解题关键,属难题.,4.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有 ( ) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个,答案 B 数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数. 其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2 =48个;同理,以5开头的有3 =72个.于是共 有48+72=120个,故选B.,评析 本题考查了分类计数原理以及排列数的知识.考查学生分析问题、解决问题的能力.,5.(2019上海,10,5分)某三位数密码,每位数字可在09这10个数字中任选一个,则该三位数密 码中,恰有两位数字相同的概率是 .,答案,解析 设恰有两位数字相同为事件A, 解法一:P(A)= = . 解法二:P(A)=1- = .,易错警示 所有基本事件的个数为103,而非 .,6.(2018课标全国理,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入 选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案),答案 16,解析 本题主要考查组合问题. 解法一:从2位女生,4位男生中选3人,且至少有1位女生入选的情况有以下2种:2女1男:有 =4种选法;1女2男:有 =12种选法,故至少有1位女生入选的选法有4+12=16种. 解法二:从2位女生,4位男生中选3人有 =20种选法,其中选出的3人都是男生的选法有 =4种, 所以至少有1位女生入选的选法有20-4=16种.,7.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的 四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答),答案 1 080,解析 本题主要考查计数原理及排列组合的应用. (1)有一个数字是偶数的四位数有 =960个. (2)没有偶数的四位数有 =120个. 故这样的四位数一共有960+120=1 080个.,8.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么 全班共写了 条毕业留言.(用数字作答),答案 1 560,解析 同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,全班共写了4039= 1 560条毕业留言.,考点 排列、组合,C组 教师专用题组,1.(2016四川,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为 ( ) A.24 B.48 C.60 D.72,答案 D 奇数的个数为 =72.,2.(2014广东,8,5分)设集合A=(x1,x2,x3,x4,x5)|xi-1,0,1,i=1,2,3,4,5,那么集合A中满足条件“1 |x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”的元素个数为 ( ) A.60 B.90 C.120 D.130,答案 D 设t=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|,t=1说明x1,x2,x3,x4,x5中有一个为-1或1,其他为0,所以有2 =1 0个元素满足t=1;t=2说明x1,x2,x3,x4,x5中有两个为-1或1,其他为0,所以有 22=40个元素满足t =2;t=3说明x1,x2,x3,x4,x5中有三个为-1或1,其他为0,所以有 222=80个元素满足t=3,从而,共 有10+40+80=130个元素满足1t3.故选D.,评析 本题考查了分类、分步计数原理及组合数的综合应用,考查了学生分类讨论的能力. 解题的关键在于对t的可能取值进行分类讨论.,3.(2018江苏,23,10分)设nN*,对1,2,n的一个排列i1i2in,如果当sit,则称(is,it)是排列 i1i2in的一个逆序,排列i1i2in的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231, 只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2,n的所有排列中逆序数为k的 全部排列的个数. (1)求f3(2),f4(2)的值; (2)求fn(2)(n5)的表达式(用n表示).,解析 本题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力. (1)记(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有(123)=0,(132)=1,(213)=1,(231)=2,(3 12)=2,(321)=3,所以f3(0)=1, f3(1)=f3(2)=2. 对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三 个位置. 因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5. (2)对一般的n(n4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12n,所以fn(0)=1.