2020版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入检测B（含解析）新人教A版.docx

第三章数系的扩充与复数的引入检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数z是实数的充分不必要条件为()A.|z|=zB.z=zC.z2是实数D.z+z是实数解析:若|z|=z,则z一定是实数,而z是实数,|z|不一定等于z.故选A.答案:A2.设复数z=(a+i)2在复平面上对应的点在虚轴负半轴上,则实数a的值是()A.-1B.1C.2D.-3解析:z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,根据条件有a2-1=0,2a0,1-m0,所以m2,故选C.答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知(1-i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=.答案:-1-i12.若复数a+3i1+2i(aR,i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为.解析:a+3i1+2i=(a+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=(a+6)+(3-2a)i5.复数a+3i1+2i是纯虚数,a+65=0,3-2a50,解得a=-6.答案:-613.在复平面内,与复数z=5i1+2i所对应的点关于虚轴对称的点为A,则点A对应的复数为.解析:依题意,得复数z=5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=i(1-2i)=2+i,其对应的点的坐标是(2,1),因此点A(-2,1)对应的复数为-2+i.答案:-2+i14.对于非零实数a,b,以下四个命题都成立:a+1a0;(a+b)2=a2+2ab+b2;若|a|=|b|,则a=b;若a2=ab,则a=b.那么,对于非零复数a,b,仍然成立的命题的所有序号是.解析:对于命题,当a=i时,a+1a=0,故命题不成立;对于命题,当a=3+4i,b=3-4i,则|a|=|b|,故命题不成立;命题对于非零复数a,b均仍然成立.答案:15.复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A,B,C,若BAC是钝角,则实数c的取值范围为.解析:在复平面内,与z1,z2,z3对应的三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6).由BAC是钝角,得ABAC0,且B,A,C不共线,即(-3,-4)(c-3,2c-10)4911.其中当c=9时,AC=(6,8)=-2AB,三点共线,故c9.答案:cc4911,且c9三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)设复数z=(1+i)2+3(1-i)2+i,若z2+az+b=1+i,求实数a,b的值.解:z=(1+i)2+3(1-i)2+i=2i+3(1-i)2+i=3-i2+i=(3-i)(2-i)(2+i)(2-i)=1-i.将z=1-i代入z2+az+b=1+i,得(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即(a+b)-(a+2)i=1+i,a+b=1,-(a+2)=1,a=-3,b=4.17.(8分)若虚数z1,z2是一个实系数一元二次方程的两个根,且z12=z2,求z1+z2.解:因为z1,z2是一个实系数一元二次方程的两个根,且均为虚数,所以z1,z2互为共轭复数.由z12=z2可得z12=z1.设z1=x+yi(x,yR,y0),则(x+yi)2=x-yi,即x2-y2+2xyi=x-yi,于是x2-y2=x,2xy=-y,y0,解得x=-12,y=32,因此z1=-12+32i或z1=-12-32i,相应的z2=-12-32i或z2=-12+32i,故z1+z2=-1.18.(9分)已知复数z满足|z|=2,z2的虚部为2.(1)求复数z;(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求ABC的面积.解:(1)设z=a+bi(a,bR),由已知条件,得a2+b2=2,又z2=a2-b2+2abi,2ab=2.由解得a=b=1或a=b=-1,即z=1+i或z=-1-i.(2)当z=1+i时,z2=(1+i)2=2i,z-z2=1-i,点A(1,1),B(0,2),C(1,-1),SABC=12|AC|1=1221=1.当z=-1-i时,z2=(-1-i)2=2i,z-z2=-1-3i.点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),SABC=12|AC|1=1221=1.故ABC的面积为1.19.(10分)已知w=z+i(zC),且z-2z+2为纯虚数,求M=|w+1|2+|w-1|2的最大值及M取最大值时w的值.解:设z=x+yi(x,yR),则z-2z+2=(x-2)+yi(x+2)+yi=(x2+y2-4)+4yi(x+2)2+y2.z-2z+2为纯虚数,x2+y2-4=0,且y0.M=|w+1|2+|w-1|2=(x+1)2+(y+1)2+(x-1)2+(y+1)2=12+4y.x2+y2-4=0,且y0,x2=4-y20,且y0.-2y0或0y2.当y=2时,M取得最大值,且为20,此时w=3i.20.(10分)复数z和w满足zw+2iz-2iw+1=0,其中i为虚数单位.(1)若z和w满足w-z=2i,求z和w的值;(2)求证:如果|z|=3,那么|w-4i|的值是一个常数,并求这个常数.(1)解设z=a+bi,w=c+di(a,b,c,dR),由zw+2iz-2iw+1=0,得(a+bi)(c+di)+2i(a+bi)-2i(c+di)+1=0,即(ac-bd-2b+2d+1)+(ad+bc+2a-2c)i=0.ac-bd-2b+2d+1=0,ad+bc+2a-2c=0.又w-z=2i,c-di-(a+bi)=2i,即(c-a)-(b+d)i=2i.c-a=0,b+d=-2.解组成的方程组,得a=0,c=0,d=-1,b=-1或a=0,c=0,d=-5,b=3.z=-i,w=-i或z=3i,w=-5i.(2)证明zw+2iz-2iw+1=0,z(w+2i)=2iw-1.|z(w+2i)|=|2iw-1|,即|z|w+2i|=|2iw-1|.又|z|=3,3|w+2i|=|2iw-1|.设w=x+yi(x,yR),代入上式整理得3x2+y2+4y+4=4x2+4