2020版高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法练习（含解析）新人教A版.docx

二综合法与分析法基础巩固1已知a0,-1babab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a答案：D2下列三个不等式:a0b;ba0;b0a,其中能使1a1b成立的充分条件有()A.B.C.D.解析：a0b1a1b;ba01a1b;b01b.故选A.答案：A3要证a2+b2-1-a2b20,只需证()A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-a4+b420C.a+b22-1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)0答案：D4若实数a,b满足0a0,A=a+b,B=a+b,则A,B的大小关系是()A.A=BB.ABD.大小不确定解析：用综合法:因为(a+b)2=a+2ab+b,所以A2-B20.所以A2B2.又因为A0,B0,所以AB.答案：C6设1313b13a1,则()A.aaabbaB.aabaabC.abaabaD.abbaaa解析：1313b13a1,0ab1.abaa,aaba=aba.0ab0,aba1.aaba.abaa0,b0,则下列两式的大小关系为:lg1+a+b212lg(1+a)+lg(1+b).解析：12lg(1+a)+lg(1+b)=12lg(1+a)(1+b)=lg(1+a)(1+b)12,lg1+a+b2=lga+b+22.a0,b0,a+10,b+10.(a+1)(1+b)12a+1+b+12=a+b+22,当且仅当a=b时,等号成立.lg1+a+b2lg(1+a)(1+b)12,即lg1+a+b212lg(1+a)+lg(1+b).答案：8已知a0,b0,且a+b=1,则1a+1b+1ab与8的大小关系是.解析：因为a0,b0,且a+b=1,所以1=a+b2ab0,进而得1ab2,于是得1ab4.又1a+1b+1ab=a+b+1ab=2ab=21ab8,故1a+1b+1ab8.答案：1a+1b+1ab89(用分析法证明)已知a6,求证:a-3-a-4a-5-a-6.证明：要证a-3-a-4a-5-a-6,只需证a-3+a-6a-4+a-5,只需证(a-3)(a-6)(a-4)(a-5),只需证(a-3)(a-6)(a-4)(a-5),只需证a2-9a+18a2-9a+20,只需证186时,a-3-a-4a-5-a-6.10已知a,b,c都是正数,求证:2a+b2-ab3a+b+c3-3abc.分析：用分析法去找证题的突破口.要证原不等式,只需证-2abc-33abc,即只需证c+2ab33abc,把2ab转化为ab+ab,问题就解决了.或由分析法的途径,也很容易用综合法的形式写出证明过程.证法一：要证2a+b2-ab3a+b+c3-3abc,只需证a+b-2aba+b+c-33abc,即-2abc-33abc.移项,得c+2ab33abc.由a,b,c都为正数,得c+2ab=c+ab+ab33abc.故原不等式成立.证法二：a,b,c都是正数,c+ab+ab33cabab=33abc,即c+2ab33abc.故-2abc-33abc.a+b-2aba+b+c-33abc.2a+b2-ab3a+b+c3-3abc.能力提升1已知0a10B.logab+logba-20C.logab+logba+20D.logab+logba+20解析：0a1b,logab0.(-logab)+1(-logab)2,当且仅当0a1b,且ab=1时,等号成立.-logab+1(-logab)-2,即logab+1logab-2.logab+logba-2.logab+logba+20.答案：D2若a,b,cR,且ab+bc+ac=1,则下列不等式成立的是()A.a2+b2+c22B.(a+b+c)23C.1a+1b+1c23D.abc(a+b+c)13解析：因为a2+b22ab,a2+c22ac,b2+c22bc,将三式相加,得2(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ac,即a2+b2+c21.又因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,所以(a+b+c)21+21=3.故选B.答案：B3如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()A.当abc+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一B.当abc+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一C.当abc+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一D.以上答案都不对答案：A4已知a,b,c为三角形的三边且S=a2+b2+c2,P=ab+bc+ca,则()A.S2PB.PSPD.PS2P解析：a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,a2+b2+c2ab+bc+ca,即SP.又三角形中|a-b|c,a2+b2-2abc2.同理b2-2bc+c2a2,c2-2ac+a2b2,a2+b2+c22(ab+bc+ca),即S0在条件abc时恒成立,则实数的取值范围是.解析：原不等式可化为1a-b+1b-ca-c.因为abc,所以a-b0,b-c0,a-c0.所以a-ca-b+a-cb-c恒成立.因为a-ca-b+a-cb-c=(a-b)+(b-c)a-b+(a-b)+(b-c)b-c=2+b-ca-b+a-bb-c2+2=4,当且仅当a-b=b-c时,等号成立,所以0,y0,且xy-(x+y)=1,则x+y的最小值为.解析：由xy-(x+y)=1,得y=x+1x-1=1+2x-1.x0,y0,x1.x+y=x+1+2x-1=(x-1)+2x-1+22+22,当且仅当x-1=2x-1,即x=1+2时,等号成立.答案：2+227建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为元.解析：设水池底长为x(x0)m,则宽为82x=4x(m).水池造价y=82120+2x2+8x280=480+320x+4x480+1280=1760(元),当且仅当x=2时,等号成立.答案：1 7608已知a,b是不相等的正数,且a3-b3=a2-b2.求证:1a+ba2+ab+b2=a+b.a+b1.要证a+b43,只需证3(a+b)4,只需证3(a+b)24(a+b),即3(a2+2ab+b2)0,只需证(a-b)20.而a,b为不相等的正数,所以(a-b)20一定成立.故而a+b43成立.综上,1a+b0,b0,c0,要证(a+1)2(b+1)(c+1),只要证a+1(b+1)(c+1).(b+1)(c+1)(b+1)+(c+1)2=b+c2+1,只要证2ab+c.而2a=b2c+c2b,只要证b2c+c2bb+c,即b3+c3bc(b+c),即b2+c2-bcbc,即(b-c)20,上式显然成立.原不等式成立.证法二：由等差、等比数列的定义知2a=x+y,b2=