逆序数为1的排列只 能是将排列12n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以fn(1)=n-1. 为计算fn+1(2),当1,2,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置 只能是最后三个位置. 因此, fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n. 当n5时, fn(2)=fn(2)-fn-1(2)+fn-1(2)-fn-2(2)+f5(2)-f4(2)+f4(2)=(n-1)+(n-2)+4+f4(2)= . 因此,当n5时, fn(2)= .,疑难突破 要做好本题,关键是理解“逆序”“逆序数”“fn(k)”的含义,不妨从比较小的1,2, 3入手去理解这几个概念,这样就能得到f3(2). f4(2)是指1,2,3,4这4个数中逆序数为2的全部排列 的个数,可以通过与f3(2), f3(1),f3(0)联系得到,4分别添加在f3(2)的排列中最后一个位置、f3(1)的 排列中的倒数第2个位置、f3(0)的排列中的倒数第3个位置.有了上述的理解就能得到fn+1(2)与fn (2),fn(1), fn(0)的关系:fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n,从而得到fn(2)(n5)的表达式.,4.(2016江苏,23,10分)(1)求7 -4 的值; (2)设m,nN*,nm,求证: (m+1) +(m+2) +(m+3) +n +(n+1) =(m+1) .,解析 (1)7 -4 =7 -4 =0. (2)证明:当n=m时,结论显然成立.当nm时, (k+1) = =(m+1) =(m+1) ,k=m+1,m+2,n. 又因为 + = , 所以(k+1) =(m+1)( - ),k=m+1,m+2,n. 因此,(m+1) +(m+2) +(m+3) +(n+1) =(m+1) +(m+2) +(m+3) +(n+1) =(m+1) +(m+1)( - )+( - )+( - )=(m+1) .,评析 本题主要考查组合数及其性质等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019浙江浙南联盟高三上期末,7)甲、乙二人均从5种不同的食品中任选一种或两种吃,则 他们一共吃到了3种不同食品的情况有 ( ) A.84种 B.100种 C.120种 D.150种,答案 C 要使得他们一共吃到了3种不同食品,需至少有一个人吃了两种食品,下面分情况讨论: 若甲、乙恰有一人吃了两种食品,则可从5种食品中选3种不同的食品,然后分配给甲、乙两人 食用,由分步乘法计数原理知共有 =60种不同的情况. 若甲、乙两人均吃了两种食品,我们考虑反面(两人吃的食品相同或者各不相同),则可从5种食 品中选2种不同的食品,然后甲、乙两人食用,或者可从5种食品中选4种不同的食品,然后甲、 乙两人食用,共有 + =40种不同的情况,而总的事件数为 =100,从而满足条件 的食用方式共有60种. 综上,由分类加法计数原理知,他们一共吃到了3种不同食品的情况有120种,故选C.,2.(2019浙江高考数学仿真卷,6)现有某学校优秀高中生5名参与清华、交大、复旦、浙大四所 学校自主招生,每所大学至少有一人参加考试,但每一个高中生只能选一所学校,清华只能一名 学生参加考试,甲同学不能参加交大的考试,则不同的参与方案有 ( ) A.98种 B.120种 C.126种 D.132种,答案 D 甲选清华的方案有 =36种;甲不选清华,首先考虑交大安排两名同学的方案 有 =24种,其次考虑复旦、浙大安排两名同学的方案有 =72种,故一共有132 种方案,故选D.,3.(2019浙江金丽衢第一次联考,14)在从100到999的所有三位数中,百位,十位,个位数字依次构 成等差数列的有 个;构成等比数列的有 个.,答案 45;17,解析 由题意知,个位和百位上的数字同奇同偶时,构成等差数列,此时共有55+45=45个等 差数列. 要构成等比数列,我们对各个数位上的数字是否相同分类讨论:若数字相同,则显然有9个等比 数列; 若不相同,则当十位上的数字平方刚好能分解为两个不相等的一位数的乘积,此时能构成等比 数列, 因为22=14,32=19,42=28,62=49,所以有2+2+2+2=8个等比数列,综上,共有17个等比数列.,4.(2019浙江温州普通高中高考适应性测试(2月),15)已知某超市为顾客提供四种结账方式:现 金、支付宝、微信、银联卡,若顾客甲只带了现金,顾客乙只用支付宝或微信付款,顾客丙、丁 用哪种方式结账都可以,这四名顾客购物后,恰好用了其中三种结账方式,那么他们结账方式的 可能情况有 种.,答案 20,解析 顾客甲只能用现金,所以4人中必有2人用同一种支付方式,故分类如下: (1)2个人用现金: =8种; (2)2个人用微信或支付宝:2(2+2+1)=10种; (3)2个人用银联卡:2种. 所以他们结账方式共有8+10+2=20种可能情况.,方法总结 对于排列组合的混合问题,遵循先组后分的原则,涉及限排问题,分类讨论是解题的 有效方法,分类标准要统一,防止重复或缺漏.,5.(2019浙江诸暨高三上期末,16)将六名大学生分配到三所学校,每所学校至少一名,其中甲、 乙两人必须在同一学校,则不同的分配方案有 种.,答案 150,解析 若三所学校的人数分别为1,2,3,则共有( + ) =96种不同的分配方案;若每所学 校2人,则共有 =18种不同的分配方案;若三所学校的人数分别为1,1,4,则共有 =36种 不同的分配方案,故总共有150种不同的分配方案.,6.