2020版高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差练习（含解析）新人教A版.docx

2.3.2离散型随机变量的方差课时过关能力提升基础巩固1若X的分布列如下表所示,其中p(0,1),则()X01PpqA.E(X)=p,D(X)=pqB.E(X)=q,D(X)=pqC.E(X)=p,D(X)=1-p2D.E(X)=q,D(X)=1-p2解析:由分布列知随机变量X服从两点分布,所以E(X)=q,D(X)=pq.答案:B2已知的分布列为-101P121316若=2+2,则D()的值为()A.-13B.59C.109D.209解析:E()=-112+013+116=-13,D()=-1+13212+0+13213+1+13216=59,则D()=D(2+2)=4D()=459=209.答案:D3已知随机变量服从二项分布,即B(n,p),且E()=7,D()=6,则p等于()A.17B.16C.15D.14解析:根据服从二项分布的随机变量均值和方差的计算公式,可得np=7,np(1-p)=6,解得p=17.答案:A4已知随机变量的分布列如下,若E()=158,则D()等于()123P0.5xyA.3364B.5564C.732D.932解析:由分布列性质,得x+y=0.5.E()=158,2x+3y=118,解得x=18,y=38.D()=1-158212+2-158218+3-158238=5564.答案:B5甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为,和的分布列分别为012P610110310012P510310210甲、乙两名工人的技术水平较好的为()A.一样好B.甲C.乙D.无法比较解析:工人甲生产出次品数的均值和方差分别为:E()=0610+1110+2310=0.7,D()=(0-0.7)2610+(1-0.7)2110+(2-0.7)2310=0.81.工人乙生产出次品数的均值和方差分别为:E()=0510+1310+2210=0.7,D()=(0-0.7)2510+(1-0.7)2310+(2-0.7)2210=0.61.由E()=E()知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但D()D(),可见乙的技术比较稳定.答案:C6若随机变量的分布列为P(=m)=13,P(=n)=a,若E()=2,则D()的最小值等于()A.0B.2C.4D.无法计算解析:在分布列中,概率和为1,则a+13=1,故a=23.E()=2,m3+2n3=2,m=6-2n.D()=13(m-2)2+23(n-2)2=23(n-2)2+13(6-2n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2.当n=2时,D()取最小值0.答案:A7若p为非负实数,随机变量X的分布列为X012P12-pp12则E(X)的最大值是,D(X)的最大值是.解析:由分布列性质可知p0,12,则E(X)=p+11,32,故E(X)的最大值为32.又D(X)=12-p(p+1)2+p(p+1-1)2+12(p+1-2)2=-p2-p+1=-p+122+54,p0,12,当p=0时,D(X)取得最大值1.答案:3218甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等,而两个保护区内每个季度发现违反野生动物保护条例的事件次数的分布列分别为甲:0123P0.30.30.20.2乙:012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平.解:甲保护区违规次数的均值和方差为E()=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3,D()=(0-1.3)20.3+(1-1.3)20.3+(2-1.3)20.2+(3-1.3)20.2=1.21.乙保护区违规次数的均值和方差为E()=00.1+10.5+20.4=1.3,D()=(0-1.3)20.1+(1-1.3)20.5+(2-1.3)20.4=0.41.因为E()=E(),D()D(),所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同,但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动,乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.能力提升1从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25,设为途中遇到红灯的次数,则随机变量的方差为()A.65B.1825C.625D.18125解析:由随机变量服从二项分布,即B3,25,可得D()=32535=1825.答案:B2设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当p=时,成功次数的标准差的最大值为.解析:D()=np(1-p)np+1-p22=n4,等号在p=1-p,即p=12时成立,此时,D()=25,D()=5.答案:1253随机变量的分布列为-101Pabc其中a,b,c成等差数列,若E()=13,则D()=_.解析:a,b,c成等差数列,2b=a+c.E()=13,-a+c=13,且a+b+c=1,得a+c-2b=0,-a+c=13,a+b+c=1,解得a=16,b=13,c=12.D()=-1-13216+0-13213+1-13212=16916+1913+4912=59.答案:594盒中有2个白球,3个黑球,从中任取3个球,以X表示取到白球的个数,表示取到黑球的个数.给出下列各项:E(X)=65,E()=95;E(X2)=E();E(2)=E(X);D(X)=D()=925.其中正确的是.(填上所有正确项的序号)解析:X的分布列为X012P11035310E(X)=0110+135+2310=65,E(X2)=02110+1235+22310=95,D(X)=E(X2)-(E(X)2=95-652=925.的分布列为123P31035110E()=1310+235+3110=95,E(2)=12310+2235+32110=185,D()=E(2)-(E()2=185-952=925.答案:5某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖,飞镖落在靶外(环数记为0)的概率为0.1,飞镖落在靶内的各个点是随机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆,半径分别为30 cm,20 cm,10 cm,飞镖落在不同区域的环数如图所示.设这位同学投掷一次得到的环数为随机变量X,求X的分布列、均值和方差.解:由题意可知,飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比,而与它们的质量和形状无关.由圆的半径值可得到三个同心圆的半径比为321,面积比为941,所以8环区域、9环区域、10环区域的面积比为531,则掷得8环、9环、10环的概率分别设为5k,3k,k,根据离散型随机变量分布列的性质有0.1+5k+3k+k=1,解得k=0.1,得到离散型随机变量X的分布列为X08910P0.10.50.30.1X的均值E(X)=00.1+80.5+90.3+100.1=7.7.D(X)=0.1(0-7.7)2+0.5(8-7.7)2+0.3(9-7.7)2+0.1(10-7.7)2=7.01.6为了迎战下届奥运会,对甲、乙两名射手进行一次选拔赛.已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.设,分别表示甲、乙每次击中的环数.(1)求,的分布列;(2)求,的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.解: (1)依据题意知,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.,的分布列分别为10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2(2)结合(1)中,的分布列可得:E()=100.5+90.3+80.1+70.1=9.2,E()=100.3+90.3+80.2+70.2=8.7,D()=(10-9.2)20.5+(9-9.2)20.3+(8-9.2)20.1+(7-9.2)20.1=0.96,D()=(10-8.7)20.3+(9-8.7)20.3+(8-8.7)20.2+(7-8.7)20.2=1.21.E()E(),说明甲平均射中的环数比乙高.又D()E(),说明甲射中的环数比乙集中,比较稳定.甲的射击技术好.7一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,均值E(X)及方差D(X).分析:(1)先由频率分布直方图计算出日销售量不低于100和日销售量低于50的概率.再由3天中连续2天日销售量不低于100,可分为第1,2天或第2,3天日销售量不低于100两种情况,从而由独立事件概率公式求值.(2)由题意知随机变量X服从二项分布,则可列出分布列及求出均值、方差.解: (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6,P(A2)=0.00350=0.15,P(B)=0.60.60.152=0.108.(2)X可能