2020版高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用练习（含解析）新人教A版.docx

1.7.1定积分在几何中的应用课时过关能力提升基础巩固1.曲线y=x3与直线y=x所围成的封闭图形的面积S等于()A.-11(x-x3)dxB.-11(x3-x)dxC.201(x-x3)dxD.2-10(x-x3)dx解析:如图,阴影部分的面积S=201(x-x3)dx.故选C.答案:C2.曲线y=cosx0x32与坐标轴所围成的图形的面积S为()A.2B.3C.52D.4解析:S=02cosxdx+232cosxdx=sinx|02-sin x|232=1+2=3.故选B.答案:B3.如图,阴影部分的面积是()A.23B.2-3C.323D.353解析:-31(3-x2-2x)dx=3x-13x3-x2|-31=323.故选C.答案:C4.曲线y=x2+1与两坐标轴及直线x=1所围成的图形的面积S为()A.13B.43C.53D.2解析:S=01(x2+1)dx=13x3+x|01=13+1=43.答案:B5.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.22B.42C.2D.4解析:由y=4x,y=x3,解得x=-2或x=0或x=2,所以直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形面积应为S=02(4x-x3)dx=2x2-14x402=222-1424-0=4.答案:D6.由曲线y=ex,直线x=2,x=4,y=0所围成的图形的面积S=.解析:S=24exdx=ex|24=e4-e2.答案:e4-e27.设a0,若曲线y=x与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=.解析:由题意可得曲线y=x与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积S=0axdx=23x32|0a=23a32=a22,解得a=49.答案:498.求曲线xy=1及直线y=x,y=3所围成图形的面积S.解:如图,由xy=1,y=x得点A的坐标为(1,1).由xy=1,y=3得点B的坐标为13,3.由y=x,y=3得点C的坐标为(3,3).所求面积为S=S1+S2=1313-1xdx+13(3-x)dx=(3x-lnx)|131+3x-12x2|13=2-ln3+2=4-ln3.能力提升1.由曲线y=x和y=x3所围成图形的面积可用定积分表示为()A.01xdx+01x3dxB.01x3dx-01xdxC.01xdx-01x3dxD.以上都不正确解析:解方程组y=x,y=x3,得x=0,y=0,x=1,y=1,而当0x1时,xx3,所以曲线y=x与y=x3所围成图形的面积可用定积分表示为01(x-x3)dx=01xdx-01x3dx,故选C.答案:C2.求由y=ex,x=2,y=1围成的曲边梯形的面积时,若选择x为积分变量,则积分区间为()A.0,e2B.0,2C.1,2D.0,1解析:如图,作出y=ex,x=2,y=1三个函数的图象,由三者围成的曲边梯形如图中阴影部分,若选择x为积分变量,则积分区间应为0,2.故选B.答案:B3.如图,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=x围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是()A.12B.16C.14D.13解析:依题意知,题图中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于01x-x2dx=23x32-13x3|01=13,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13,故选D.答案:D4.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.解析:以梯形的下底为x轴,上、下底边的中点连线为y轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax2,则抛物线过点(5,2),故2=25a,得a=225,故抛物线的方程为y=225x2.最大流量的比即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)22=16,而当前的截面面积为2052-225x2dx=22x-2325x3|05=403,故原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403=1.2.答案:1.25.抛物线y=-x2+4x-3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积为.解析:由y=-2x+4,得点A,B处切线的斜率分别为2和-2,则两切线方程分别为y=2x-2和y=-2x+6.由y=2x-2,y=-2x+6,得C(2,2).所以S=SABC-13(-x2+4x-3)dx=1222-13x3+2x2-3x|13=2-43=23.答案:236.如图,直线y=kx把抛物线y=x-x2与x轴所围成的图形分为面积相等的两部分,求k的值.解:抛物线y=x-x2与x轴的两个交点的横坐标为x1=0,x2=1,所以抛物线与x轴所围图形的面积S=01(x-x2)dx=x22-x33|01=12-13=16.由y=kx,y=x-x2,可得抛物线y=x-x2与直线y=kx两交点的横坐标为x1=0,x2=1-k,所以S2=01-k(x-x2-kx)dx=1-k2x2-x33|01-k=16(1-k)3.又S=16,所以(1-k)3=12.于是k=1-312=1-342.所以k的值为1-342.7.如图,已知曲线C1:y=x2与曲线C2:y=-x2+2ax(a1)交于点O,A,直线x=t(0t1)与曲线C1,C2分别交于点D,B,连接OD,DA,AB.(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S=f(t);(2)求函数S=f(t)在区间(0,1上的最大值.解:(1)由y=x2,y=-x2+2ax,得点O(0,0),A(a,a2).又由已知,得B(t,-t2+2at),D(t,t2),S=0t(-x2+2ax)dx-12tt2+12(-t2+2at-t2)(a-t)=16t3-at2+a2t.S=f(t)=16t3-at2+a2t(01