(2019浙江高考数学仿真卷,15)浙江省第一中学迎春晚会由6个节目组成,为考虑整体效果,对 节目演出顺序有如下要求:节目甲不排在第一位和最后一位,节目丙、丁必须排在一起,则该校 迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有 种.,答案 144,解析 将丙、丁视为一个节目,“捆绑”在一起,共有 =2种不同的编排方案,故除甲节目以 外,剩下的5个节目可等效于4个节目,共有 =48种不同的编排方案,这4个节目产生了三个 “空”,将甲节目插入三个“空”中的任意一个“空”即可,故共有48 =144种不同的编排 方案.,7.(2019浙江台州一中、天台一中高三上期中,15)将1,2,3,4,5,6排成一行,要求任何相邻两个数 字的奇偶性不同,且1和2相邻,这样的排法种数是 .(用数字作答),答案 40,解析 首先排列1,3,5,分两种情况讨论. 当1位于两端时,若2位于最外侧,1和3,3和5之间都必须有一个偶数,则此时的排法共有4 =8 种;若2不在最外侧,此时3和5之间必须有一个偶数,另一个偶数可以排列在两侧中的任何一个 位置,则此时的排法共有422=16种. 当1在中间时,共有2222=16种排法. 综上,共有8+16+16=40种排法.,8.(2019浙江杭州二模(4月),15)已知集合A=1,3,5,B=0,2,4,分别从A,B中各取2个不同的数, 能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是 (用数字作答).,答案 32,解析 设满足条件的四位偶数为 ,则a,b,c,d=1,5,2,4或1,3,0,2或3,5,0,4. 则当a,b,c,d=1,5,2,4时,共有 =12个偶数; 当a,b,c,d=1,3,0,2时,共有 + =10个偶数; 当a,b,c,d=3,5,0,4时,共有 + =10个偶数, 综上,满足条件的四位偶数共有32个.,9.(2019浙江高考信息优化卷(三),16)将颜色分别为红、黄、蓝、紫色的4个球,放入编号分别 为1,2,3,4,5,6的六个盒子中,每个盒子至多放2个球,则不同的放法有 种(用数字作答).,答案 1 170,解析 第一类:用了四个盒子,每个盒子放一个球,则有 =360种; 第二类:用了三个盒子,有一个盒子有2个球,则有 =720种; 第三类:用了两个盒子,每个盒子两个球,先平均分组,再选两个盒子摆放,则 =90种, 故不同的放法共有1 170种.,10.(2019浙江绍兴数学调测(3月),15)有甲乙丙三项任务,甲乙各需1人承担,丙需2人承担且至 少1人是男生,现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是 . (用数字作答),答案 144,解析 2名男生承担丙任务的有 =36种选法, 1名男生承担丙任务的有 =108种 选法. 因此共144种不同的选法.,11.(2019浙江宁波北仑中学高三模拟(二),16)有写好数字2,2,3,3,5,5,7,7的8张卡片,任取4张,则 可以组成不同的四位数的个数为 .,答案 204,解析 四张均不同时,可以组成 =24个不同的四位数; 有一个数字有两张时,可以组成43 2=144个不同的四位数; 有两个数字有两张时,可以组成 4=36个不同的四位数, 故共可以组成204个不同的四位数.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:15分钟 分值:28分 一、选择题(每小题4分,共8分),1.(2019浙江杭州高级中学高三上期中,8)有甲、乙、丙3项任务,甲需要2人承担,乙、丙各需 要1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法有 ( ) A.1 260种 B.2 520种 C.2 025种 D.5 040种,答案 B 首先从10人中选4人,共有 种不同的选法,然后从4人中选取2人承担甲任务,共有 种不同的选法,剩下2人分别承担乙、丙任务,有 种不同的选法,故不同的选法共有 =2 520种.故选B.,2.(2019浙江高考信息优化卷(四),9)数列an共有7项,且an=a+bi(a,bZ),a7=a1=1+i,并满足an+1-an 1,-1,i,-i,这样的数列有 ( ) A.200个 B.278个 C.344个 D.400个,答案 D 分四种情况:(1)3个1,3个-1,0个i,0个-i; (2)2个1,2个-1,1个i,1个-i; (3)1个1,1个-1,2个i,2个-i; (4)0个1,0个-1,3个i,3个-i, 所以这样的数列有 + + + =400个.故选D.,3.(2019浙江嵊州高三上期末,15)将编号为1,2,3,4,5的五个小球全部放入A,B,C三个盒子内,若 每个盒子不空,且放在同一盒子内的小球编号互不相连,则不同的放法种数共有 .,二、填空题(共20分),答案 42,解析 按照盒子内小球的个数可以分为1,2,2和1,1,3两种类型. 当小球的个数为1,1,3时,放三个球的盒子内只能是编号为1,3,5的小球,故共有 =6种放法; 当小球的个数为1,2,2时,此时有(1,3)和(2,4),(1,3)和(2,5),(1,4)和(2,5),(1,4)和(3,5),(1,5)和(2,4),(2, 4)和(3,5),共6种放法,故不同的放法有 6=36种. 综上,不同的放法共有42种.,4.(2019浙江金丽衢第二次联考,15)安排3名支教老师去6所学校任教,每校至多2人,则不同的分 配方案共有 种.(用数字作答),答案 210,解析 3名支教老师去6所学校任教,共有63种,其中